わからへんわからへん...わからへん($2^n$回)
「教えて、とんとん...とん($2^n$回)」

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![画像の名前](/uploads/mathdown/Gqwyr8JdOY5Ah0kGV9Oi.png)
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$\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$の乗法群の位数は$(p-1)p^{2n-1}$(参考文献参照)であるから$G$の位数は$(p-1)p^{n-1}p^n=(p-1)p^{2n-1}$.$p$と$p-1$は互いに素であり$p-1$以下の$1+rp$の形の数は$1$のみ.よってシローの定理から位数$p^{2n-1}$の部分群をただ一つもつ.$\Box$
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コメント:メインは乗法群の位数を求めるところだと思います.
参考文献:AKITOさんの動画[【代数学#83】(Z/p^nZ)の乗法群の構造](https://youtu.be/rn3RhalneLI?si=RFa-vINLYJYlaF0q)


院解14 京大数学系 H24 数学I 2 位数p^nの巡回群の乗法群

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