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現代数学解説
文献あり

Borwein-Garvanによる恒等式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{inv}[0]{\mathrm{inv}} \newcommand{maj}[0]{\mathrm{maj}} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

Baileyによる公式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{aq^n}{(1-aq^n)^2}-\frac{bq^n}{(1-bq^n)^2}\right)&=a\frac{(ab,q/ab,b/a,aq/b;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^4}{(a,q/a,b,q/b;q)_{\infty}^2} \end{align}
を応用して, 以下の美しい等式を示す.

Borwein-Garvan(1997)

\begin{align} 1+3\sum_{0< n}\frac{nq^n}{1-q^n}-27\sum_{0< n}\frac{nq^{9n}}{1-q^{9n}}&=\frac{(q^3;q^3)_{\infty}^{10}}{(q;q)_{\infty}^3(q^9;q^9)_{\infty}^3} \end{align}

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{aq^n}{(1-aq^n)^2}-\frac{bq^n}{(1-bq^n)^2}\right)&=a\frac{(ab,q/ab,b/a,aq/b;q)_{\infty}(q;q)_{\infty}^4}{(a,q/a,b,q/b;q)_{\infty}^2} \end{align}
において, $q\mapsto q^3$として$a=\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}, b:=q$として,
\begin{align} (a,a\omega,a\omega^2;q)_{\infty}&=(a^3;q^3)_{\infty}\\ (a,aq,aq^2;q^3)&=(a;q)_{\infty} \end{align}
などを用いて整理すると,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{\omega q^{3n}}{(1-\omega q^{3n})^2}-\frac{q^{3n+1}}{(1-q^{3n+1})^2}\right)&=\omega\frac{(\omega q,\omega^2q^2,\omega^2q,\omega q^2,q^3,q^3,q^3,q^3;q^3)_{\infty}}{(\omega,\omega^2q^3,q,q^2;q^3)_{\infty}^2}\\ &=\frac{\omega}{(1-\omega)^2}\frac{(q^3,q^6;q^9)_{\infty}(q^3;q^3)_{\infty}^4}{(\omega q^3, \omega^2q^3)_{\infty}^2(q,q^2;q^3)_{\infty}^3}\\ &=-\frac 13\frac{(q^3;q^3)_{\infty}^{10}}{(q^9;q^9)_{\infty}^3(q;q)_{\infty}^3} \end{align}
となる. 一方, 左辺は
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{\omega q^{3n}}{(1-\omega q^{3n})^2}-\frac{q^{3n+1}}{(1-q^{3n+1})^2}\right)\\ &=\frac{\omega}{(1-\omega)^2}+\sum_{0\leq n}\left(\frac{\omega q^{3n+3}}{(1-\omega q^{3n+3})^2}+\frac{\omega^2q^{3n+3}}{(1-\omega^2q^{3n+3})^2}-\frac{q^{3n+1}}{(1-q^{3n+1})^2}-\frac{q^{3n+2}}{1-q^{3n+3}}\right)\\ &=-\frac 13+\sum_{0\leq n}\left(\frac{q^{3n+3}}{(1-q^{3n+3})^2}+\frac{\omega q^{3n+3}}{(1-\omega q^{3n+3})^2}+\frac{\omega^2q^{3n+3}}{(1-\omega^2q^{3n+3})^2}-\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}\right)\\ &=-\frac 13+\sum_{0\leq n}\left(\frac{9q^{9n+9}}{(1-q^{9n+9})^2}-\frac{q^{n+1}}{1-q^{n+1}}\right)\\ &=-\frac 13+\sum_{0\leq n,0< m}(9mq^{(9n+9)m}-mq^{(n+1)m})\\ &=-\frac 13+\sum_{0< m}\left(\frac{9mq^{9m}}{1-q^{9m}}-\frac{mq^m}{1-q^m}\right)\\ \end{align}
と計算できるので, 両辺に$-3$を掛けて, 定理を得る.

この恒等式は, Berndt-Chan-Liu-Yesilyurtによる$(q;q)_{\infty}^{10}$の表示を通して, Ramanujanの合同式$p(11n+6)=0\pmod{11}$の証明への応用があるらしい.

参考文献

[1]
J. M. Borwein, F. G. Garvan, Approximations to π via the Dedekind eta function, CMS Conf. Proc., 1997, 89-115
[2]
Song Heng Chan, Generalized Lambert series identities., Proc. London Math. Soc., 2005, 598-622
[3]
Bruce C. Berndt, Song Heng Chan, Zhi-Guo Liu, Hamza Yesilyurt, A new identity for $(q;q)^{10}_{\infty}$ with an application to Ramanujan's partition congruence modulo 11., Q. J. Math, 2004, 13-30
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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