6

微分方程式で級数を解く

260
0

微分方程式で級数を解く

どうも、らららです。
ある級数を解こうと思います。

解く級数

n=0x2n+1(2n+1)!=12(exex)

exのマクローリン展開の奇数版みたいな感じですね

f(x)=n=0x2n+1(2n+1)!
f(x)=n=0x2n(2n)!
f(x)+f(x)=ex
f(0)=0
f(x)=12(exex)

微分方程式の解法
f(x)+f(x)=ex
f(0)=0に注意して両辺をラプラス変換すると
F(s)+sF(s)=1s1
F(s)=1(s1)(s+1)
F(s)=121s1121s+1
f(x)=12(exex)
別解
f(x)=exu(x)
f(x)+f(x)=2exu(x)+exu(x)
2exu(x)+exu(x)=ex
2y+y=1(u(x)=y)
y12y=1
y12ydx=x+C1
dy12y=x+C1
12log(12y)+C2=x+C1
y=12Ce2x
f(0)=0よりu(0)=0
u(0)=0よりC=12
u(x)=1212e2x
f(x)=12(exex)

微分して足すとexのマクローリン展開になります。

おしまい!

投稿日:20231124
更新日:20231126
OptHub AI Competition

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。
バッチを贈って投稿者を応援しよう

バッチを贈ると投稿者に現金やAmazonのギフトカードが還元されます。

投稿者

ららら
ららら
195
13154
適当に書きたいことを書きます。

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
  1. 微分方程式で級数を解く
  2. 解く級数