単純な行列の逆行列

$\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 3& -1\\ 1& -1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\\ I_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right]$

$\therefore \left[\begin{array}{c}{I}_1\\ I_2\\ I_3\end{array}\right]={\displaystyle \frac{1}{4}}\left[\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& 1\\ -1& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ -2\\ 2\end{array}\right]$

三次正方行列の中でも、
１．対角成分が等しい
２．そこ以外の絶対値が同じ
３．対称行列
を満たす奴の逆行列は、簡単に出せるというお話です。

証明

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& a& d\\ c& d& a\end{array}\right]$($b^2=c^2=d^2,(行列式)\ne 0$)の逆行列を求めていきます。

前準備

まずは余因子行列で大雑把な形を把握したいところですが、その前に。
こいつは対称行列なので、逆行列も対称行列です。
($\because (A{A}^{-1}{)}^t=I^t⟺(A^{-1}{)}^{t}A=I⟺(A^{-1}{)}^t=A^{-1}、転置が同じ。$)
なので、余因子行列の$ij$成分を${\mathrm{\Delta }}_{ij}$とできます。元の行列の$ij$成分と一致して楽。
更に、対称行列なので、対角より上側の三つがそのまま下側の値になります。
なので、上部分だけを扱い、下部分は省略することにします。
${\displaystyle \frac{\left[\begin{array}{ccc}{a}^2-d^2& cd-ab& bd-ac\\ & a^2-c^2& bc-ad\\ & & a^2-b^2\end{array}\right]}{a^3+2bcd-a{c}^2-a{b}^2-a{d}^2}}$

行列式の簡略化、仲間外れ

まず行列式を整理すると、
$a(a^2-b^2-c^2-d^2)+2bcd$
二乗の部分は、条件からまとめられそうですね。でも、$bcd$はそれだけじゃダメそう。
ここで、$bcd$がどういう数かを考えます。これは、絶対値は$|b^3|$などと等しいが、符号が違う数です。
例えば、$b=1,c=1,d=-1$とすると、$bcd=-1,b^3=1,c^3=1,d^3=-1$。
どれも、符号だけ違います。でも、$bcd=d^3$ですね？
他の例も見てみましょう。
$b=-1,c=1,d=1$であれば、$bcd=b^3$。
$b=-1,c=1,d=-1$であれば、$bcd=c^3$。
ここから分かることは、$「bcdは仲間外れの三乗」$ということでしょう。
($b=c=d$だと仲間外れはいませんが、どれを選んでも$bcd$になるので、便宜的に全部仲間外れとします。)
ここで、仲間外れの数を$e$とします。$bcd=e^3$を満たすような数です。
また$eがb,c,d$のどれかであることには変わりないので、$b^2=c^2=d^2=e^2$も満たします。
これを使って行列式を整理すると、
$a(a^2-b^2-c^2-d^2)+2bcd$
$=a(a^2-3e^2)+2e^3$
$=a^3-3a{e}^2+2e^3$
この式は$a=eで0になるので(a-e)で括れて、$
$=(a-e)(a^2+ae-2e^2)$
$=(a-e{)}^2(a+2e)$
無事因数分解されました。

余因子行列の簡略化

$$\left[\begin{array}{ccc}{a}^2-d^2& cd-ab& bd-ac\\ & a^2-c^2& bc-ad\\ & & a^2-b^2\end{array}\right]$$
次に、これを簡略化できないか考えてみます。
二乗部分は明らかに$a^2-e^2$となって、$(a-e)(a+e)$と因数分解されるので、他の部分もどっちかを因数に持たせたいですね。
まあ、$cd-ab$とか、どれも引き算なので、$a-e$で括るのが自然でしょう。
括れるとしたら、$cd-ab=-b(a-e)$となり、$cd=be$なんてのが成り立たないといけない様です。なんだこれは。
ああ、両辺に$bをかければbcd=b^{2}e=e^3。e^2を都合よく利用しているだけでした$。
式にしてみせれば、$bcdから一つ選んだものをfとすると、bcd=e{f}^2⟺{\displaystyle \frac{bcd}{f}}=ef。$
$fとeの積は、f以外の積に等しいということです。仲間外れのeであればなるほどそんなこともありそうです。$
これを使って整理すると、
$$\left[\begin{array}{ccc}{a}^2-d^2& cd-ab& bd-ac\\ & a^2-c^2& bc-ad\\ & & a^2-b^2\end{array}\right]$$
$=\left[\begin{array}{ccc}{a}^2-e^2& -b(a-e)& -c(a-e)\\ & a^2-e^2& -d(a-e)\\ & & a^2-e^2\end{array}\right]$

$=(a-e)\left[\begin{array}{ccc}a+e& -b& -c\\ & a+e& -d\\ & & a+e\end{array}\right]$
単純明快

後始末

余因子行列と行列式をくっつけましょう。
${\displaystyle \frac{(a-e)\left[\begin{array}{ccc}a+e& -b& -c\\ & a+e& -d\\ & & a+e\end{array}\right]}{(a-e{)}^2(a+2e)}}$

$={\displaystyle \frac{\left[\begin{array}{ccc}a+e& -b& -c\\ & a+e& -d\\ & & a+e\end{array}\right]}{(a-e)(a+2e)}}$
これにて、この形の行列の逆行列の公式が導かれました。
$対角はa+e、それ以外はマイナス、行列式は(a-e)(a+2e)$
これだけ覚えておけば、このタイプの逆行列を一発で導けるという訳です。

余談

どこにそんな都合のいい状況があるんだ、と思うかもしれません。
私の場合はキルヒホッフの法則の問題です。解法の都合上、たぶん必ず対称行列が出てきます。もちろん対角成分が同じじゃなかったり、そこ以外の絶対値が異なることもありますが、このタイプの時も割とあります。
そしてなぜかそのときだけ、逆行列を求めるのが必須になってることが多いです。問題製作者側だけの検算公式なのかしら。