(可換)環の性質の強さ
はじめに
こんにちは. 今回は, 可換環における性質(整域, 単項イデアル整域など)の違いについて比べてみようと思います.
用語の準備
以下, $R$は可換環とします.
整域は「悪い元(零因子)がいない」環です.
可換環$R$が整域であるとは, 任意の$a,b\in{R}$に対し
$$
a\neq0,b\neq0\Rightarrow ab\neq0
$$
が成り立つことをいう.
単項イデアルは「どんなイデアルもある一元で生成できる」ような環です.
整域$R$が単項イデアル整域(PID)であるとは, 任意の$R$のイデアル$I$に対し, $I=\gsg{a}$となる$a\in{R}$が存在することをいう.
ここで, $\gsg{a}:=\set{ar\ |\ r\in{R}}$である.
ユークリッド整域は「除法の原理(のようなこと)が適用できる」環です.
整域$R$がユークリッド整域(ED)であるとは, 次の条件$(\star)$を満たす写像$\shazou{\varphi}{R-\set{0}}{\Z_{\ge0}}$が存在することをいう.
$$
(\star)\quad a,b\in{R},\,b\neq0\Rightarrow\sonzai{q,r}\in{R}\text{ s.t. } a=bq+r\,\big(r=0\text{ または }\varphi(r)<\varphi(b)\big)
$$
便宜上, $\varphi(0)=-\infty$とすることが多い. (例：多項式の次数)
$a\in{R}-\set{0}$とする.
$a$が$R$の素元であるとは, 次を満たすことをいう：
- $a$は$R$の単元でない
- 任意の$x,y\in{R}$に対し, $a|xy$ならば$a|x$または$a|y$が成り立つ
$a\in{R}-\set{0}$とする.
$a$が$R$の既約元であるとは, 次を満たすことをいう：
- $a$は$R$の単元でない
- 任意の$x,y\in{R}$に対し, $a=xy$ならば$x,y$のどちらか一方は単元となる
一意分解整域は「素因数分解のようなことができる」環です.
整域$R$が一意分解整域(UFD)であるとは, 任意の$0$でない$a\in{R}$に対して, $R$の単元$u$と素元$p_{1},\ldots,p_{m}$を用いて$a=up_{1}\cdots{p_{m}}$と表せることをいう.
比較
これらの強弱は次のようになります.
体$\Rightarrow$ED$\Rightarrow$PID$\Rightarrow$UFD$\Rightarrow$整域$\Rightarrow$可換環
- 体$\Rightarrow$ED
$R$を体とする. $a\in{R},\,b\in{R}-\set{0}$に対して$a=b(b^{-1}a)+0$と表せるので, $\varphi(x)=0\,(\ninni{x}\in{R}-\set{0})$とすればよい. - ED$\Rightarrow$PID
$R$をEDとし, $I$を$R$のイデアルとする.
$I=\set{0}$のときは$I=\gsg{0}$よりOK.
$I\neq\set{0}$とし, $\shazou{\varphi}{R-\set{0}}{\Z_{\ge0}}$を上の条件$(\star)$を満たすものとしてとる. $I-\set{0}\neq\emptyset$であることと$\Z_{\ge0}$が整列集合であることから, $\varphi\left(I-\set{0}\right)$には最小元$m$が存在する.
$\varphi(b)=m$となる$b\in{I}-\set{0}$をとると, $b\in{I}$より$\gsg{b}\subset{I}$である.
次に, $I\subset\gsg{b}$を示す. $a\in{I}$に対し, $R$がEDであることから, $a=bq+r\,\big(r=0\text{ または }\varphi(r)<\varphi(b)\big)$を満たす$q,r\in{R}$が取れる.
このとき, $b\in{I}$より$bq\in{I}$となることから$r=a-bq\in{I}$となる.
$r\neq0$と仮定すると, $r\in{I}-\set{0}$かつ$\varphi(r)<\varphi(b)=m$となるが, これは$m$の最小性に矛盾する. よって, $r=0$となる.
これにより, $a=bq\in\gsg{b}$となるので$I\subset\gsg{b}$を得る. - PID$\Rightarrow$UFD
略
上の命題の逆は一般には成り立ちません. 実際に例を見てみましょう.
可換環だが整域でない例
$R=\qg{\Z}{4\Z}$は可換環ですが, $\overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{0},\,\overline{2}\neq\overline{0}$であることから整域でないことが分かります.
整域だがUFDでない例
一般に, 次が知られています.
$R$を整域, $a\in{R}$とする.
$a$が素元$\Rightarrow a$が既約元
特に, $R$がUFDのときは逆も成立する. (i.e. $a$が素元$\Leftrightarrow a$が既約元)
つまり, UFDにおいては素元と既約元に違いがないということが分かります.
これを踏まえると, 整域だがUFDでない環には既約元だが素元でない元を含んでいることが分かります.
ここで, $R=\Z\big[\sqrt{-3}\big]=\set{p+q\sqrt{-3}\ \middle|\ p,q\in\Z},\,a=1+\sqrt{-3}$について考えてみましょう.
$a$は素元でない
$\big(1+\sqrt{-3}\big)\big(1-\sqrt{-3}\big)=2\cdot2$より, $a\ |\ 2\cdot2$となる.
ここで, $a\big(p+q\sqrt{-3}\big)=2\,(p,q\in\Z)$と仮定する.
実部と虚部を比較することで,
$$
\begin{cases}
p-3q=2\\
p+q=0
\end{cases}
$$
となるが, $(p,q)=\dsp\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$となるので$p,q\in\Z$であることに矛盾.
したがって, $a$は素元でない.
$a$は既約元である
$a=xy\,(x,y\in{\Z\big[\sqrt{-3}\big]})$とする.
さらに, $\Z\big[\sqrt{-3}\big]$の(標準的)ノルム$\shazou{N}{\Z\big[\sqrt{-3}\big]}{\Z_{\ge0}}$を$N\big(p+q\sqrt{-3}\big):=p^2+3q^2$により定める.
$a=xy$の両辺のノルムを考えると, $N(x)N(y)=N(xy)=N(a)=1^2+3\cdot1^{2}=4$となる.
ここで, $p^2+3q^2=2$を満たす$p,q\in\Z$が存在しないことから$N(x),N(y)\neq2$であることに注意すると, $\left(N(x),N(y)\right)=(1,4),(4,1)$となる.
$N(x)=1,N(y)=4$として一般性を失わない.
$x=x_{1}+x_{2}\sqrt{-3}$とおくと, $x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}=1$である.
このとき, $\left(x_{1}+x_{2}\sqrt{-3}\right)\left(x_{1}-x_{2}\sqrt{-3}\right)=x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}=1$となるので, $x$は単元となることが分かる. $x^{-1}=x_{1}-x_{2}\sqrt{-3}$である.
これにより, $\Z\big[\sqrt{-3}\big]$がUFDでない整域であることが分かります.
UFDだがPIDでない例
環の一意分解性は(多変数)多項式環にも引き継がれます.
$R$:UFD$\Rightarrow R[x]$:UFD
より一般に, $R$:UFD$\Rightarrow R[x_{1},\ldots,x_{n}]$:UFD
$\Z$はUFDなので, $\Z[x,y]$もUFDとなります.
ここで, $\Z[x,y]$について次が分かります.
$\Z[z,y]$において, $\gsg{2,x}=\gsg{f}$を満たす$f\in\Z[x,y]$は存在しない.
これにより, $\Z[x,y]$はPIDでないUFDであることが分かります.
PIDだがEDでない例
細かい説明は省略しますが, 実は$\Z\left[\frac{-1+\sqrt{-19}}{2}\right]$はEDでないPIDであることが知られています.
EDだが体でない例
$\shazou{\varphi}{\Z-\set{0}}{\Z_{\ge0}}$を$\varphi(n):=|n|$と定めれば, $\Z$がEDとなります.
一方で, $2$は$\Z$上に逆元を持たないので体でないことが分かります.
最後に
このような環の2つの構造の違いを理解するには, 一方しか成り立たないような例を考えるのが一番ですね！
