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微分方程式と解析接続

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はじめに

　この記事では微分方程式の解の解析接続とモノドロミーについて要所を掻い摘んで解説していきます。
　以下では $D$ 上正則な係数 $p_{1} (z), p_{2} (z), \dots, p_{n} (z)$ を持つ微分方程式
$\frac{d^{n} u}{d z^{n}} + p_{1} (z) \frac{d^{n - 1} u}{d z^{n - 1}} + \dots + p_{n} (z) u = 0$
を考えます。

基本群

　連続写像 $φ : [0, 1] \to D$ であって $φ (0) = φ (1) = a$ を満たすものを $a$ を基点とする閉曲線と言う。
　 $a$ を基点とする閉曲線 $φ, φ^{'}$ に対しその積 $φ \cdot φ^{'}$ を
$φ \cdot φ^{'} (t) = {\begin{array}{lc} φ (2 t) & (0 \leq t \leq 1 / 2) \\ φ^{'} (2 t - 1) & (1 / 2 \leq t \leq 1) \end{array}$
によって定める。
　また $φ$ と $φ^{'}$ に対し連続写像 $h : [0, 1] \times [0, 1] \to D$ であって
$h (s, 0) = h (s, 1) = a, h (0, t) = φ (t), h (1, t) = φ^{'} (t)$
を満たすようなものが存在するとき $φ$ と $φ^{'}$ はホモトピー同値であると言う。
　 $a$ を基点とする $D$ 内の閉曲線全体 $C (D, a)$ をホモトピー同値で割った集合 $C (D, a) / ≃$ のことを $a$ を基点とする $D$ の基本群と言い $π_{1} (D, a)$ と表す。基本群の元 $[φ], [φ^{'}]$ に対し積
$[φ] \cdot [φ^{'}] := [φ \cdot φ^{'}]$
はwell-definedに定まり、 $π_{1} (D, a)$ はこの演算について群を成す。

　 $φ$ と $φ^{'}$ がホモトピー同値であるとは簡単に言うと $φ$ と $φ^{'}$ が( $D$ 内での)連続変形によって写り合うことを表している。
　例えば $D$ が単連結領域であれば任意の $φ, φ^{'}$ はホモトピー同値となる。また例えば $D = C ∖ {0}$ において $φ (t) = e^{2 π i t}, φ^{'} (t) = 2 - e^{2 π i t}$ のように定めると、 $φ$ はどのように連続変形しても $z = 0$ をその"外側"に出すことはできないので $φ^{'}$ とはホモトピー同値にはなり得ない。
　一般に次のような事実が知られている。

　 $D$ が $C$ から丁度 $m$ 点 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}$ を除いた領域であるとき、任意の $a \in D$ に対して $π_{1} (D, a)$ は $m$ 個の生成元を持つ自由群となる。
　特に $φ_{k}$ を $a_{k}$ を一周し、その他の点を周回しないような閉曲線とすると
$π_{1} (D, a) = ⟨ [φ_{1}], [φ_{2}], \dots, [φ_{m}] ⟩$
が成り立つ。

解析接続とモノドロミー

　連続曲線 $φ : [0, 1] \to D$ について、各 $t$ に対し $z = φ (t)$ の円盤近傍 $U_{t}$ 上定義された正則関数 $F_{t}$ が
・任意の $t_{0} \in (0, 1)$ に対し、区間 $I = (t_{1}, t_{2}) ∋ t_{0}$ を $φ (I) \subset U_{t_{0}}$ を満たすように任意に取ったとき、任意の $t \in I$ に対し $U_{t} \cap U_{t_{0}}$ 上 $F_{t} \equiv F_{t_{0}}$ が成り立つ。
を満たすとき、その族 ${F_{t}}$ は曲線 $φ$ に沿う $F = F_{0}$ の解析接続であると言う。

解の存在と一意性

　微分方程式
$\frac{d^{n} u}{d z^{n}} + p_{1} (z) \frac{d^{n - 1} u}{d z^{n - 1}} + \dots + p_{n} (z) u = 0 \dots (★)$
の係数 $p_{1} (z), p_{2} (z), \dots, p_{n} (z)$ が $D$ 上正則であれば、初期値
$u^{(k)} (a) = b_{k} (k = 0, 1, \dots, n - 1)$
を満たす正則な解 $u$ が、 $a$ を含む任意の単連結領域 $D_{a} \subset D$ においてただ一つ定まる。
　特にこの微分方程式の $D_{a}$ 上の解全体を $V_{a}$ とおくと、これは $n$ 次元 $C$ -線形空間となる。

解の解析接続可能性

　上のような解 $u$ は $a$ を始点とする任意の連続曲線 $φ$ に沿って解析接続でき、それによって得られる関数 $u_{t}$ も上の微分方程式を満たす。

　いま $u \in V_{a}$ を $a$ を基点とする閉曲線 $φ$ によって解析接続したとき、その終点において定まる関数 $v = u_{1}$ も $V_{a}$ に含まれることになる。特にこの対応による線形写像
$ρ_{φ} : V_{a} \to V_{a}, u \mapsto v$
はホモトピー同値によって不変であり
$ρ_{[φ]} \circ ρ_{[φ^{'}]} = ρ_{[φ] \cdot [φ^{'}]}$
を満たすことがわかるので、これによって準同型
$ρ : π_{1} (D, a) \to G L (V_{a})$
が得られる(ただし $G L (V)$ は一般線形群、つまり $V$ の線形自己同型全体とした)。
　この準同型 $ρ$ のことを( $a$ を基点とする) $(★)$ のモノドロミー表現と言う。

　一般に群 $G$ の元をある線形空間 $V$ の自己同型に対応させる準同型写像 $G \to G L (V)$ のことを群の表現と言う。

　また適当に $V_{a}$ の基底 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ を取り、この基底に関する $ρ_{[φ]}$ の表現行列、つまり
$[\begin{matrix} ρ_{[φ]} (u_{1}) & ρ_{[φ]} (u_{2}) & \dots & ρ_{[φ]} (u_{n}) \end{matrix}] = [\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & \dots & u_{n} \end{matrix}] M_{[φ]}$
によって定まる準同型
$M : π_{1} (D, a) \to G L (n, C)$
を考えたとき、この像の定める $G L (n, C)$ の部分群のことを基底 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ に関するモノドロミー群と言う。

　例えば $D = C ∖ {0}$ 上正則な係数を持つ微分方程式
$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{1}{z} \frac{d u}{d z} = 0$
を考えると、これは $z \neq 0$ において
$u = A + B \log z = [\begin{matrix} 1 & \log z \end{matrix}] (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$
と解ける。またこれの $φ (t) = e^{2 π i t}$ に沿った解析接続を考えると
$ρ_{[φ]} (u) = A + B (\log z + 2 π i) = [\begin{matrix} 1 & \log z \end{matrix}] (\begin{matrix} 1 & 2 π i \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$
と変換されることとなる。したがってこの微分方程式の基本解 $1, \log z$ に関するモノドロミー群は
$⟨ (\begin{matrix} 1 & 2 π i \\ 0 & 1 \end{matrix}) ⟩ = {(\begin{matrix} 1 & 2 π i n \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∣ n \in Z}$
となる。

　また例えば微分方程式
$\frac{d u}{d z} - \frac{α}{z} u = 0$
を考えると、これは $z \neq 0$ において
$u = A z^{α}$
と解け、これは
$ρ_{[φ]} (u) = A e^{α (\log z + 2 π i)} = A e^{2 π i α} z^{α}$
と解析接続される。したがってモノドロミー群は
$⟨ e^{2 π i α} ⟩ = {e^{2 π i n α} ∣ n \in Z}$
となる。

普遍被覆面

　上ではモノドロミー表現を基本群を用いて定義したが、これは被覆面の理論を使うことでより扱いやすい形に書き換えることができる。そのことについても以下で見ていこう。

普遍被覆面

　位相空間 $D^{'}$ から領域 $D$ への全射連続写像 $p$ であって
・任意の $z \in D$ に対してある開近傍 $U ∋ z$ が存在し、 $p^{- 1} (U)$ の任意の連結成分 $V$ に対し $p |_{V} : V \to U$ は位相同型となる。
を満たすものが存在するとき $D^{'}$ は $D$ の被覆面であると言う。
　特に(弧状連結かつ)単連結な被覆面のことを普遍被覆面と言う。

　被覆面を定める写像(被覆写像)の条件は次のようにも言い換えられる。

任意の $z \in D$ に対して $p^{- 1} (z)$ は $D^{'}$ において離散位相を持つ。
またある開近傍 $U ∋ z$ が存在して同相 $ψ : p^{- 1} (U) \to U \times p^{- 1} (z)$ が成り立つ。
特に第一成分への射影を $π$ とおくと $p |_{p^{- 1} (U)} = π \circ ψ$ が成り立つ。

このように被覆面は局所的に $U$ を"束ねた"空間となっており、 $p^{- 1} (U)$ の各連結成分のことを $U$ 上のシート、 $p^{- 1} (z)$ のことを $z$ 上のファイバーとも呼ばれる。
　なお以下でも触れるように $D$ を $C$ 内の領域としていたことから $D^{'}$ には自然に二次元実多様体としての構造が入り、それゆえに被覆"面"と呼んでいることに注意する。ちなみに一般の位相空間 $Y$ に対する被覆 $X$ は単に被覆空間と呼ばれる。

被覆変換群

　被覆 $D^{'} \overset{p}{\to} D$ について、 $D^{'}$ の位相自己同型 $σ$ であって $p \circ σ = p$ を満たすものを $D^{'} \overset{p}{\to} D$ の被覆変換、被覆変換全体のなす群のことを被覆変換群と言い $Γ (D^{'} \overset{p}{\to} D)$ と表す。
　また任意の $z \in D$ および $z_{1}, z_{2} \in p^{- 1} (z)$ に対し $z_{1} = σ (z_{2})$ を満たすような被覆変換 $σ$ が存在するような被覆のことをガロア被覆(または正則被覆や正規被覆)と言う。

　次の主張は代数学におけるガロア理論の基本定理に酷似した非常に興味深い定理となっている。

　被覆 $D^{'} \overset{p}{\to} D$ において $p$ による $D^{'}$ 内の閉曲線は $D$ 内の閉曲線に写され、これによって定まる準同型
$p_{*} : π_{1} (D^{'}, z^{'}) \to π_{1} (D, z) (z = p (z^{'}))$
は単射となる。
　また $π_{1} (D, z)$ の任意の部分群 $Γ^{'}$ に対しある被覆 $D^{'} \overset{p}{\to} D$ が存在し $Γ^{'} = p_{*} (π_{1} (D^{'}, z^{'}))$ が成り立つ(特に $D$ の被覆全体に対しある同値関係を入れることでこの対応は一対一となる)。
　特に $Γ^{'}$ が $π_{1} (D, z)$ の正規部分群であることと $D^{'} \overset{p}{\to} D$ がガロア被覆であることは同値であり、このとき同型
$π_{1} (D, z) / Γ^{'} ≃ Γ (D^{'} \overset{p}{\to} D)$
が成り立つ。

　任意の領域 $D$ に対し普遍被覆面 $D^{'}$ が存在し、同型
$π_{1} (D, z) ≃ Γ (D^{'} \overset{p}{\to} D)$
が成り立つ。

微分方程式と普遍被覆面

　被覆面 $\tilde{D}$ には各点 $\tilde{z} \in \tilde{D}$ に対して適当なシート $V_{\tilde{z}}$ を取り局所座標系 $p |_{V_{\tilde{z}}}$ を入れることで自然に複素多様体、つまりリーマン面の構造が備わる。一応リーマン面の定義を提示しておこう。

リーマン面

　位相空間 $X$ とその開集合 $U_{λ}$ 上の写像 $φ_{λ} : U_{λ} \to C$ が
・ $X$ は連結なハウスドルフ空間
・ ${U_{λ}}_{λ \in Λ}$ は $X$ の被覆、つまり $X = ⋃_{λ \in Λ} U_{λ}$
・ $φ_{λ} : U_{λ} \to φ_{λ} (U_{λ})$ は同相写像
・ $U_{α} \cap U_{β} \neq \emptyset$ なら $φ_{α} \circ φ_{β}^{- 1} : φ_{α} (U_{α} \cap U_{β}) \to φ_{β} (U_{α} \cap U_{β})$ は正則関数
を満たすとき、 $(X, {(U_{λ}, φ_{λ})}_{λ \in Λ})$ はリーマン面、あるいは単に $X$ はリーマン面であるという。
　この各写像 $φ_{λ}$ のことを局所座標系、 $(U_{λ}, φ_{λ})$ のことを座標近傍、その組 ${(U_{λ}, φ_{λ})}_{λ \in Λ}$ のことを座標近傍系という。

　 $D$ 上の正則関数 $f$ は被覆写像 $p$ によって被覆面 $\tilde{D}$ 上の正則関数 $f \circ p$ に持ち上げられる(正確には引き戻しであるが)。慣例に従ってこれを $f \circ p = p^{*} f$ と表す。
　いまこの作用によって $D$ 上正則な係数を持つ微分方程式
$\frac{d^{n} u}{d z^{n}} + p_{1} (z) \frac{d^{n - 1} u}{d z^{n - 1}} + \dots + p_{n} (z) u = 0$
は $\tilde{D}$ 上正則な係数を持つ微分方程式
$\frac{d^{n} \tilde{u}}{d z^{n}} + {\tilde{p}}_{1} (\tilde{z}) \frac{d^{n - 1} \tilde{u}}{d z^{n - 1}} + \dots + {\tilde{p}}_{n} (\tilde{z}) \tilde{u} = 0$
に持ち上げられる。特に $\tilde{D}$ を普遍被覆面とすると定理2,3は次のように一般化される。

解の存在と一意性

　単連結なリーマン面 $\tilde{D}$ 上正則な係数 ${\tilde{p}}_{1}, {\tilde{p}}_{2}, \dots, {\tilde{p}}_{n}$ を持つ微分方程式
$\frac{d^{n} \tilde{u}}{d z^{n}} + {\tilde{p}}_{1} (\tilde{z}) \frac{d^{n - 1} \tilde{u}}{d z^{n - 1}} + \dots + {\tilde{p}}_{n} (\tilde{z}) \tilde{u} = 0 \dots (\tilde{★})$
は任意の初期条件
${\tilde{u}}^{(k)} (\tilde{a}) = b_{k} (k = 0, 1, \dots, n - 1)$
に対して $\tilde{D}$ 上正則な解 $\tilde{u}$ がただ一つ定まる。
　特に $(\tilde{★})$ の $\tilde{D}$ 上の解全体を $V$ とおくと、これは $n$ 次元 $C$ -線形空間をなす。

　いま上のように $(\tilde{★})$ の各係数 ${\tilde{p}}_{k}$ が $D$ 上の正則関数 $p_{k}$ を用いて ${\tilde{p}}_{k} = p^{*} p_{k}$ と書ける場合を考える。このとき任意の被覆変換 $γ \in Γ (\tilde{D} \overset{p}{\to} D)$ に対し $γ^{*} {\tilde{p}}_{k} = (p \circ γ)^{*} p_{k} = {\tilde{p}}_{k}$ が成り立つことに注意すると $\tilde{v} = γ^{*} \tilde{u}$ も $(\tilde{★})$ を満たすことがわかる。特にこの作用は線形同型
$γ^{*} : V \to V$
を引き起こし、この対応によって定まる準同型
$Γ (\tilde{D} \overset{p}{\to} D) \to G L (V), γ \mapsto γ^{*}$
のことをモノドロミー表現と言う。また $V$ のある基底に関する表現行列のなす群のことをモノドロミー群と言う。

　例えば $D = C ∖ {0}$ の普遍被覆面として螺旋面
$\tilde{D} = {(r \cos θ, r \sin θ, θ) ∣ r, θ \in R, r > 0}$
および被覆写像として射影
$p : (r \cos θ, r \sin θ, θ) \mapsto r e^{i θ}$
が取れる。またこのとき任意の被覆変換 $γ$ はある整数 $n$ を用いて
$γ : (r \cos θ, r \sin θ, θ) \mapsto (r \cos θ, r \sin θ, θ + 2 π n)$
と表せる。

　このことを踏まえると微分方程式
$\frac{d^{2} u}{d z^{2}} + \frac{1}{z} \frac{d u}{d z} = 0$
は $\tilde{D}$ 上で
$\tilde{u} = A + B (\log r + i θ) = [\begin{matrix} 1 & \log r + i θ \end{matrix}] (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$
と解け、これは被覆変換によって
$γ^{*} \tilde{u} = A + B (\log r + i (θ + 2 π n)) = [\begin{matrix} 1 & \log r + i θ \end{matrix}] (\begin{matrix} 1 & 2 π i \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix})$
と変換されることとなる。