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大学数学基礎解説
文献あり

ln det(A) = tr ln(A) (A: 一般の正方行列)の証明

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小ネタ。Mathlogに同内容の記事があったらすみません。

次の定理が成立します:

任意の正方行列Aに関し
lndetA=trlnA
が成立する

ここで右辺のlnは行列に関する対数であり、テイラー展開により
lnA:=k=1(1)k+1k(A1)k
で定義されます。定理1の関係式は物理学ではよく用いられます。以下定理1を証明します。

Aが対角化可能な場合

定理1はAが対角化可能な場合にはすぐに証明できます。

A~を対角行列、Pを正則行列としてA=P1A~Pと書けるとします。またAの固有値、すなわちA~の対角成分をai (i=1,2,,n)とします。このとき
detA=det(P1A~P)=det(P1)det(P)det(A~)=det(A~)=i=1nai
なので
(定理1の左辺)=lndetA=i=1nlnai
です。一方定理1の右辺に関し、lnA=P1(lnA~)Pであり((A1)k=P1(A~1)kP (kN)よりlnAのテイラー展開の各項でP1は左に、Pは右に括り出せる)、またA~が対角行列であることから(lnA~)ii=lnai (i=1,2,n)なので、tr内の行列の巡回置換による不変性より
(定理1の右辺)=trlnA=trlnA~=i=1nlnai
となり、定理1が成立します。

一般のAの場合

一般のAではどうでしょうか。この場合、任意の正方行列が三角行列に相似であることを用います:

任意の正方行列Aに関し
A=P1JP
となるPおよびJが存在する。ここでPはユニタリ行列:PP=PP=1Jは上半三角行列。

以下Ref.Fuukeiに基づく。

帰納法で示す。1×1の"正方行列"に関しては題意が成立する。n×nの正方行列に関して題意が成立することを仮定する。このとき(n+1)×(n+1)の正方行列Aを考える。Aの固有値の1つをλ1、その固有ベクトルをx1とする(ノルムは1とする)。正規直交系{xi}i=1,2,,n+1を用意し、P:=(x1,x2,,xn+1)とする。Pはユニタリ行列であり、このとき
P1AP=(x1x2xn+1)A(x1,x2,,xn+1)=(x1x2xn+1)(λ1x1,Ax2,,Axn+1)=(λ10A1)
となる。ここでA1n×nの正方行列。仮定よりA1はあるユニタリ行列Tにより上半三角行列T1A1Tに三角化することができる。T1:=(100T)とすれば、TがユニタリであるからT1もユニタリである。そして
T11P1APT1=T11(λ10A1)T1=(100T1)(λ10A1)(100T)=(λ10T1A1T)
T1A1Tが上半三角行列なので(n+1)×(n+1)の上半三角行列である。よってU:=PT1とすれば任意の(n+1)×(n+1)行列AUで三角化できる。またPT1もユニタリなのでU=PT1もユニタリである。以上より任意の正方行列はユニタリ行列と相似である。

定理2ではJを上半三角行列としましたが、特定の形をした上半三角行列であるジョルダン標準形にすることが一般に可能ですJordan。しかし以下の証明ではJは上半三角行列で十分です。定理1の証明はAが対角化可能である場合とそれほど変わりません。以下の定理を用います:

  1. 定理2のA=P1JPにおいて、Jij成分をjij (i,j=1,2,,n)とする。このとき
    detA=detJ=i=1njii
    である。

    証明

    Snnコの要素を並べ替える置換群、σをその要素、sgn(σ)σの符号関数とするとdetJ=σSnsgn(σ)jσ(1)1jσ(2)2jσ(n)n
    と書ける。Jは上半三角行列なのでjij=0 for i>jである。σ0を恒等置換とすると、σσ0の場合、必ずσ(k)>kとなる整数kが存在する。このときjσ(k)k=0なので
    detJ=sgn(σ0)j11j22jnn=i=1njii
    が成立する。

  2. 上記Aに対して
    lnA=P1(lnJ)P,(lnJ)ii=lnjii
    である。

    下の式の証明

    B,Cを上半三角行列とし、それぞれij成分をbij,cijと書く。このときBCも上半三角行列になる。なぜなら(BC)ij=kbikckjに関してi>jとすると
    kiならばki>jなのでckj=0
    k<iならばbik=0
    だからである。また(BC)ii=biicii。なぜなら(BC)ii=kbikckiにおいてbikckii>kでもi<kでも明らかにゼロだからである。以上より、Jを上半三角行列として、Jk (kN)が上半三角行列かつその対角成分がjiikならば
    Jk+1は上半三角行列
    (Jk+1)ii=(JkJ)ii=jiik×jii=jiik+1
    である。J1は上半三角行列かつその対角成分はjii1なので、数学的帰納法より
    (Jk)ii=jiik
    となる。

    いま上半三角行列Jの関数f(J)k=0fkJkで定義されているとする。このとき
    (f(J))ii=k=0fk(Jk)ii=k=0fkjii=f(jii)
    である。flnにすれば
    (lnJ)ii=lnjii
    が成立する。



これらを用いれば定理1の証明はAが対角化可能な場合と同じです:
定理1の左辺:lndetA=lni=1njii=i=1nlnjii定理1の右辺:trlnA=tr(P1(lnJ)P)=trlnJ=i=1nlnjii
これで一般の正方行列Aに関して定理1が成立することが証明できました。

おしまい。

参考文献

投稿日:20241016
OptHub AI Competition

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  1. Aが対角化可能な場合
  2. 一般のAの場合
  3. 参考文献