2-圏入門

$\A,\B$を局所小な圏(以降"圏"),$F,G:\A\to \B$を関手,$\eta:F\to G$を自然変換とする。以降簡便さのために、この状況を
$\eta:F\to G:\A \to \B$と表すことがある。

2-圏$\A$とは以下のようなデータである。
(1)クラス$|\A|$.
(2)各$A,B\in |\A|$に対して、小さな圏$\A(A,B)$.
(3)各$A,B,C\in |\A|$に対して、関手$c_{ABC}:\A(A,B)\times\A(B,C)\to\A(A,C)$.
(4)各$A\in|\A|$に対して、ただ一つの対象と恒等射からなる圏$1$からの関手
$u_A:1\to \A(A,A)$.
(5)以下の可換図式が成り立つ.
\begin{align} \xymatrix{ \A(A,B)\times\A(B,C)\times\A(C,D) \ar[d]_-{c_{ABC}\times 1}\ar[r]^-{1\times c_{BCD}} & \A(A,B)\times\A(B,D)\ar[d]^-{c_{ABD}} \\ \A(A,C)\times\A(C,D)\ar[r]^-{c_{ACD}} & \A(A,D) } \end{align}

\begin{align} \xymatrix{ 1\times\A(A,B) \ar[d]^-{u_A\times 1}& \A(A,B) \ar@{=}[d] \ar[l]_-{\sim} \ar[r]^-{\sim}& \A(A,B)\times 1 \ar[d]^-{1\times u_B}\\ \A(A,A)\times\A(A,B)\ar[r]^-{c_{AAB}} & \A(A,B) & \A(A,B)\times \A(B,B)\ar[l]_-{c_{ABB}} } \end{align}

$\A,\B$を2-圏とする。2-functor$F:\A\to \B$とは以下のようなデータである。
(1)0-cell$A\in\A$に対して0-cell$FA\in \B$.
(2)0-cells$A,A'\in \A$に対して通常の関手$F_{AA'}:\A(A,A')\to \B(B,B')$.
(3)以下の可換図式を満たす.
\begin{align} \xymatrix{ \A(A,A')\times\A(A',A'') \ar[r]^-{c} \ar[d]^-{F_{AA'}\times F_{A'A''}} &\A(A,A'') \ar[d]^-{F_{AA''}} \\\B(FA,FA')\times\B(FA',FA'') \ar[r]^-{c} &\B(FA,FA'') } \end{align}
\begin{align} \xymatrix{ 1\ar[r]^-{u} \ar[dr]_-{u} &\A(A,A)\ar[d]^{F_{AA}} \\ &\B(FA,FA) } \end{align}
以降、混同の恐れがない場合には$F_{AA'}$の添え字を省略することがある。

2-functor$F,G:\A\to \B$の間の2-natural transformation
$\tau:F\to G$は次のようなデータである。
(1)0-cell$A\in \A$に対して1-cell$\tau_A:FA\to GA$.
(2)以下の可換図式が成り立つ.
\begin{align} \xymatrix{ \A(A,A')\ar[r]^-{G} \ar[d]^-{F} &\B(GA,GA') \ar[d]^{\B(\tau_A,GA')} \\\B(FA,FA') \ar[r]^-{\B(FA,\tau_{A'})} &\B(FA,GA') } \end{align}
また、ふたつの2-natural transformation
$\tau:F\to G:\A\to \B,\,\rho:G\to H:\A\to \B$
に対して、垂直合成
$\rho\bullet \tau:F\to H:\A\to \B$
を
$(\rho\bullet \tau)_A:=\rho_A\circ \tau_A$
と定義する。
また、ふたつの2-natural transformation
$\tau:F\to G:\A\to \B,\,\rho:H\to K:\B\to\C$
に対して、水平合成
$\rho\ast\tau:H\circ F\to K\circ G:\A\to \C$
を
$(\rho\ast\tau)_a:=(\rho\ast G)_a\circ(H\ast \tau)_a$
と定義する。

2-natural transformation
$\tau,\rho:F\to G:\A\to \B$に対してmodification
$\Theta:\tau\to \rho:F\to G:\A\to \B$とは次のようなデータである。
(1)0-cell$A\in \A$に対して、2-cell$\Theta_A:\tau_A\to \rho_A:FA\to GA$.
(2)まず任意の2-cell$\alpha:f\to g:A\to A'\in \A$に対して
$F\alpha:Ff\to Fg:FA\to FA',\,G\alpha:Gf\to Gg:GA\to GA'$である。このとき、$\Theta_{A'}\ast F\alpha=G\alpha\ast\Theta_A$である。
\begin{align} \xymatrix{ FA\ar@<1.0ex>[r]^-{Ff} \ar@<-1.0ex>[r]_-{Fg} &FA'\ar@<1.0ex>[r]^-{\tau_{A'}} \ar@<-1.0ex>[r]_-{\rho_{A'}} &GA' \\ FA\ar@<1.0ex>[r]^-{\tau_A} \ar@<-1.0ex>[r]_-{\rho_A} &GA\ar@<1.0ex>[r]^-{Gf} \ar@<-1.0ex>[r]_-{Gg} &GA' } \end{align}
また、ふたつのmodification
$\Theta:\tau\to \rho:F\to G:\A\to \B$
$\Phi:\rho\to \sigma:F\to G:\A\to \B$
に対して、垂直合成を
$(\Phi\diamond\Theta)_A:=\Phi_A\bullet\Theta_A$
と定義する。
また、ふたつのmodification
$\Theta:\tau\to \rho:F\to G:\A\to \B$
$\Phi:\phi\to \psi:G\to H:\A\to \B$
に対して、水平合成を
$(\Phi\star\Theta)_A:=\Phi_A\ast\Theta_A$
と定義する。

$\A,\B$を2-圏、$F:\A\to \B$を2-functorとする。

$\B$の0-cell$B$を頂点とした$F$の2-cocone(英：a 2-cocone on $F$ with vertex $B$)とは、2-natural transformation$\sigma:F\to \Delta_B$である。
つまり、$\A$の0-cell$A$に対して、$\B$の1-cell$\sigma_A:FA\to B$があり、$\A$の1-cell$f:A\to A'$に対して$\sigma_{A'}\circ Ff=\sigma_A$である。

1-圏$\mathsf{2Cocone}(F,B)$を$\B^\A(F,\Delta_B)$とする。つまり、$B$を頂点とした$F$の2-coconeを対象、2-coconeの間のmodification(定義5を参照)を射とする1-圏である。合成は垂直合成$\diamond$である。

$L$を頂点とした$F$の2-cocone$(L,\sigma:F\to \Delta_L)$が$F$の2-colimitであるとは、任意の$\B$の0-cell$B$に対して以下に定義する関手
$(L,\sigma):\B(L,B)\to \mathsf{2Cocone}(F,B)$
が同型(≠圏同値)であることである。

関手$(L,\sigma)$の定義：
$\B$の1-cell$g:L\to B$に対して$(L,\sigma)(g):=(g\circ \sigma_A)_{A\in \A}$.
$\B$の2-cell$\eta:g\to h:L\to B$に対して$(L,\sigma)(\eta):=(\eta\ast i_{\sigma_A})_{A\in\A}$.

定義6の記法を使う。$L$を頂点とした$F$の2-cocone$(L,\sigma:F\to \Delta_L)$が$F$のbicolimitであるとは、任意の$\B$の0-cell$B$に対して関手
$(L,\sigma):\B(L,B)\to \mathsf{2Cocone}(F,B)$
が圏同値であることである。