(可換)環の性質の強さ

• 体$\Rightarrow$ED
  $R$を体とする. $a\in R,b\in R-\left\{0\right\}$に対して$a=b(b^{-1}a)+0$と表せるので, $\phi (x)=0({}^{\mathrm{\forall }}x\in R-\left\{0\right\})$とすればよい.
• ED$\Rightarrow$PID
  $R$をEDとし, $I$を$R$のイデアルとする.
  $I=\left\{0\right\}$のときは$I=⟨0⟩$よりOK.
  $I\ne \left\{0\right\}$とし, $\phi :R-\left\{0\right\}\to {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$を上の条件$(\star )$を満たすものとしてとる. $I-\left\{0\right\}\ne \mathrm{\varnothing }$であることと${\mathbb{Z}}_{\ge 0}$が整列集合であることから, $\phi (I-\left\{0\right\})$には最小元$m$が存在する.
  $\phi (b)=m$となる$b\in I-\left\{0\right\}$をとると, $b\in I$より$⟨b⟩\subset I$である.
  次に, $I\subset ⟨b⟩$を示す. $a\in I$に対し, $R$がEDであることから, $a=bq+r(r=0\text{ または }\phi (r)<\phi (b))$を満たす$q,r\in R$が取れる.
  このとき, $b\in I$より$bq\in I$となることから$r=a-bq\in I$となる.
  $r\ne 0$と仮定すると, $r\in I-\left\{0\right\}$かつ$\phi (r)<\phi (b)=m$となるが, これは$m$の最小性に矛盾する. よって, $r=0$となる.
  これにより, $a=bq\in ⟨b⟩$となるので$I\subset ⟨b⟩$を得る.
• PID$\Rightarrow$UFD
  略

$(1+\sqrt{-3})(1-\sqrt{-3})=2\cdot 2$より, $a|2\cdot 2$となる.
ここで, $a(p+q\sqrt{-3})=2(p,q\in \mathbb{Z})$と仮定する.
実部と虚部を比較することで,
$$\{\begin{array}{l}p-3q=2\\ p+q=0\end{array}$$
となるが, $(p,q)={\displaystyle (\frac{1}{2},-\frac{3}{2})}$となるので$p,q\in \mathbb{Z}$であることに矛盾.
したがって, $a$は素元でない.

$a=xy(x,y\in \mathbb{Z}[\sqrt{-3}])$とする.
さらに, $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$の(標準的)ノルム$N:\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]\to {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$を$N(p+q\sqrt{-3}):=p^2+3q^2$により定める.
$a=xy$の両辺のノルムを考えると, $N(x)N(y)=N(xy)=N(a)=1^2+3\cdot 1^2=4$となる.
ここで, $p^2+3q^2=2$を満たす$p,q\in \mathbb{Z}$が存在しないことから$N(x),N(y)\ne 2$であることに注意すると, $(N(x),N(y))=(1,4),(4,1)$となる.
$N(x)=1,N(y)=4$として一般性を失わない.
$x=x_1+x_2\sqrt{-3}$とおくと, $x_1^2+3x_2^2=1$である.
このとき, $(x_1+x_2\sqrt{-3})(x_1-x_2\sqrt{-3})=x_1^2+3x_2^2=1$となるので, $x$は単元となることが分かる. $x^{-1}=x_1-x_2\sqrt{-3}$である.