多重アイゼンシュタイン級数についての備忘録1
はじめに
多重アイゼンシュタイン級数について勉強し始めたので、備忘録として自分用に書きます。
とりあえず今回の記事では、多重アイゼンシュタイン級数の定義とそのフーリエ級数展開について書こうと思います。
本題
$\mathbb{H}=\lbrace z\in\mathbb{C}\big|\Im z>0\rbrace$,$\tau\in\mathbb{H}$とする。
- $\lambda=m\tau+n\in\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}$に対して
$$0\prec\lambda\overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}(0< m)\text{または}(0=m\ \text{かつ}\ 0< n)$$ - $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}$に対して
$$\lambda_1\prec\lambda_2\overset{\mathrm{def}}{\Longleftrightarrow}(0\prec\lambda_2-\lambda_1)$$
以下、$\tau\in\mathbb{H}$とする。
$k:4$以上の偶数
$$G_k(\tau)=\sum_{\substack{0\prec\lambda\\\lambda\in\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}}}\frac{1}{\lambda^k}=\frac{1}{2}\sum_{\substack{(m,n)\in\mathbb{Z}^2\\(m,n)\neq(0,0)}}\frac{1}{(m\tau+n)^k}$$
定義より$G_k(\tau)=G_k(\tau+1)$となるので、アイゼンシュタイン級数はフーリエ級数表示を持つ。アイゼンシュタイン級数のフーリエ級数表示は次のように書ける。
$$\sigma_{k-1}(n):=\sum_{d|n}d^{k-1}$$
$$g(k):=\frac{1}{(k-1)!}\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_{k-1}(n)q^n\quad(q=e^{2\pi i\tau})$$
としたとき
$$G_k(\tau)=\zeta(k)+(-2\pi i)^kg(k)$$
$$\cot z=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{z+\pi n}\text{の両辺を}k-1\text{回微分する}$$
\begin{align*}
\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{z+\pi n}\right)=(-1)^{k-1}(k-1)!\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(z+\pi n)^k}
\end{align*}
\begin{align*}
\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\cot z
&=\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left(i\frac{e^{2iz}+1}{e^{2iz}-1}\right)\\
&=\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left(i+\frac{2i}{e^{2iz}-1}\right)\\
&=\frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}}\left(i-2i\sum_{n=0}^{\infty}e^{2inz}\right)\\
&=-(2i)^{k}\sum_{n=1}^{\infty}n^{k-1}e^{2inz}
\end{align*}
よって、$z\mapsto \pi z$とすると
$$\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(z+n)^k}=\frac{(-2\pi i)^{k}}{(k-1)!}\sum_{n=1}^{\infty}n^{k-1}e^{2\pi inz}$$
$z=m\tau$として$0< m$の範囲で和を取ると
\begin{align*}
G_{k}(\tau)-\zeta(k)
&=\frac{(-2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}n^{k-1}q^{nm}\\
&=\frac{(-2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{l=1}^{\infty}\left(\sum_{n|l}n^{k-1}\right)q^l\quad(l=nm)\\
&=\frac{(-2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{l=1}^{\infty}\sigma_{k-1}(l)q^l\\
&=(-2\pi i)^kg(k)
\end{align*}
したがって
$$G_{k}(\tau)=\zeta(k)+(-2\pi i)^kg(k)\blacksquare$$
$k_1,\ldots,k_{r-1}\geq2,\ k_r\geq3$に対して、多重アイゼンシュタイン級数を次で定める。
$$G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)=\sum_{\substack{0\prec\lambda_1\prec\cdots\prec\lambda_r\\\lambda_i\in\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z},\ 1\leq i\leq r}}\frac{1}{\lambda^{k_1}_1\cdots\lambda^{k_r}_r}$$
上の条件の下では多重アイゼンシュタイン級数は絶対収束するが、$k_r=2$のときには多重アイゼンシュタイン級数は条件収束するので次のように極限を取ることにする。
$\mathbb{Z}_N:=\lbrace n\in\mathbb{Z};|n|< N\rbrace$として
$$G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)=\lim_{M\rightarrow\infty}\lim_{N\rightarrow\infty}\sum_{\substack{0\prec\lambda_1\prec\cdots\prec\lambda_r\\\lambda_i\in\mathbb{Z}_M\tau+\mathbb{Z}_N,\ 1\leq i\leq r}}\frac{1}{\lambda^{k_1}_1\cdots\lambda^{k_r}_r}$$
多重アイゼンシュタイン級数は多重ゼータ値の意味での調和関係式を満たします。
$\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$をインデックス、$*$を調和積としたとき次が成り立つ。
$$G_{\boldsymbol{k}}(\tau)G_{\boldsymbol{l}}(\tau)=G_{\boldsymbol{k}*\boldsymbol{l}}(\tau)$$
任意の$\lambda,\mu\in\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}$に対して、$\lambda\prec\mu$または$\mu\prec\lambda$または$\lambda=\mu$のうちの唯一つが必ず成り立つことから示される$\blacksquare$
定義より$G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)=G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau+1)$となるので、$G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)$はフーリエ級数表示を持つことも分かります。
$$R:=\lbrace n\in\mathbb{Z}\big|0< n\rbrace$$
$$U:=\lbrace m\tau+n\in\mathbb{Z}\tau+\mathbb{Z}\big|0< m,\ n\in\mathbb{Z}\rbrace$$
$$P:=R\cup U$$
のように、集合$R,U,P$を定める。
$$G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)=\sum_{(\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\in P^r}\frac{1}{\lambda^{k_1}_1(\lambda_1+\lambda_2)^{k_2}\cdots(\lambda_1+\cdots+\lambda_r)^{k_r}}$$
のように、多重アイゼンシュタイン級数を表記できることに注意する。
$q=e^{2\pi i\tau}$とする。$k_1,\ldots,k_r\geq1$に対して、
$$g(k_1,\ldots,k_r):=\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_r\\0< n_1,\ldots,n_r}}\frac{n^{k_1-1}_1}{(k_1-1)!}\cdots\frac{n^{k_r-1}_r}{(k_r-1)!}q^{m_1n_1+\cdots+m_rn_r}\in\mathbb{Q}[[q]]$$
$$\hat{g}(k_1,\ldots,k_r):=(-2\pi i)^{k_1+\cdots+k_r}g(k_1,\ldots,k_r)\in\mathbb{Q}[\pi i][[q]]$$
$|q|<1$なので級数は絶対収束することに注意する。
$k_1,\ldots,k_r\geq2,\ x\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$に対して、multitangent functionを次で定める。
$$\Psi_{k_1,\ldots,k_r}(x):=\sum_{\substack{n_1<\cdots< n_r\\n_i\in\mathbb{Z}\ (1\leq i\leq r)}}\frac{1}{(n_1+x)^{k_1}\cdots(n_r+x)^{k_r}}$$
上の条件の元、この級数は絶対収束することに注意する。
$k_1,\ldots,k_r\geq 2,\ (k:=k_1+\cdots+k_r)$とする。このとき、次が成り立つ。
$$\Psi_{k_1,\ldots,k_r}(\tau)=\sum_{\substack{1\leq j\leq r\\l_1+\cdots+l_r=k\\1\leq l_1,\ldots,l_r}}(-1)^{l_{j+1}+\cdots+l_{r}+k_j+k}\prod_{\substack{1\leq i\leq r\\i\neq j}}\binom{l_i-1}{k_i-1}\zeta(l_{j-1},l_{j-2},\ldots,l_1)\Psi_{l_{j}}(\tau)\zeta(l_{j+1},l_{j+2}\ldots,l_r)$$
部分分数展開を用いることにより
$$\frac{1}{(m_1+\tau)^{k_1}\cdots(m_r+\tau)^{k_r}}=\sum_{\substack{1\leq j\leq r\\l_1+\cdots+l_r=k\\1\leq l_1,\ldots,l_r}}\left(\prod_{i=1}^{j-1}\frac{\binom{l_i-1}{k_i-1}}{(m_j-m_i)^{l_i}}\right)\frac{(-1)^{k+k_j}}{(m_j+\tau)^{l_j}}\left(\prod_{i=j+1}^{r}\frac{(-1)^{l_j}\binom{l_i-1}{k_i-1}}{(m_i-m_j)^{l_i}}\right)$$
となるので、和をとることにより
$$\Psi_{k_1,\ldots,k_r}(\tau)=\sum_{\substack{1\leq j\leq r\\l_1+\cdots+l_r=k\\1\leq l_1,\ldots,l_r}}(-1)^{l_{j+1}+\cdots+l_{r}+k_j+k}\prod_{\substack{1\leq i\leq r\\i\neq j}}\binom{l_i-1}{k_i-1}\zeta(l_{j-1},l_{j-2},\ldots,l_1)\Psi_{l_{j}}(\tau)\zeta(l_{j+1},l_{j+2}\ldots,l_r)$$
参考文献[3] Multitangent functionに関するBouillotの定理 により詳しい証明が載っているので、気になった読者は見てみると良いと思います
$k_1,\ldots,k_r\geq 2$とする。
$$\hat{g}(k_1,\ldots,k_r)=\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\Psi_{k_1}(m_1\tau)\cdots\Psi_{k_r}(m_r\tau)$$
$$\Psi_{k}(m\tau)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(m\tau+n)^k}=\frac{(-2\pi i)^k}{(k-1)!}\sum_{0< d}d^{k-1}q^{md}$$
となることに注意する。
\begin{align}
\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\Psi_{k_1}(m_1\tau)\cdots\Psi_{k_r}(m_r\tau)
&=(-2\pi i)^{k_1+\cdots+k_r}\sum_{\substack{0< m_1<\cdots< m_r\\0< d_1,\ldots,d_r}}\frac{d^{k_1-1}}{(k_1-1)!}\cdots\frac{d^{k_r-1}}{(k_r-1)!}q^{m_1d_1+\cdots+m_rd_r}\\
&=(-2\pi i)^{k_1+\cdots+k_r}g(k_1,\ldots,k_r)\\
&=\hat{g}(k_1,\ldots,k_r)\blacksquare
\end{align}
$A_i\in\lbrace U,R\rbrace\ (1\leq i\leq r)$として、$G^{A_1,\ldots,A_r}_{k_1,\ldots,k_r}(\tau)$を次のように定める。
$$G^{A_1,\ldots,A_r}_{k_1,\ldots,k_r}(\tau):=\sum_{(\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\in A_1\times\cdots\times A_r}\frac{1}{\lambda^{k_1}_1(\lambda_1+\lambda_2)^{k_2}\cdots(\lambda_1+\cdots+\lambda_r)^{k_r}}$$
多重アイゼンシュタイン級数$G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)$は$\hat{g}$の$\mathcal{Z}$-線形結合で書ける。
(ただし、$\mathcal{Z}$は多重ゼータ値全体が貼る$\mathbb{Q}$上のベクトル空間である。)
次のような手順で証明することができる。
⑴次のように和を分解する。
$$G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)=\sum_{(A_1,\ldots,A_r)\in\lbrace R,U\rbrace^r}G^{A_1,\ldots,A_r}_{k_1,\ldots,k_r}(\tau)$$
⑵$w=R^lw'\ (w'\text{の左端は}U)$に対しては
$$G^w_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)=\zeta(k_1,\ldots,k_l)G^{w'}_{k_{l+1},\cdots,k_r}(\tau)$$
とできるので、左端が$U$のもののみ考えればよい。
⑶$w=UR^{r_1-1}\cdots UR^{r_j-1}\ (1\leq r_1,\ldots,r_j),\ r=r_1+\cdots+r_j$に対しては
$$G^w_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)=\sum_{0< m_1<\cdots< m_r}\Psi_{k_1,\ldots,k_{r_1}}(m_1\tau)\Psi_{k_{r_1+1},\ldots,k_{r_1+r_2}}(m_2\tau)\cdots\Psi_{k_{r-r_j+1},\ldots,k_{r}}(m_r\tau)$$
となる。
⑷定理2より、$\Psi_{k_1,\ldots,k_{r}}(m\tau)$は$\Psi_{k}(m\tau)$の$\mathcal{Z}$-線形結合で書ける。よって⑶の級数は
$$\sum_{0< m_1<\cdots< m_j}\Psi_{k_1}(m_1\tau)\cdots\Psi_{k_j}(m_j\tau)=\hat{g}(k_1,\ldots,k_j)$$
の$\mathcal{Z}$-線形結合で書ける$\blacksquare$
$$G_{k_1,k_2}(\tau)=\zeta(k_1,k_2)+\hat{g}(k_1,k_2)+\zeta(k_1)\hat{g}(k_2)+\sum_{l=2}^{k_1+k_2-2}\left((-1)^{l+k_2}\binom{l-1}{k_2-1} +(-1)^{k_1}\binom{l-1}{k_1-1}\right)\zeta(l)\hat{g}(k_1+k_2-l) $$
$$G_{k_1,k_2}(\tau)=G^{R,R}_{k_1,k_2}(\tau)+G^{U,U}_{k_1,k_2}(\tau)+G^{R,U}_{k_1,k_2}(\tau)+G^{U,R}_{k_1,k_2}(\tau)$$
\begin{align}
G^{R,R}_{k_1,k_2}(\tau)&=\sum_{(\lambda_1,\lambda_2)\in R\times R}\frac{1}{\lambda^{k_1}_1(\lambda_1+\lambda_2)^{k_2}}\\
&=\sum_{0< n_1,n_2}\frac{1}{n^{k_1}_1(n_1+n_2)^{k_2}}\\
&=\zeta(k_1,k_2)
\end{align}
\begin{align} G^{U,U}_{k_1,k_2}(\tau)&=\sum_{(\lambda_1,\lambda_2)\in U\times U}\frac{1}{\lambda^{k_1}_1(\lambda_1+\lambda_2)^{k_2}}\\ &=\sum_{\substack{0< m_1< m_2\\n_1,n_2\in\mathbb{Z}}}\frac{1}{(m_1\tau+n_1)^{k_1}(m_2\tau+n_2)^{k_2}}\\ &=\sum_{\substack{0< m_1< m_2}}\Psi_{k_1}(m_1\tau)\Psi_{k_2}(m_2\tau)\\ &=\hat{g}(k_1,k_2) \end{align}
\begin{align} G^{R,U}_{k_1,k_2}(\tau)&=\sum_{(\lambda_1,\lambda_2)\in R\times U}\frac{1}{\lambda^{k_1}_1(\lambda_1+\lambda_2)^{k_2}}\\ &=\sum_{\substack{m_1=0,0< n_1\\0< m_2,n_2\in\mathbb{Z}}}\frac{1}{(m_1\tau+n_1)^{k_1}((m_1+m_2)\tau+(n_1+n_2))^{k_2}}\\ &=\sum_{\substack{0< n_1\\0< m_2,n_2\in\mathbb{Z}}}\frac{1}{n_1^{k_1}(m_2\tau+n_2)^{k_2}}\\ &=\zeta(k_1)\hat{g}(k_2) \end{align}
\begin{align}
G^{U,R}_{k_1,k_2}(\tau)&=\sum_{(\lambda_1,\lambda_2)\in U\times R}\frac{1}{\lambda^{k_1}_1(\lambda_1+\lambda_2)^{k_2}}\\
&=\sum_{\substack{0< m_1,n_1\in\mathbb{Z}\\m_2=0,0< n_2}}\frac{1}{(m_1\tau+n_1)^{k_1}((m_1+m_2)\tau+(n_1+n_2))^{k_2}}\\
&=\sum_{\substack{0< m_1,n_1\in\mathbb{Z}\\n_1< n_2}}\frac{1}{(m_1\tau+n_1)^{k_1}(m_1\tau+n_2)^{k_2}}\\
&=\sum_{0< m}\Psi_{k_1,k_2}(m\tau)\\
&=\sum_{0< m}\sum_{\substack{l_1+l_2=k_1+k_2\\1\leq l_1,l_2}}(-1)^{l_{2}+k_2}\prod_{\substack{1\leq i\leq 2\\i\neq 1}}\binom{l_i-1}{k_i-1}\Psi_{l_{1}}(m\tau)\zeta(l_{2})
+\sum_{0< m}\sum_{\substack{l_1+l_2=k_1+k_2\\1\leq l_1,l_2}}(-1)^{k_1}\prod_{\substack{1\leq i\leq 2\\i\neq 2}}\binom{l_i-1}{k_i-1}\zeta(l_1)\Psi_{l_{2}}(m\tau)\\
&=\sum_{\substack{l_1+l_2=k_1+k_2\\1\leq l_1,l_2}}(-1)^{l_{2}+k_2}\binom{l_2-1}{k_2-1}\hat{g}(l_1)\zeta(l_{2})
+\sum_{\substack{l_1+l_2=k_1+k_2\\1\leq l_1,l_2}}(-1)^{k_1}\binom{l_1-1}{k_1-1}\zeta(l_1)\hat{g}(l_2)\\
&=\sum_{l=1}^{k_1+k_2-1}\left((-1)^{l+k_1}\binom{k_1+k_2-l-1}{k_2-1}\hat{g}(l)\zeta(k_1+k_2-l)
+(-1)^{k_1}\binom{l-1}{k_1-1}\zeta(l)\hat{g}(k_1+k_2-l)\right)\\
&=\sum_{l=1}^{k_1+k_2-1}\left((-1)^{l+k_2}\binom{l-1}{k_2-1}
+(-1)^{k_1}\binom{l-1}{k_1-1}\right)\zeta(l)\hat{g}(k_1+k_2-l)\\
&=\sum_{l=2}^{k_1+k_2-2}\left((-1)^{l+k_2}\binom{l-1}{k_2-1}
+(-1)^{k_1}\binom{l-1}{k_1-1}\right)\zeta(l)\hat{g}(k_1+k_2-l)\quad(\because l=1,k_1+k_2-l\text{のときは括弧内が}0\text{になる})
\end{align}
以上より、
$$G_{k_1,k_2}(\tau)=\zeta(k_1,k_2)+\hat{g}(k_1,k_2)+\zeta(k_1)\hat{g}(k_2)+\sum_{l=2}^{k_1+k_2-2}\left((-1)^{l+k_2}\binom{l-1}{k_2-1}
+(-1)^{k_1}\binom{l-1}{k_1-1}\right)\zeta(l)\hat{g}(k_1+k_2-l) $$
である$\blacksquare$
参考文献[1] Multiple Zeta Values によると、定理4は次のように精密化できるようです
$k_1,\ldots,k_r\geq 2,\ (k:=k_1+\cdots+k_r)$とする。このとき、$l_1,\ldots,l_r\geq2$とある$\alpha^{(l_1,\cdots,l_r)}_j\in\mathbb{Q}$が存在して
$$G_{k_1,\cdots,k_r}(\tau)=\zeta(k_1,\ldots,k_r)+\sum_{\substack{1\leq j\leq r-1\\2\leq l_1,\ldots,l_r\\l_1+\cdots+l_r=k}}\alpha^{(l_1,\cdots,l_r)}_j\hat{g}(l_1,\ldots,l_j)\zeta(l_{j+1},\ldots,l_r)+\hat{g}(k_1,\ldots,k_r)$$
気が向き次第、続きの記事を書く予定です⩌‸⩌
