足しても掛けても同じ数になる4つの正の整数

$a \geq b \geq c \geq d \geq 1$としても一般性を失わない。
$a+b+c+d=abcd$を$d$についてとくと
$d=\displaystyle \frac{a+b+c}{abc-1}$

（分母）-（分子）
$=(abc-1)-(a+b+c)$
$=a(bc-1)-1-b-c$

1. $a \geq 5$ を仮定すると
   $a(bc-1)-1-b-c \geq 5(bc-1)-1-b-c$
   $a(bc-1)-1-b-c \geq b(5c-1)-6-c$
   さらに、$b$についても仮定をする。
2. $a \geq 5$ かつ$b \geq 2$
   $ b(5c-1)-6-c\geq 2(5c-1)-6-c$
   $ b(5c-1)-6-c\geq 9c-8 \geq 1 \gt 0$
   つまり、$(abc-1)-(a+b+c) > 0$
   この時$d=\displaystyle \frac{a+b+c}{abc-1} < \frac{abc-1}{abc-1}=1$
   となるので、$d \notin \mathbb{Z} $
   解にはならない。
   よって$2 > b \geq c$つまり、$b=c=1$を考える
3. $a \geq 5$ かつ$b=c=1$
   $d=\displaystyle \frac{a+b+c}{abc-1}=\frac{a+2}{a-1}>\frac{a-1}{a-1}=1 $
   $1=c \geq d$に矛盾する。
   解にはならない。
   すなわち$a \leq 4$である。（$4\geq a \geq b \geq c \geq d \geq 1$）
4. $a=4$を仮定する
   $(abc-1)-(a+b+c)=b(4c-1)-5-c$
   ここで、$b \geq 3$とすると、
5. $a=4$かつ$b \geq 3$
   $(abc-1)-(a+b+c)=b(4c-1)-5-c$
   $\geq 3(4c-1)-5-c=11c-8 > 0$
   この時$d=\displaystyle \frac{a+b+c}{abc-1} < \frac{abc-1}{abc-1}=1$
   となるので、$d \notin \mathbb{Z} $
   よって、$b < 3$を考える。つまり$b=2$か$b=1$
6. $a=4$かつ$b=2$を仮定する
   $2=b \geq c$ なので、$c=2$の場合、$d=\frac{4+2+4}{4 \times 2 \times 2 -1}=\frac{8}{15} \notin \mathbb{Z} $
   なので、$c=1$で、$d=\frac{4+2+1}{4 \times 2 \times 1 -1}=\frac{7}{7}=1$
   $(a,b,c,d)=(4,2,1,1)$が解になる。
7. $a=4$かつ$b=1$を仮定する
   $b \geq c \geq d \geq 1$より、$c=d=1$だが、
   $d=\frac{4+1+1}{4 \times 1 \times 1 -1}=\frac{6}{3}=2>1$に矛盾する。

以上のことにより、
$a+b+c+d=abcd$
となる正の整数の組は
$(a,b,c,d)=(4,2,1,1)$とその並べ替えのみである。
∎