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東大数理院試過去問解答例(2022B10)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B10の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

東大数理2022B10

複素平面C上で定義された正則関数f(x)Ref(z)1+|z|2(zC)
を満たすとき、f2次以下の多項式であることを示せ。

まずf1を改めてfとおくことで、上の条件式はRef|z2|の条件下で示せば良いことがわかります。ここではもう少し一般的な結果を示しましょう。

複素平面C上で定義された正則関数f(x)が、m次多項式pについてRef(z)|p(z)|(zC)
を満たすとき、fm次以下の多項式である。

以下証明をしていきましょう。条件の式を簡単な場合に帰着していきます。まずpがどのような形であれ、この条件はp=Kzmの場合、つまりある定数K>0について
Ref(z)|Kzm|が成り立つについて示せば十分です。

この条件の下でfがm次以下の多項式であることを示していきます(結局元の問題とほぼ同じことを示すことになってしまいました)。まずf(z)=u(z)+iv(z)とおき、そのTaylor展開をf=i=0aiziとおきます。ここでkm+1に対してak=0であることが示したいことです。そのためaku=Refを用いて表示して、さらにそれと条件式を使ってそれを示していきます。

上記の記号の下ak=2πrk02πu(reiθ)eikθdθ
が成り立つ。

Cauchyの積分定理によってak=12π|ζ|=rf(ζ)ζk+1dζ=1πrk02πf(reiθ)eikθdθである。一方、同様にCauchyの積分定理によって0=|ζ|=rf(ζ)ζk1=irk02πf(reiθ)eikθdθも成り立っている。初めの式と二つ目の式の共役を1iπr2k倍したものを足し、それを2で割ることで結果が従う。

晴れてakの値をuを使って表示することに成功しました。ここで複素解析の定跡(?)どおり絶対値を取って上から抑えたいところですが、まだ一つ問題があります。それはuの範囲が上からしか抑えられていないことです。そこでそれに対処するため次の式を使います。
u(0)=12π02πu(reiθ)dθ
これらの式を何倍かして足すことで
|ak|rk+4u(0)2π02π|u(reikθ)|+u(reikθ)dθ
が得られます。ここで上で導出した|ak|rk+2u(0))の上界の式から
|ak|rk+4u(0)max{0,4max|z|=r|u(z)|}が分かります。これを変形することで|ak|max{0,4max|z|=ru(z)rk}4u(0)rk4rkm+4u(0)rkが得られ、極限rを取ることでkm+1に対してak=0が示せました。

投稿日:20231010
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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