文献あり

GL_n, SL_nのアーベル化について

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はじめに

　この記事では体 $K$ に対し一般線形群
$G L_{n} (K) = {A \in M_{n} (K) ∣ \det A \neq 0}$
のアーベル化を求めていきます。
　ただし群のアーベル化とは以下のように定められる群のことを言います。

　群 $G$ に対し、その交換子群
$D (G) = ⟨ x y x^{- 1} y^{- 1} ∣ x, y \in G ⟩$
による商 $G / D (G)$ を $G$ のアーベル化と言い、 $G^{ab}$ などと表す。

　そして $G L_{2} (K)$ のアーベル化は以下のように求まります。

　行列式による準同型
$\det : G L_{n} (K) \to K^{\times}$
は同型 $G L_{n} (K)^{ab} ≃ K^{\times}$ を与える。
　ただし $G L_{2} (F_{2})$ のときは
$sgn : G L_{2} (F_{2}) ≃ S_{3} \to {\pm 1}$
が同型 $G L_{2} (F_{2})^{ab} ≃ {\pm 1}$ を与える。

アーベル化について

　ちなみに群のアーベル化は以下のような性質を持ちます。

　群 $G$ からアーベル群 $A$ への準同型
$φ : G \to A$
に対しある準同型
$\overset{―}{φ} : G^{ab} \to A$
が存在し $φ = \overset{―}{φ} \circ π$ が成り立つ。
　ただし $π$ は自然な準同型 $π : G \to G^{ab}$ とした。

　特にこのことと命題1から以下のような興味深い事実が成り立ちます。

　 $G L_{n} (K)$ からアーベル群 $A$ への準同型
$φ : G L_{n} (K) \to A$
に対し、ある準同型
$\overset{―}{φ} : K^{\times} \to A$
が存在し $φ = \overset{―}{φ} \circ \det$ が成り立つ。
　ただし $S L_{2} (F_{2})$ のときはある $\overset{―}{φ} : {\pm 1} \to G$ が存在し $φ = \overset{―}{φ} \circ sgn$ が成り立つ。

　ついでに以下で示されるようにほとんどの場合において $S L_{n} (K)^{ab} = 1$ が成り立つので、以下のような事実も得られます。

　 $S L_{2} (F_{2}), S L_{2} (F_{3})$ の場合を除き、 $S L_{n} (K)$ からアーベル群 $A$ への準同型は自明なものに限る。

証明

$S L_{n} (K) = Ker (\det) = {A \in M_{n} (K) ∣ \det A = 1}$
とおくと $D (G L_{n} (K)) \subseteq S L_{n} (K)$ は明らかなので逆の包含を示せばよい。
　また $S L_{n} (K)$ は単位行列の $(i, j)$ 成分を $c$ に置き換えた行列(基本行列)
$E_{i j} (c) = (\begin{matrix} 1 \\ ⋱ \\ 1 & c \\ ⋱ \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix}) (i \neq j, c \in K)$
たちによって生成されることに注意すると、これらが $E_{i j} (c) \in D (G L_{n} (K))$ を満たすことを示せばよい。
　ついでにほとんどの場合において $E_{i j} (c) \in D (S L_{n} (K))$ 、つまり $S L_{n} (K) = D (S L_{n} (K))$ が成り立つことが示せる。

　 $n \geq 3$ において $S L_{n} (K) = D (S L_{n} (K))$ が成り立つ。

　任意の $i \neq j$ に対し $k \neq i, j$ なる $k$ を取ると
$\begin{aligned} E_{i j} (c) & = E_{i k} (c) E_{k j} (1) E_{i k} (- c) E_{k j} (- 1) \\ = E_{i k} (c) E_{k j} (1) E_{i k} (c)^{- 1} E_{k j} (1)^{- 1} \end{aligned}$
が成り立つことからわかる。

　 $K$ が $4$ 個以上の元を持つとき $S L_{2} (K) = D (S L_{2} (K))$ が成り立つ。

　仮定より $a \neq 0, \pm 1$ なる $a \in K$ が取れ、このとき
$A = (\begin{matrix} a & 0 \\ 0 & a^{- 1} \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix})$
とおくと
$A B A^{- 1} B^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & b (a^{2} - 1) \\ 0 & 1 \end{matrix})$
が成り立つので、 $b = (a^{2} - 1)^{- 1} c$ とおくことで
$E_{12} (c) = A B A^{- 1} B^{- 1}$
を得る( $E_{21} (c)$ についても同様)。

　 $S L_{2} (F_{3}) = D (G L_{2} (F_{3}))$ が成り立つ。

$A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 & - c \\ 0 & 1 \end{matrix})$
とおくと
$A B A^{- 1} B^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 2 c \\ 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & c \\ 0 & 1 \end{matrix}) = E_{12} (c)$
が成り立つことからわかる( $E_{21} (c)$ についても同様)。

　ちなみにこの場合は $S L_{2} (F_{3}) = D (S L_{2} (F_{3}))$ は成り立たず、実際
$D (S L_{2} (F_{3})) = {\pm (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), \pm (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), \pm (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}), \pm (\begin{matrix} - 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})}$
と求まるらしい(これは四元数群 $Q_{8}$ に同型であり、 $S L_{2} (F_{3})^{ab}$ は位数 $3$ の巡回群となる)。

$G L_{2} (F_{2})$ の場合

　 $G L_{2} (F_{2})$ は $3$ 次対称群 $S_{3}$ と同型である。

　 $G L_{2} (F_{2})$ は集合
$X = F_{2}^{2} ∖ {0} = {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})}$
に作用し置換を引き起こすので、これにより準同型
$G L_{2} (F_{2}) \to S_{3}$
が考えられる。
　簡単にわかるようにこの準同型は単射であり、また
$G L_{2} (F_{2}) = {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})}$
つまり $| G L_{2} (F_{2}) | = | S_{3} | = 6$ が成り立つことから全射性もわかるので同型 $G L_{2} (F_{2}) ≃ S_{3}$ を得る。

　符号による準同型
$sgn : S_{n} \to {\pm 1}$
は同型 $S_{n}^{ab} ≃ {\pm 1}$ を与える。

　 $n$ 次交代群 $A_{n} = Ker (sgn)$ について $D (S_{n}) = A_{n}$ が成り立つことを示せばよい。
　 $D (S_{n}) \subseteq A_{n}$ は明らかであり、また $A_{n}$ は長さ $3$ の巡回置換たちによって生成されることと
$\begin{aligned} (a b c) & = (a b) (a c) (a b) (a c) \\ = (a b) (a c) (a b)^{- 1} (a c)^{- 1} \end{aligned}$
が成り立つことに注意すると $A_{n} \subseteq D (S_{n})$ がわかるので $D (S_{n}) = A_{n}$ を得る。

　以上より以下の主張を得る。

　符号による準同型
$sgn : G L_{2} (F_{2}) ≃ S_{3} \to {\pm 1}$
は同型 $G L_{2} (F_{2})^{ab} ≃ {\pm 1}$ を与える。

　ちなみに $G L_{2} (F_{2})$ の交換子群は
$D (G L_{2} (F_{2})) = {(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})}$
と求まる。

参考文献

[1]

S. Lang, Algebra, pp. 536 - 541

投稿日：4月1日

更新日：4月1日

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子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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