大学数学基礎解説

微分方程式で級数を解く

級数,微分方程式

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微分方程式で級数を解く

どうも、らららです。
ある級数を解こうと思います。

解く級数

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right)$$

$e^{x}$のマクローリン展開の奇数版みたいな感じですね

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
$$f’(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
$$f(x)+f’(x)=e^{x}$$
$$f(0)=0$$
$$f(x)=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right)$$

微分方程式の解法

$$f(x)+f’(x)=e^x$$
$f(0)=0$に注意して両辺をラプラス変換すると
$$F(s)+sF(s)=\frac{1}{s-1}$$
$$F(s)=\frac{1}{(s-1)(s+1)}$$
$$F(s)=\frac12\frac1{s-1}-\frac12\frac1{s+1}$$
$$f(x)=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right)$$

別解

$$f(x)=e^x u(x)$$
$$f(x)+f’(x)=2e^x u(x)+e^{x} u’(x)$$
$$2e^x u(x)+e^{x} u’(x)=e^x$$
$$2y+y’=1\quad(u(x)=y)$$
$$\frac{y’}{1-2y}=1$$
$$\int\frac{y’}{1-2y}dx=x+C_1$$
$$\int\frac{dy}{1-2y}=x+C_1$$
$$-\frac{1}{2}\log(1-2y)+C_2=x+C_1$$
$$y=\frac12-C e^{-2x}$$
$f(0)=0$より$u(0)=0$
$u(0)=0$より$\di C=\frac12$
$$u(x)=\frac12-\frac12 e^{-2x}$$
$$f(x)=\frac12\left(e^x-e^{-x}\right)$$

微分して足すと$e^x$のマクローリン展開になります。

おしまい！

投稿日：2023年11月24日

更新日：2023年11月26日