(可換)環の性質の強さ

• 体$\Rightarrow$ED
  $R$を体とする. $a\in{R},\,b\in{R}-\set{0}$に対して$a=b(b^{-1}a)+0$と表せるので, $\varphi(x)=0\,(\ninni{x}\in{R}-\set{0})$とすればよい.
• ED$\Rightarrow$PID
  $R$をEDとし, $I$を$R$のイデアルとする.
  $I=\set{0}$のときは$I=\gsg{0}$よりOK.
  $I\neq\set{0}$とし, $\shazou{\varphi}{R-\set{0}}{\Z_{\ge0}}$を上の条件$(\star)$を満たすものとしてとる. $I-\set{0}\neq\emptyset$であることと$\Z_{\ge0}$が整列集合であることから, $\varphi\left(I-\set{0}\right)$には最小元$m$が存在する.
  $\varphi(b)=m$となる$b\in{I}-\set{0}$をとると, $b\in{I}$より$\gsg{b}\subset{I}$である.
  次に, $I\subset\gsg{b}$を示す. $a\in{I}$に対し, $R$がEDであることから, $a=bq+r\,\big(r=0\text{ または }\varphi(r)<\varphi(b)\big)$を満たす$q,r\in{R}$が取れる.
  このとき, $b\in{I}$より$bq\in{I}$となることから$r=a-bq\in{I}$となる.
  $r\neq0$と仮定すると, $r\in{I}-\set{0}$かつ$\varphi(r)<\varphi(b)=m$となるが, これは$m$の最小性に矛盾する. よって, $r=0$となる.
  これにより, $a=bq\in\gsg{b}$となるので$I\subset\gsg{b}$を得る.
• PID$\Rightarrow$UFD
  略

$\big(1+\sqrt{-3}\big)\big(1-\sqrt{-3}\big)=2\cdot2$より, $a\ |\ 2\cdot2$となる.
ここで, $a\big(p+q\sqrt{-3}\big)=2\,(p,q\in\Z)$と仮定する.
実部と虚部を比較することで,
$$ \begin{cases} p-3q=2\\ p+q=0 \end{cases} $$
となるが, $(p,q)=\dsp\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$となるので$p,q\in\Z$であることに矛盾.
したがって, $a$は素元でない.

$a=xy\,(x,y\in{\Z\big[\sqrt{-3}\big]})$とする.
さらに, $\Z\big[\sqrt{-3}\big]$の(標準的)ノルム$\shazou{N}{\Z\big[\sqrt{-3}\big]}{\Z_{\ge0}}$を$N\big(p+q\sqrt{-3}\big):=p^2+3q^2$により定める.
$a=xy$の両辺のノルムを考えると, $N(x)N(y)=N(xy)=N(a)=1^2+3\cdot1^{2}=4$となる.
ここで, $p^2+3q^2=2$を満たす$p,q\in\Z$が存在しないことから$N(x),N(y)\neq2$であることに注意すると, $\left(N(x),N(y)\right)=(1,4),(4,1)$となる.
$N(x)=1,N(y)=4$として一般性を失わない.
$x=x_{1}+x_{2}\sqrt{-3}$とおくと, $x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}=1$である.
このとき, $\left(x_{1}+x_{2}\sqrt{-3}\right)\left(x_{1}-x_{2}\sqrt{-3}\right)=x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}=1$となるので, $x$は単元となることが分かる. $x^{-1}=x_{1}-x_{2}\sqrt{-3}$である.