軌道と固定部分群
軌道と固定部分群
この記事では、軌道および固定部分群について、説明します。
$G$を群、$X$を集合とする。
写像$\phi:G\times X\rightarrow X, (g,x) \rightarrow \phi((g,x))$とする。
以後、簡単のため、$\phi((g,x))=g*x$と書くことにする。
次の2つの条件が満たされるとき、$\phi$を$G$作用という。
- $1*x=x,(\forall x \in X)$
- $g*(h*X)=(gh)*X,(\forall g,h \in G)$
有理数全体の集合を$\mathbb{Q}$とし、そこから$\{0\}$を除いた集合を$\mathbb{Q}^{\times}$とする。$\mathbb{Q}^{\times}$は通常の積の演算で群になる。
上の定義で、$G=\mathbb{Q}^{\times},X=\mathbb{Z},g*x=gx$と適用すると、定義の1,2が満たされることがすぐにわかるので、$g*x=gx$は $G$作用であるという。
$G$作用に関し、 軌道と固定部分群を定義する。
$\exists x\in X$について、$G_x=\{g|g*x=x\}$を固定部分群という。
上の定義で群になることを確認しておこう。
まず、$1\in G$については定義より、$1*x=x$なので、$G_x$の元
次に、逆元については、$g*x=x$なので、$g^{-1}*(g*x)=(gg^{-1})*x=x$なので、逆元も含まれる。
$g,h\in G_x\Rightarrow gh*x=g*(h*x)=g*x=x$より閉じてもいる。
$\exists x \in X$について、$G*x=\{gx|g\in G\}$を($G$-)軌道という。
$G$を位数9の群とし、作用を$\phi:G\times G\rightarrow G,(g,x)\rightarrow gxg^{-1}$と定める。($G$は群だが、いま$X=G$としている。)
いま、ある$x$に対する固定部分群は、$G_x=\{g|gxg^{-1}=x\}$となるものであり、$x$と可換な元全体である。
また、$x$に対する軌道は、$G*x=\{gxg^{-1}|g\in G\}$である。
(ここで例えば、$G*x={x}$である場合、$\forall g \in G,gx=xg$なので、$x$は群$G$の中心$Z(G)$の元となる。このことは位数$p^2$の群で今後用いる。)
軌道については、次の命題も成立する。
$x_i,x_j \in X,(x_i\neq x_j)$について、つぎの二つのどちらかが成立する。
- $G*x_i=G*x_j$
- $G*x_i\cap G*x_j=\varnothing$
ゆえに、うまく$x_i\in X$を選んで、$\displaystyle X=\coprod_{i}G*x_i$とできる。
これを軌道分解という。
$a\in G*x_i\cap G*x_j$とすると、$\exists g_i,g_j \in G,g_i*x_i=g_j*x_j=a$となるので、$x_i=(g_i^{-1}g_j)*x_j$ よって、$\forall g\in G, g*x_i=(gg_i^{-1}g_j)*x_j\in G*x_j$であり、$G*x_i\subset G*x_j$を得る。同様に考えれば、$G*x_j\subset G*x_i$でもあるから、命題1が示された。
最後に、固定部分群と軌道に対して、次の定理が成り立つ。
$|G|=|G_x||G*x|,(\forall x \in X)$
写像$\psi:G\rightarrow G*x(\subset X),g\rightarrow g*x$とする。 ここで、$\phi(g_1)=\phi(g_2)$すなわち、$g_1*x=g_2*x$だと仮定すると、$g_2^{-1}g_1*x=x$したがって、$g_2^{-1}g_1\in G_x$である。よって、$g_1G_x=g_2G_x$となる。このことから、写像$f: G/G_x\rightarrow G*x,gG_x\rightarrow g*x$とおくと、この写像は全単射になる。実際、$f(g_1G_x)=f(g_2G_x)\Rightarrow g_1G_x=g_2G_x$なので単射であり、また、$g*x\in G*x$に対して、$gG_x\in G/G_x$だから、全射である。
よって、$\displaystyle|G/G_x|=\frac{|G|}{|G_x|}=|G*x|$
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