ここでは東大数理の修士課程の院試の2022B10の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
東大数理2022B10
複素平面上で定義された正則関数が
を満たすとき、は次以下の多項式であることを示せ。
まずを改めてとおくことで、上の条件式はの条件下で示せば良いことがわかります。ここではもう少し一般的な結果を示しましょう。
複素平面上で定義された正則関数が、次多項式について
を満たすとき、は次以下の多項式である。
以下証明をしていきましょう。条件の式を簡単な場合に帰着していきます。まずpがどのような形であれ、この条件はの場合、つまりある定数について
が成り立つについて示せば十分です。
この条件の下でがm次以下の多項式であることを示していきます(結局元の問題とほぼ同じことを示すことになってしまいました)。まずとおき、そのTaylor展開をとおきます。ここでに対してであることが示したいことです。そのためをを用いて表示して、さらにそれと条件式を使ってそれを示していきます。
Cauchyの積分定理によってである。一方、同様にCauchyの積分定理によっても成り立っている。初めの式と二つ目の式の共役を倍したものを足し、それをで割ることで結果が従う。
晴れての値をを使って表示することに成功しました。ここで複素解析の定跡(?)どおり絶対値を取って上から抑えたいところですが、まだ一つ問題があります。それはの範囲が上からしか抑えられていないことです。そこでそれに対処するため次の式を使います。
これらの式を何倍かして足すことで
が得られます。ここで上で導出したの上界の式から
が分かります。これを変形することでが得られ、極限を取ることでに対してが示せました。