素イデアルの分解法則1：基本等式

　$x_1,x_2,\dots ,x_n$を$M$の生成系とすると$M=IM$より
$$\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]\gamma$$
なる$I$係数の正方行列$\gamma$が存在する。
　このとき$E$を単位行列とすると
$$\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right](E-\gamma )=0$$
となるので、これに$E-\gamma$の余因子行列を掛けることで
$$\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]\cdot \det (E-\gamma )=0$$
つまり$\det (E-\gamma )M=0$が成り立つ。また
$$\det (xE-\gamma )\equiv x^n(\mathrm{mod}I)$$
に注意すると
$$\det (E-\gamma )\equiv 1(\mathrm{mod}I)$$
が成り立つので$r=\det (E-\gamma )$は主張を満たすことがわかる。

　もし$\mathfrak{a}B=B$であれば
$$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}_i=1$$
を満たすような$a_i\in \mathfrak{a},x_i\in B$取れる。このとき
$$M=A[x_1,x_2,\dots ,x_n]$$
とおくと$x_1,x_2,\dots ,x_n$は$A$上整なので$M$は有限生成$A$-加群であり、また$\mathfrak{a}M=M$を満たすので中山の補題よりある$r\ne 0$に対し$rM=0$、つまり$M=0$とならなければならず矛盾。よって$\mathfrak{a}B\ne B$を得る。
　また任意の$x\in \mathfrak{b}$に対し$f(x)=0(f(0)\ne 0)$なる多項式$f(X)\in A[X]$を取ると$f(0)\in \mathfrak{b}\cap A$となることがわかる。

• $A$の$0$でない素イデアル$\mathfrak{p}$に対し、$\mathfrak{p}B\ne B$より$\mathfrak{p}B\subseteq \mathfrak{q}$つまり$\mathfrak{q}\mid \mathfrak{p}B$なる極大イデアル$\mathfrak{q}$が存在する。
• $B$の$0$でない素イデアル$\mathfrak{q}$に対し、$\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap A$は$A$の$0$でない素イデアルであり$\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}$より$\mathfrak{q}\mid \mathfrak{p}B$を満たす。
• $\mathfrak{p}\subseteq \mathfrak{q}\cap A⊊A$および$\mathfrak{p}$の極大性から$\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap A$を得る。

　 この記事 の命題16の証明からわかる。

　$B/\mathfrak{p}B$の$A/\mathfrak{p}$上の基底を${\bar{\omega }}_1,{\bar{\omega }}_2,\dots ,{\bar{\omega }}_m$とおく。このときその代表元${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_m\in B$は$L$の$K$上の基底となることを示す。

独立性

　いま$0$でない$K$の元$a_1,a_2,\dots ,a_m$に対しこれらが生成する$A$の分数イデアルを$\mathfrak{a}$とおく。このとき任意に$\alpha \in {\mathfrak{a}}^{-1}\setminus {\mathfrak{a}}^{-1}\mathfrak{p}$を取ると各$i$に対して$\alpha a_i\in A$かつある$i$に対し$\alpha a_i\notin \mathfrak{p}$が成り立つので$B/\mathfrak{p}B$において
$$\sum _{i=1}^m\alpha a_i{\omega }_i\not\equiv 0(\mathrm{mod}\mathfrak{p})$$
特に$L$において
$$\sum _{i=1}^m{a}_i{\omega }_i\ne 0$$
となることがわかる。

全域性

$$M=A{\omega }_1+A{\omega }_2+\cdots +A{\omega }_m,N=B/M$$
とおいたとき、$B$は$A$-加群として有限生成であったので$N$も有限生成であり、また$B=M+\mathfrak{p}$より$\mathfrak{p}N=N$が成り立つ。したがって中山の補題よりある$a\in A\setminus \{0\}$が存在して$aN=0$、特に$aB\subseteq M$が成り立ち
$$L=KB=KM=K{\omega }_1+K{\omega }_2+\cdots +K{\omega }_m$$
を得る。

　簡単のため$\kappa =A/\mathfrak{p}$とおく。
　まず任意の非負整数$i$に対し加法群の商${\mathfrak{q}}^i/{\mathfrak{q}}^{i+1}$は$\kappa$-線形空間として$B/\mathfrak{q}$と同型であることを示す。いま任意に$\pi \in \mathfrak{q}\setminus {\mathfrak{q}}^2$を取り$\kappa$-線形写像
$$B/\mathfrak{q}\to {\mathfrak{q}}^i/{\mathfrak{q}}^{i+1},x+\mathfrak{q}\mapsto x{\pi }^i+{\mathfrak{q}}^{i+1}$$
を考えるとこれは単射であり、また
$${\pi }^{i}B+{\mathfrak{q}}^{i+1}=gcd({\pi }^{i}B,{\mathfrak{q}}^{i+1})={\mathfrak{q}}^i$$
より全射でもあることがわかる。
　したがって${\dim }_{\kappa }({\mathfrak{q}}^i/{\mathfrak{q}}^{i+1})={\dim }_{\kappa }(B/\mathfrak{q})=f$が成り立ち
$$\begin{array}{rl}{\dim }_{\kappa }(B/{\mathfrak{q}}^e)& =\sum _{i=0}^{e-1}({\dim }_{\kappa }({\mathfrak{q}}^i/{\mathfrak{q}}^e)-{\dim }_{\kappa }({\mathfrak{q}}^{i+1}/{\mathfrak{q}}^e))\\ & =\sum _{i=0}^{e-1}{\dim }_{\kappa }({\mathfrak{q}}^i/{\mathfrak{q}}^{i+1})=ef\end{array}$$
を得る。

　中国剰余定理より
$$B/\mathfrak{p}B\simeq \underset{i=0}{\overset{r}{⨁}}B/{\mathfrak{q}}^{e_i}$$
が成り立つので、この両辺の$A/\mathfrak{p}$-ベクトル空間としての次元を比較することでわかる。