素イデアルの分解法則1：基本等式

代数的整数論

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はじめに

　このシリーズではデデキント環の拡大における素イデアルの分解法則についてまとめていきます。
　今回は素イデアル分解の基本事項と基本等式
$$[L:K]=\sum^r_{i=1}e_if_i$$
について解説していきます。

補題

　本題に入っていく前にまず補題を一つ示しておく。

中山の補題

　有限生成$R$-加群$M$と$R$のイデアル$I$に対し$IM=M$が成り立つとき
$$rM=0\quad\mbox{かつ}\quad r\equiv1\pmod I$$
満たすような$r\in R$が存在する。

　$x_1,x_2,\ldots,x_n$を$M$の生成系とすると$M=IM$より
$$\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}\g$$
なる$I$係数の正方行列$\g$が存在する。
　このとき$E$を単位行列とすると
$$\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}(E-\g)=0$$
となるので、これに$E-\g$の余因子行列を掛けることで
$$\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}\cdot\det(E-\g)=0$$
つまり$\det(E-\g)M=0$が成り立つ。また
$$\det(xE-\g)\equiv x^n\pmod I$$
に注意すると
$$\det(E-\g)\equiv1\pmod I$$
が成り立つので$r=\det(E-\g)$は主張を満たすことがわかる。

基本事項

　$A$をデデキント環、$K$をその分数体、$L$を$K$の有限次拡大、$B$を$L$における$A$の整閉包とする。
　このような状況設定のことを$AKLB\ setup$あるいは単に$AKLB$と言うことにする。

　この記事の命題17として紹介したように$AKLB$において$B$はデデキント環となることに注意する。

　整域の整拡大$B/A$において

$A$のイデアル$\mf a\neq A$に対し$\mf aB\neq B$
$B$のイデアル$\mf b\neq0$に対し$\mf b\cap A\neq0$

が成り立つ。

　もし$\mf a B=B$であれば
$$\sum^n_{i=0}a_ix_i=1$$
を満たすような$a_i\in\mf a,x_i\in B$取れる。このとき
$$M=A[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$
とおくと$x_1,x_2,\ldots,x_n$は$A$上整なので$M$は有限生成$A$-加群であり、また$\mf aM=M$を満たすので中山の補題よりある$r\neq0$に対し$rM=0$、つまり$M=0$とならなければならず矛盾。よって$\mf aB\neq B$を得る。
　また任意の$x\in\mf b$に対し$f(x)=0\;(f(0)\neq0)$なる多項式$f(X)\in A[X]$を取ると$f(0)\in\mf b\cap A$となることがわかる。

　$AKLB$において

$A$の$0$でない素イデアルはある$B$の$0$でない素イデアルに割り切られる。
$B$の$0$でない素イデアルはある$A$の$0$でない素イデアルを割り切る。
$A,B$の$0$でない素イデアル$\p,\q$が$\q\mid\p B$を満たすとき$\p=\q\cap A$が成り立つ。

$A$の$0$でない素イデアル$\p$に対し、$\p B\neq B$より$\p B\subseteq\q$つまり$\q\mid\p B$なる極大イデアル$\q$が存在する。
$B$の$0$でない素イデアル$\q$に対し、$\p=\q\cap A$は$A$の$0$でない素イデアルであり$\p\subseteq\q$より$\q\mid\p B$を満たす。
$\p\subseteq\q\cap A\subsetneq A$および$\p$の極大性から$\p=\q\cap A$を得る。

分岐指数・惰性次数

　$AKLB$において$A$の$0$でない素イデアル$\p$が$B$において
$$\p B=\q_1^{e_1}\q_2^{e_2}\cdots\q_r^{e_r}$$
と分解されたとする。このとき

$e_i$を$L/K$における$\q_i$の分岐指数と言う。
剰余体の拡大次数$f_i=[B/\q_i:A/\p]$を$L/K$における$\q_i$の惰性次数(あるいは剰余次数、相対次数)と言う。

分岐・不分岐

分岐指数が$e_i=1$であり、また剰余体の拡大$(B/\q_i)/(A/\p)$が分離的であるとき$\q_i$は$L/K$において不分岐であると言い、そうでなければ分岐すると言う。
各$i$に対し$\q_i$が不分岐であるとき、$\p$は$L$において不分岐であると言い、そうでなければ分岐すると言う。

その他

$\q_i$が分岐し、また$f_i=1$を満たすとき、$\q_i$は完全分岐であると言う。
各$i$に対し$e_i=f_i=1$が成り立つとき、$\p$は完全分解すると言う。
$r=1$であるとき、$\p$は不分解であると言う。
$r=f_1=1$のとき、$\p$は惰性すると言う。

基本等式

　$AKLB$において$L/K$が分離的であれば$B$は有限生成$A$-加群となる。

　この記事の命題16の証明からわかる。

　$AKLB$において$B$が有限生成$A$-加群であるとき、$A$の$0$でない素イデアル$\p$に対し$B/\p B$は$[L:K]$次元$A/\p$-線形空間となる。

　$B/\p B$の$A/\p$上の基底を$\ol\o_1,\ol\o_2,\ldots,\ol\o_m$とおく。このときその代表元$\o_1,\o_2,\ldots,\o_m\in B$は$L$の$K$上の基底となることを示す。

独立性

　いま$0$でない$K$の元$a_1,a_2,\ldots,a_m$に対しこれらが生成する$A$の分数イデアルを$\mf a$とおく。このとき任意に$\a\in\mf a^{-1}\setminus\mf a^{-1}\p$を取ると各$i$に対して$\a a_i\in A$かつある$i$に対し$\a a_i\not\in\p$が成り立つので$B/\p B$において
$$\sum^m_{i=1}\a a_i\o_i\not\equiv0\pmod\p$$
特に$L$において
$$\sum^m_{i=1}a_i\o_i\neq0$$
となることがわかる。

全域性

$$M=A\o_1+A\o_2+\cdots+A\o_m,\quad N=B/M$$
とおいたとき、$B$は$A$-加群として有限生成であったので$N$も有限生成であり、また$B=M+\p$より$\p N=N$が成り立つ。したがって中山の補題よりある$a\in A\setminus\{0\}$が存在して$aN=0$、特に$aB\subseteq M$が成り立ち
$$L=KB=KM=K\o_1+K\o_2+\cdots+K\o_m$$
を得る。

　$AKLB$において$B$の$0$でない素イデアル$\q$の分岐指数と惰性次数をそれぞれ$e,f$とおくと$B/\q^e$は$ef$次元$A/\p$-線形空間となる(ただし$\p=\q\cap A$とした)。

　簡単のため$\k=A/\p$とおく。
　まず任意の非負整数$i$に対し加法群の商$\q^i/\q^{i+1}$は$\k$-線形空間として$B/\q$と同型であることを示す。いま任意に$\pi\in\q\setminus\q^2$を取り$\k$-線形写像
$$B/\q\to\q^i/\q^{i+1},\quad x+\q\mapsto x\pi^i+\q^{i+1}$$
を考えるとこれは単射であり、また
$$\pi^iB+\q^{i+1}=\gcd(\pi^iB,\q^{i+1})=\q^i$$
より全射でもあることがわかる。
　したがって$\dim_\k(\q^i/\q^{i+1})=\dim_\k(B/\q)=f$が成り立ち
\begin{align} \dim_\k(B/\q^e) &=\sum^{e-1}_{i=0}(\dim_\k(\q^i/\q^e)-\dim_\k(\q^{i+1}/\q^e))\\ &=\sum^{e-1}_{i=0}\dim_\k(\q^i/\q^{i+1})=ef \end{align}
を得る。

　$AKLB$において$B$が有限生成$A$-加群であるとき(特に例えば$L/K$が分離的であるとき)、素イデアルの分解
$$\p B=\q_1^{e_1}\q_2^{e_2}\cdots\q_r^{e_r}$$
において基本等式
$$[L:K]=\sum^r_{i=1}e_if_i$$
が成り立つ。