ln det(A) = tr ln(A) (A: 一般の正方行列)の証明

任意の正方行列$A$に関し
\begin{align} \hspace{1.5cm} \ln \det A=\tr \ln A \end{align}
が成立する

任意の正方行列$A$に関し
\begin{align} \hspace{1.5cm} A=P^{-1}JP \end{align}
となる$P$および$J$が存在する。ここで$P$はユニタリ行列:$P^\dagger P=P P^\dagger =1$、$J$は上半三角行列。

1. 定理2の$A=P^{-1}JP$において、$J$の$ij$成分を$j_{ij} \ (i,j=1,2,\cdots,n)$とする。このとき
   \begin{align} \hspace{1.5cm} \det A=\det J=\prod_{i=1}^n j_{ii} \end{align}
   である。

   証明

   $S_n$を$n$コの要素を並べ替える置換群、$\sigma$をその要素、$\text{sgn}(\sigma)$を$\sigma$の符号関数とすると\begin{align}\hspace{1.5cm} \det J=\sum_{\sigma\in S_n}\text{sgn}(\sigma)j_{\sigma(1) 1}j_{\sigma(2) 2}\cdots j_{\sigma(n) n} \end{align}
   と書ける。$J$は上半三角行列なので$j_{ij}=0 \text{ for }i>j$である。$\sigma_0$を恒等置換とすると、$\sigma\neq \sigma_0$の場合、必ず$\sigma(k)>k$となる整数$k$が存在する。このとき$j_{\sigma(k)k}=0$なので
   \begin{align} \hspace{1.5cm} \det J=\text{sgn}(\sigma_0)j_{11}j_{22}\cdots j_{nn}=\prod_{i=1}^n j_{ii} \end{align}
   が成立する。${}_{\blacksquare}$
   

2. 上記$A$に対して
   \begin{align} \hspace{1.5cm} \ln A&=P^{-1}(\ln J) P,\\ (\ln J)_{ii}&=\ln j_{ii} \end{align}
   である。

   下の式の証明

   $B,C$を上半三角行列とし、それぞれ$ij$成分を$b_{ij},c_{ij}$と書く。このとき$BC$も上半三角行列になる。なぜなら$(BC)_{ij}=\sum_k b_{ik}c_{kj}$に関して$i>j$とすると
   ・$k\ge i$ならば$k\ge i>j$なので$c_{kj}=0$
   ・$k< i$ならば$b_{ik}=0$
   だからである。また$(BC)_{ii}=b_{ii}c_{ii}$。なぜなら$(BC)_{ii}=\sum_k b_{ik}c_{ki}$において$b_{ik}c_{ki}$は$i>k$でも$i< k$でも明らかにゼロだからである。以上より、$J$を上半三角行列として、$J^k \ (k\in\mathbb{N})$が上半三角行列かつその対角成分が$j_{ii}^k$ならば
   ・$J^{k+1}$は上半三角行列
   ・$(J^{k+1})_{ii}=(J^k J)_{ii}=j_{ii}^k\times j_{ii}=j_{ii}^{k+1}$
   である。$J^1$は上半三角行列かつその対角成分は$j_{ii}^1$なので、数学的帰納法より
   \begin{align} \hspace{1.5cm} (J^k)_{ii}=j_{ii}^k \end{align}
   となる。
   
   いま上半三角行列$J$の関数$f(J)$が$\sum_{k=0}^\infty f_k J^k$で定義されているとする。このとき
   \begin{align} \hspace{1.5cm} (f(J))_{ii}&=\sum_{k=0}^\infty f_k(J^k)_{ii}\\ &=\sum_{k=0}^\infty f_k j_{ii}\\ &=f(j_{ii}) \end{align}
   である。$f$を$\ln$にすれば
   \begin{align} \hspace{1.5cm} (\ln J)_{ii}=\ln j_{ii} \end{align}
   が成立する。${}_\blacksquare$