大学数学基礎解説

微分方程式で級数を解く

級数,微分方程式

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微分方程式で級数を解く

どうも、らららです。
ある級数を解こうと思います。

解く級数

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

$e^{x}$ のマクローリン展開の奇数版みたいな感じですね

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$
$f^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$
$f (x) + f^{'} (x) = e^{x}$
$f (0) = 0$
$f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

微分方程式の解法

f (x) + f^{'} (x) = e^{x}

f (0) = 0

に注意して両辺をラプラス変換すると

F (s) + s F (s) = \frac{1}{s - 1}

F (s) = \frac{1}{(s - 1) (s + 1)}

F (s) = \frac{1}{2} \frac{1}{s - 1} - \frac{1}{2} \frac{1}{s + 1}

f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

別解

f (x) = e^{x} u (x)

f (x) + f^{'} (x) = 2 e^{x} u (x) + e^{x} u^{'} (x)

2 e^{x} u (x) + e^{x} u^{'} (x) = e^{x}

2 y + y^{'} = 1 (u (x) = y)

\frac{y^{'}}{1 - 2 y} = 1

\int \frac{y^{'}}{1 - 2 y} d x = x + C_{1}

\int \frac{d y}{1 - 2 y} = x + C_{1}

- \frac{1}{2} \log (1 - 2 y) + C_{2} = x + C_{1}

y = \frac{1}{2} - C e^{- 2 x}

f (0) = 0

より

u (0) = 0

u (0) = 0

より

C = \frac{1}{2}

u (x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x}

f (x) = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

微分して足すと $e^{x}$ のマクローリン展開になります。

おしまい！

投稿日：2023年11月24日

更新日：2023年11月26日

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