位相空間論 #2
位相空間論 #2
2.1 記号の定義
$\mathcal{F}_X$:位相空間 $X$ の閉集合族.(すなわち $\left\{U^c\in\mathfrak{P}(X)~\middle|~U\in\mathcal{O}_X\right\}$.)
$\mathrm{int}A$:距離空間 $X$ の部分集合 $A$ の開核, 内部.
$\mathrm{cl}A$:距離空間 $X$ の部分集合 $A$ の閉包.
2.2 距離空間の開核・閉包
位相空間は距離空間を一般化した空間であって欲しいため, #1 の連続性でしたように, 距離で定義されている距離空間の定義や性質を開集合(もしくは閉集合)のみを用いた同値な言い換えをしたい.
そのために, まずは位相空間を考える前に距離空間の復習をしよう.
距離空間 $X$ の部分集合 $A$ において, $A$ の開核(interior), 閉包(closure)とは, 次を満たす集合である.
$${\textrm{int}A=\left\{x\in X~\middle|~{}^\exists\varepsilon>0,~N_\varepsilon(x)\subset A\right\}.}$$
$${\textrm{cl}A=(\mathrm{int}(A^c))^c.}$$
$\mathrm{cl}A$ については異なる方法で定義されていることもあるが, 後にそれも等しいことを証明する. $\mathrm{int}A$ はその定義から明らかに $X$ 上の開集合である. 従って, この定義だと $\mathrm{cl}A$ は明らかに閉集合になることが分かる.
これらは別の良い特徴付けがあり, 次の定理が成り立つ.
$(X,\mathcal{O}_X)$ を位相空間とする. $A\subset X$ の時,
$${\textrm{int}A=\bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A}}U.}$$
$${\textrm{cl}A=\bigcap_{\substack{V\in\mathcal{F}_X\\ A\subset V}}V.}$$
が成立する.
クリックして証明を表示する.
$\mathrm{int}A$ のみ証明すれば後半はド・モルガンの定理よりほぼ自明である.
$${\bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A}}U=\left\{x\in X~\middle|~{}^\exists U\in\mathcal{O}_X,~x\in U\subset A\right\}.}$$
集合を条件として書き下すとこのような条件であることが分かる.
ここから包含関係を証明していく.
任意に $x\in\mathrm{int}A$ を取る. すなわち, $x$ はある $\varepsilon_x>0$ が存在して, $N_{\varepsilon_x}(x)\subset A$ を満たす元である. $N_{\varepsilon_x}(x)\in\mathcal{O}_X$ であるため, $x\in \bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A}}U$. 従って $\mathrm{int}A\subset\bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A}}U$ が示される.
一方, 任意に $x\in\bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A}}U$ を取る. ある $U\in\mathcal{O}_X$ に対して $x\in U$ であるため, $x\in N_{\varepsilon_x}(x)\subset U\subset A$ となるある $\varepsilon_x>0$ が存在するので $x\in\mathrm{int}A$. 従って $\mathrm{int}A\supset\bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A}}U$ が示される.
以上より $${\mathrm{int}A=\bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A}}U.}$$
が示された.
$\mathrm{cl}A$ に関してはこれを集合 $A^c\subset X$ に適応して補集合を取れば,
$${\begin{align*} \mathrm{int}(A^c)&=\bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A^c}}U\\ (\mathrm{int}(A^c))^c&=\bigcap_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A^c}}U^c\\ \mathrm{cl}A&=\left\{x\in X~\middle|~{}^\forall U\in\mathcal{O}_X,~U\subset A^c,~x\in U^c\right\}\\ &=\left\{x\in X~\middle|~{}^\forall U^c\in\mathcal{F}_X,~U^c\supset A,~x\in U^c\right\}\\ &=\left\{x\in X~\middle|~{}^\forall V\in\mathcal{F}_X,~A\subset V,~x\in V\right\}\\ &=\bigcap_{\substack{V\in\mathcal{F}_X\\ A\subset V}}V. \end{align*}}$$
となる.
この定理により, 次の系が示される.
$\mathrm{int}A$ は $A$ を超さない最大の開集合であり, $\mathrm{cl}A$ は $A$ を超す最小の閉集合である.
これは開集合, 閉集合の言葉だけで言い換えられた非常に性質の良い定義だ. これを位相空間に拡張して考えよう.
2.3 位相空間の開核・閉包
位相空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ の部分集合 $A\subset X$ における開核(open kernel)または内部(interior), 閉包(closure)をそれぞれ次のように定義する.
$${\textrm{int}A=\bigcup_{\substack{U\in\mathcal{O}_X\\ U\subset A}}U.}$$
$${\textrm{cl}A=\bigcap_{\substack{V\in\mathcal{F}_X\\ A\subset V}}V.}$$
次のいくつかの系が成り立つ.
$\mathrm{int}A$ は $A$ を超さない最大の開集合であり, $\mathrm{cl}A$ は $A$ を超す最小の閉集合である. すなわち,
$${{}^\forall U\in\mathcal{O}_X,~U\subset A\Longrightarrow U\subset\textrm{int}A\in\mathcal{O}_X.}$$
$${{}^\forall V\in\mathcal{F}_X,~A\subset V\Longrightarrow V\supset\textrm{cl}A\in\mathcal{F}_X.}$$
が成り立つ.
開集合, 閉集合の条件に対して次が成り立つ.
$${A\in\mathcal{O}_X\iff\mathrm{int}A=A}$$
$${A\in\mathcal{F}_X\iff\mathrm{cl}A=A}$$
開核, 閉包に対して次が成り立つ.
$${\mathrm{int}(\mathrm{int}A)=\mathrm{int}A}$$
$${\mathrm{cl}(\mathrm{cl}A)=\mathrm{cl}A}$$
これらの性質は距離空間から受け継いだもので, 開核, 閉包が満たして欲しい性質をしっかりと満たしていることが分かる.
2.4 位相同型
#1 では位相と位相空間上の関数の連続性を定義したが, 同じ集合でも位相によって異なる位相構造を持つ位相空間を作ることが出来た. つまり集合 $X,Y$ 上の関数 $f:X\to Y$ を考えたとき, $X,Y$ の位相を $(X,\mathcal{O}_{X}),~(Y,\mathcal{O}_{Y})$ とした時と, $(X,\mathcal{O}'_{X}),~(Y,\mathcal{O}'_{Y})$ とした時では連続性に違いが生じることがある. そのため, 連続性の変わらない同じ位相構造を持つ位相空間を判別する必要がある.
位相空間 $(X,\mathcal{O}_X),~(Y,\mathcal{O}_Y)$ において, $(X,\mathcal{O}_X)$ と $(Y,\mathcal{O}_Y)$ (或いは単に $X,~Y$)が位相同型(あるいは同相)であるとは, 次の条件を満たすことを云う.
$${{}^\exists f:X\to Y:\text{全単射}\text{ s.t. }f:\text{連続写像}\text{ かつ }f^{-1}:\text{連続写像}}$$
この写像 $f$ を同型写像或いは単に同型と云い, $X,~Y$ が同相である時, $X\cong Y$ と表記する.
二項関係$\cong$ は同値関係である.
クリックして証明を表示する.
$\cong$ が同値関係であるとは, 任意の位相空間 $X,Y,Z$ に対し, 以下の $3$ つの条件を満たすことであった.
(反射律) $X\cong X$
(対称律) $X\cong Y\Longrightarrow Y\cong X$
(推移律) $X\cong Y\text{ かつ }Y\cong Z\Longrightarrow X\cong Z$
さて, $\cong$ が同値関係であることを証明していく.
(反射律) $\mathrm{id}_X:X\to X$ は連続であり, 逆写像として自分自身を持つ. 従って $X\cong X$.
(対称律) $X\cong Y$ より, 同型写像 $f:X\to Y$ が存在する. $f$ は連続な逆写像 $f^{-1}:Y\to X$ を持つが, これは $Y$ から $X$ への同型写像である. なぜなら, $(f^{-1})^{-1}=f$ であるから逆写像もまた連続である. 従って $Y\cong X$.
(推移律) $X\cong Y$ かつ $Y\cong Z$ より同型写像 $f:X\to Y$ と $g:Y\to Z$ が存在する. この時 $f\circ g:X\to Z$ は連続であり, 逆写像 $(f\circ g)^{-1}:Z\to X$ は $(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$ であるため連続. 即ち $X\cong Z$ が従う.
以上より $\cong$ は同値関係であることが示された.
例としてユークリッド位相と呼ばれる通常の位相(ユークリッド距離からなる位相)における開区間 $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ が位相同型であることを見ていくが, まずはユークリッド位相の定義を述べよう.
$\varepsilon>0,~x\in\mathbb{R}$ に対し, $x$ の $\varepsilon$ 近傍 $N_\varepsilon(x)$ を
$${N_{\varepsilon}(x)=\left\{y\in\mathbb{R}~|~|x-y|<\varepsilon\right\}}$$
と定める. 集合 $N_\varepsilon(x)$ は $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ のユークリッド距離である $|~|$ (絶対値)を用いて, 点 $x$ から距離 $\varepsilon$ 未満の点を全て集めてきた集合である.(開区間を用いるのなら $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ とも書ける.)
次に, $\mathcal{B}_1$ を
$${\mathcal{B}_1=\left\{N_{\varepsilon}(x)~|~x\in\mathbb{R},~\varepsilon>0\right\}}$$
と定める. $\mathcal{B}_1$ は $\mathbb{R}$ の全ての点の全ての近傍を集めてきた集合族と云える.
そして, $\mathbb{R}$ のユークリッド位相(通常の位相)を
$${\mathcal{O}_{\mathbb{R}}=\left\{\bigcup_{B\in\mathcal{B}'_1}B~\middle|~\mathcal{B}'_1\subset\mathcal{B}_1\right\}}$$
と定める. つまり, ユークリッド位相(ユークリッド空間の開集合系)とは開区間(いろんな点の近傍)の和集合で表せるもの全体という集合族のこと.
実際これは位相の公理を満たしていて, $\mathcal{B}'_1$ を空集合にすれば空和により空集合が $\mathcal{O}_{\mathbb{R}}$ に入っていて, $\mathcal{B}'_1=\{N_{\varepsilon}(x)~|~x\in\mathbb{R},~\varepsilon=1\}$ 等とすれば全ての実数の $1$ 近傍の和集合は全ての実数を含むので $\mathbb{R}$ も $\mathcal{O}_{\mathbb{R}}$ に含まれているから (O1) を満たすことが分かる.
$N_{\varepsilon}(x)$ と $N_{\delta}(y)$ の共通部分は空集合か $N_{\eta}(z)$ という形で表せるので, (O2) を満たす.(具体的にはいくつかに場合分けすると $N_{x+\varepsilon-{\frac{x+\varepsilon-y+\delta}{2}}}\left(\frac{x+\varepsilon-y+\delta}{2}\right)$ のような近傍になることが分かる.)
最後に, 定義から任意個の和集合が含まれることは明らかなため (O3) も満たす.
これらにより $\mathcal{O}_{\mathbb{R}}$ は位相の公理を満たすことが確認できた.
$\mathbb{R}$ の部分集合 $A$ 上の位相はユークリッド位相を $A$ だけに制限した
$${\mathcal{O}_{A}=\left\{A\cap\bigcup_{B\in\mathcal{B}'_1}B~\middle|~\mathcal{B}'_1\subset\mathcal{B}_1\right\}}$$
と定める.(これも位相の公理を満たすことを示すと良い.)
以上を踏まえて, 開区間 $(0,1)$ と $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ が同相であることを示す.
定義通り, (逆写像も)連続な全単射を構成することが証明方法である.
関数 $f:(0,1)\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ を $f(t)=\pi\left(t-\frac{1}{2}\right)$ と定める. この時, $f$ が全単射であり, $f,f^{-1}$ が共に連続であることを示す.
$g:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to(0,1)$ を $g(\theta)=\frac{\theta}{\pi}+\frac{1}{2}$ と定めると $f\circ g(\theta)=\theta$ かつ $g\circ f(t)=t$ であるため $g=f^{-1}$ であり $f$ は全単射となる.
$f$ の全単射性が示せたので, 次は $f$ と $f^{-1}$ の連続性を示す.
任意の開集合 $U\in\mathcal{O}_{\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)}$ を取る. $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ 上の位相の定義から, $U$ は $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ との共通部分を取った適当な開区間の和集合で
$${U=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cap\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,b_\lambda)}$$
と表せる. 逆像の性質から,
$$ \begin{align*} f^{-1}(U)&=f^{-1}\left(\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cap\bigcup_{\lambda\in\Lambda}(a_\lambda,b_\lambda)\right)\\ &=f^{-1}\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cap\bigcup_{\lambda\in\Lambda}f^{-1}\left(a_\lambda,b_\lambda\right) \end{align*}$$
となり, 明らかに $f^{-1}(a,b)=\left(\frac{a}{\pi}+\frac{1}{2},\frac{b}{\pi}+\frac{1}{2}\right)$ であるから
$${\begin{align*} f^{-1}(U)&=\left(0,1\right)\cap\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(\frac{a_\lambda}{\pi}+\frac{1}{2},\frac{b_\lambda}{\pi}+\frac{1}{2}\right) \end{align*}}$$
これは $(0,1)$ 上の位相に属するので, $f^{-1}(U)$ は開集合である. つまり, $f$ の連続性の定義である
$${{}^\forall U\in\mathcal{O}_{\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)},~f^{-1}(U)\in\mathcal{O}_{(0,1)}}$$
が示せた.
逆に, $f^{-1}$ も同じような議論で, 任意の $V\in\mathcal{O}_{(0,1)}$ に対して
$$\left(f^{-1}\right)^{-1}(V)=\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cap\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(\pi\left(a_\lambda-\frac{1}{2}\right),\pi\left(b_\lambda-\frac{1}{2}\right)\right)$$
となるので, $\left(f^{-1}\right)^{-1}(V)\in\mathcal{O}_{\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)}$ が分かる.
以上より, $f$ は全単射で, $f,f^{-1}$ は共に(位相空間としての連続性の定義を用いて)連続であることが示せた.
開区間 $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ が同相であることを示せ.
示すことは先程と何も変わらないので, この記事を読んでくれている方への問題とする.
クリックしてヒント 1 を表示する.
一つ前の例で開区間 $(0,1)$ と開区間 $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ が同相であることを示した. 同相は同値関係であるため, $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\cong\mathbb{R}$ を示せば良い.
クリックしてヒント 2 を表示する.
$f:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R};\theta\mapsto\tan\theta$ とすれば良い.
2.5 特別な位相
集合に対する位相は様々なものが考えられるが, いくつか特別に良く考えられる位相がある. ここではそれらの定義と例を見ていく.
2.6 離散位相
集合 $X$ に対し, $X$ の冪集合(部分集合全体の集合族) $\mathfrak{P}(X)$ を離散位相と云う.
例えば, 分かりやすく有限集合 $X=\{a,b,c\}$ に対して $\mathfrak{P}(X)=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{b,c\},\{c,a\},\{a,b,c\}\}$ を位相とすると $X$ の離散位相を考える.
この位相は各点でその点だけしか囲えないような開集合が存在する. 例えば点 $a$ の近くでは $a$ しか見えないようなズーム(開集合)として $\{a\}$ がある.
このことから, $a,b,c$ はそれぞれが離れた点(離散的)であるイメージができるだろう.
そのような部分集合族として真っ先に思い浮かべるのは $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$ というものだろうが, これは位相にはなれない. なぜなら, (O1) の条件である空集合と全体が含まれていないからである.
では, 集合族 $\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b,c\}\}$ はどうだろうか.
これも位相にはなれない. 何故なら, $\{a\}$ と $\{b\}$ の和集合 $\{a,b\}$ 等が含まれていないため, (O3) の条件である任意の和集合が含まれていないからである.
一点からなる集合の任意の和集合を追加するということは, 全ての部分集合を追加するということであるため, 一点からなる開集合をもつ位相を考えるとそれは離散位相 $\mathfrak{P}(X)$ しか存在しないことが分かる.
離散位相は有限な集合では想像しやすいが, 無限集合では想像がしにくいことがある.
例えば $\mathbb{R}$ の離散位相なんかは想像がしにくい.
特に離散位相空間 $(\mathbb{R},\mathfrak{P}(\mathbb{R}))$ はユークリッド位相空間 $(\mathbb{R},\mathcal{O}_\mathbb{R})$ と同相ではない.
仮に同相だと仮定すると同型写像 $f:(\mathbb{R},\mathcal{O}_\mathbb{R})\to(\mathbb{R},\mathfrak{P}(\mathbb{R}))$ が存在する筈だが, $f^{-1}(\{0\})$ は $(\mathbb{R},\mathcal{O}_\mathbb{R})$ 上の開集合になっている筈だが, $f$ は全単射であるため $f(x)=0$ となる $x$ はただ一つ存在するため $f^{-1}(\{0\})=\{x\}$ となる. しかし, $x$ のどんな $\varepsilon>0$ 近傍を取ったとしても $x+\varepsilon\in N_{\varepsilon}(x)$ となるため $N_{\varepsilon}(x)\not\subset\{x\}$ である. つまり, $\{x\}$ は $(\mathbb{R},\mathcal{O}_\mathbb{R})$ 上の開集合ではない. 従って背理法から $(\mathbb{R},\mathcal{O}_\mathbb{R})\not\cong(\mathbb{R},\mathfrak{P}(\mathbb{R}))$ となる.
$(X,\mathcal{O}_X)$ を離散位相空間とする. 任意の位相空間 $(Y,\mathcal{O}_Y)$ に対して, 任意の写像 $f:(X,\mathcal{O}_X)\to(Y,\mathcal{O}_Y)$ は連続である.
クリックして証明を表示する.
任意の $Y$ 上の開集合 $U\in\mathcal{O}_Y$ を取る.
この時, $f^{-1}(U)\subset X$ であり, $\mathcal{O}_X$ は離散位相であるため $f^{-1}(U)\in \mathfrak{P}(X)=\mathcal{O}_X$ となり, $f$ は連続である.
連続性の定義から定義域側の開集合が多い程連続性の条件を満たしやすいことが分かる.
離散位相は最も開集合が多い位相なので, 遂には離散位相から写される全ての写像が連続になってしまう.
2.7 密着位相
集合 $X$ に対して, $\{\emptyset,X\}$ を密着位相と云う.
こちらは離散位相の逆とも云える位相で, 空集合と全体しか開集合を持たない必要最低限の元のみからなる位相のこと.
例として, 位相空間 $(\mathbb{R},\{\emptyset,\mathbb{R}\})$ がある. 全ての元が同じ開集合に含まれていて, もうそれ以上細かく見ることはできないため, 実数全てが密着するほど近い元に見える特殊な位相である.
密着位相が離散位相の逆であることは様々な性質が離散位相と対になっているからである.
その一つとして次の定理がある.
$(X,\mathcal{O}_Y)$ を密着位相空間とする. 任意の位相空間 $(Y,\mathcal{O}_X)$ に対して, 任意の写像 $f:(Y,\mathcal{O}_X)\to(X,\mathcal{O}_Y)$ は連続である.
クリックして証明を表示する.
任意の Y 上の開集合 $U\in\mathcal{O}_Y$ を取る.
$\mathcal{O}_Y$ は密着位相であるため, $U=\emptyset$ または $U=Y$ である.
$U=\emptyset$ の時 $f^{-1}(U)=\emptyset\in\mathcal{O}_X$ であり, $U=X$ の時 $f^{-1}(U)=X\in\mathcal{O}_X$ であることから $f$ は連続である.
先程と同じように, 連続性の定義から終域側の開集合が少ない程連続性の条件を満たしやすいことが分かる.
密着位相は最も開集合が少ない位相なので, 遂には密着位相空間へ写る全ての写像が連続になってしまうのだ.
2.8 終わりに
ここまで新しい定義と復習が多かったため, 次回は一旦進むのを止めて今までの例を詳しく見ていきたいと思う.
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