この記事では代数的整数論において重要な対象であるデデキント環の基本性質について簡単に解説していきます。
個人的なメモ書き程度の内容となっているので粗雑な部分も多いですが悪しからず。
環$R$が次の三条件
より明示的に言えば
を満たすとき、$R$はデデキント環であると言う。
デデキント環にはいくつかの同値な特徴付け、例えば
などによる定義があるが、ここではこの同値性については特に解説しない。
本題に入っていく前にまずネーター環と分数イデアルの基本性質を紹介しておこう。
環$R$について以下の三条件は同値である。
(i)$\Rightarrow$(iii)$\Rightarrow$(ii)$\Rightarrow$(i)の順に示す。
$\M$に極大元が存在しないものと仮定すると、任意の$I_0\in\M$に対して無限昇鎖列
$$I_0\subsetneq I_1\subsetneq I_2\subsetneq\cdots$$
が取れることになり矛盾を得る。
また$\M$は包含関係$\subseteq$について帰納的であることからZornの補題を用いてもわかる。
$R$のイデアル$I$に対し
$$\M=\{I'\subseteq I\mid I':\mbox{有限生成}\}$$
とおくと$(0)\in\M$より$\M\neq\emptyset$なので$\M$は極大元$J$を持つ。
このとき$I\neq J$であると仮定すると、任意の$x\in I\setminus J$に対し
$$J'=(x)+I$$
は$J\subsetneq J'\in\M$を満たすことになり$J$の極大性に矛盾。よって$I=J$は有限生成であることが示された。
イデアルの昇鎖列$I_0\subseteq I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots$に対し
$$J=\bigcup^\infty_{n=0}I_n$$
とおくとこれは$R$のイデアルとなるので有限生成である。
特にその生成元$x_1,x_2,\ldots,x_m$に対し$x_k\in I_{n_k}$なる$n_k$を取り
$$n=\max\{n_1,n_2,\ldots,n_m\}$$
とおくと$I_n=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots=J$が成り立つ。
整域$R$の分数体$K$の$(0)$でない部分$R$-加群$I$であって、ある$r\in R\setminus\{0\}$が存在して$rI\subseteq R$を満たすようなもののことを$R$の分数イデアルと言う。
またこれに対して通常のイデアルのことを整イデアルと言うことがある。
ネーター整域$R$の分数体$K$の部分$R$-加群$I\neq0$に対し以下の二条件は同値である。
ある$r\in R\setminus\{0\}$に対し$rI$は$R$のイデアルとなるので$R$のネーター性よりこれは有限生成であり、したがって$I=r^{-1}(rI)$も有限生成となる。
$I$の生成元$x_1,x_2,\ldots,x_n\in K$に対し$r_kx_k\in R$となるような$r_k\in R$を取り
$$r=r_1r_2\cdots r_n$$
とおくと$rI\subseteq R$が成り立つ(ネーター性は必要ない)。
整域$R$の分数イデアル全体のなす集合$J_R$に対し乗法演算
$$\mf a\cdot \mf b=\l\{\sum_ix_iy_i\mid x_i\in\mf a,\ y_i\in\mf b\r\}$$
を考えると$J_R$は$R$を単位元とするモノイドとなる。
また$\mf a\in J_R$に対し分数イデアル$\mf a^*$を
$$\mf a^*=\{x\in K\mid x\mf a\subseteq R\}$$
と定めると、$\mf a$が可逆であれば$\mf a^{-1}=\mf a^*$が成り立つ。
前半の主張については明らか。
後半の主張については$\mf a^{-1}\mf a=R$から$\mf a^{-1}\subseteq\mf a^*$が成り立ち、また$\mf a^*\mf a\subseteq R$から$\mf a^*=\mf a^*(\mf a\mf a^{-1})\subseteq R\mf a^{-1}=\mf a^{-1}$が成り立つので$\mf a^*=\mf a^{-1}$を得る。
一般に$R$の分数イデアル$I,J$に対し
$$(I:J)=\{x\in K\mid xJ\subseteq I\}$$
と定められる分数イデアルのことをイデアル商、あるいはコロンイデアルと言う。
先でちらっと言及したようにデデキント環はイデアル論的性質として
という特徴を持つ。以下でこのことを示していこう。
$A,B$を$A\subseteq B$なる整域とする。このとき任意の$x\in B$に対し以下の二条件は同値である。
$x$が
$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0\quad(a_k\in A)$$
を満たすとすると、$M=A[x]$は$1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}$によって生成され、また$xM\subseteq M$を満たす$A$-加群となる。
$M$の生成元を$b_1,b_2,\ldots,b_n$とおくと$xb_k\in M$より
$$x\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}
=\g\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}$$
なる$A$係数の正方行列$\g$が取れる。したがって$x$は$A$係数のモニック多項式$f(X)=\det(XE-\g)$の根であることがわかる(ただし$E_n$は単位行列とした)。
ネーター整域$R$の$(0)$でないイデアル$\mf a$に対し
$$\p_1\p_2\cdots\p_r\subseteq\mf a$$
を満たすような$(0)$でない素イデアル$\p_1,\p_2,\ldots,\p_r$が存在する。
主張を満たさないようなイデアル$\mf a$全体の集合$\M$が空でないものと仮定し矛盾を導く。
いま$R$のネーター性から$\M$は極大元$\mf a$を持ち、$\M$の取り方より$\mf a$は素イデアルではないので$xy\in\mf a$かつ$x,y\not\in\mf a$を満たすような$x,y\in R$が存在する。このとき
$$\mf b=(x)+\mf a,\quad\mf c=(y)+\mf a$$
とおくと$\mf a\subsetneq\mf b,\mf c$および$\mf a$の極大性から
$$\p_1\p_2\cdots\p_r\subseteq\mf b,\quad\q_1\q_2\cdots\q_s\subseteq\mf c$$
なる素イデアルが存在するが$\mf b\cdot\mf c\subseteq\mf a$より
$$\p_1\p_2\cdots\p_r\cdot\q_1\q_2\cdots\q_s\subseteq\mf a$$
となって$\mf a$の取り方に矛盾。よって主張を得る。
$1$次元ネーター整域$R$の素イデアル$\p$に対し$R\subsetneq\p^*$が成り立つ。
$\p^*$の定義より明らかに$R\subseteq\p^*$が成り立つので$\p^*\neq R$、特に$\p^*\setminus R$は非空であることを示せばよい。
任意に$a\in\p\setminus\{0\}$を取り、また上の補題のような素イデアル
$$\p_1\p_2\cdots\p_r\subseteq(a)$$
であって$r$が最小となるようなものを取る。
このとき$\p$は素イデアルであることから$\p_1,\p_2,\ldots,\p_r$のいずれかは$\p$に含まれるので$\p_1\subseteq\p$としてよい。特にクルル次元が$1$であることから$\p=\p_1$となることに注意する。
いま$r$の最小性より
$$\p_2\cdots\p_r\not\subseteq(a)$$
が成り立つので$b\not\in(a)$なる$b\in\p_2\cdots\p_r$が取れる。このとき$a^{-1}b\not\in R$かつ$a^{-1}b\p\subseteq R$となることから$\p^*\setminus R$は非空であることが示された。
デデキント環$R$の$(0)$でないイデアル$\mf a$と素イデアル$\p$に対し$\mf a\subsetneq\p^*\mf a$が成り立つ。特に$\p$は可逆である。
$\mf a\subseteq\p^*\mf a$は明らかなので$\mf a\neq\p^*\mf a$であることを示せばよい。
もし$\mf a=\p^*\mf a$とすれば補題4より任意の$x\in\p^*$は$R$上整となるが、$R$は整閉であるので$x\in R$つまり$\p\subseteq R$となり$R\subsetneq\p^*$であったことに矛盾。よって主張を得る。
また$\p\subsetneq\p^*\p\subseteq R$および$\p$の極大性より$\p^*\p=R$が成り立つので$\p$は可逆であることがわかる。
デデキント環$R$において任意の分数イデアルは可逆である。特に$J_R$は群となる(これを(分数)イデアル群と言う)。
任意の$(0)$でない整イデアルが可逆であることを示せばよい。実際そうであれば任意の分数イデアル$I$に対し$rI\subseteq R$なる$r\in R\setminus\{0\}$を取ることで$I=(r^{-1})\cdot rI$は可逆であることがわかる。
いま可逆でない整イデアル全体$\M$が空でないものと仮定すると$R$のネーター性よりこれは極大元$\mf a$を持つ。このとき$\mf a\subseteq\p$なる極大イデアル$\p$を取ると補題7から$\mf a\subsetneq\p^{-1}\mf a$が成り立つので$\mf a$の極大性より$\p^{-1}\mf a$は可逆となるが、$\mf a=\p(\p^{-1}\mf a)$も可逆ということになり矛盾。よって$\M$は空であることが示された。
以下で示すように任意の分数イデアル$\mf a$は素イデアルの積
$$\mf a=\prod_{\p}\p^{e_\p}\qquad(e_\p\in\Z)$$
に分解できるので$\mf a$は逆元
$$\mf a^{-1}=\prod_{\p}\p^{-e_\p}$$
を持つことがわかる。
デデキント環$R$の整イデアル$\mf a,\mf b$に対し整除関係を
$$\mf b\mid\mf a\overset{\ \mathrm{def}}{\iff}\mf a=\mf b\mf c\quad(\exists\mf c:\ \mbox{整イデアル})$$
によって定めると
$$\mf b\mid\mf a\iff\mf a\subseteq\mf b$$
が成り立つ。
$\mf b$は可逆であることから$\mf a=\mf b\mf c\iff\mf a\mf b^{-1}\subseteq R$が成り立つことに注意するとわかる。
デデキント環$R$において任意の$(0)$でないイデアル$\mf a$は有限個の素イデアルの積
$$\mf a=\p_1\p_2\cdots\p_r$$
に順序を除いて一意的に分解できる。
素イデアル分解ができないようなイデアル全体$\M$が空でないものと仮定すると$R$のネーター性よりこれは極大元$\mf a$を持つ。このとき$\mf a\subseteq\p$なる極大イデアル$\p$を取ると補題7から$\mf a\subsetneq\p^{-1}\mf a$が成り立つので$\mf a$の極大性より$\p^{-1}\mf a$は素イデアル分解を持つことがわかるが、$\mf a=\p(\p^{-1}\mf a)$も素イデアル分解を持つことになり矛盾。よって$\M$は空であることが示された。
$\mf a$が二通りの分解
$$\mf a=\p_1\p_2\cdots\p_r=\q_1\q_2\cdots\q_s$$
を持つとする。
このとき$\mf a\subseteq\p_1$より$\q_1,\q_2,\ldots,\q_s$のいずれかは$\p_1$に含まれるので適当に順番を取り替えることで$\q_1\subseteq\p_1$とすると$\q_1$の極大性より$\p_1=\q_1$が成り立つ。また同様にしていくことで$\p_i=\q_i\;(i=1,2,\ldots,r)$および$r=s$であることがわかる。
任意の分数イデアル$\mf a$は有限個の素イデアルを用いて
$$\mf a=\prod_\p \p^{e_\p}$$
のように一意的に表せる。
特に$J_R$は$R$の素イデアルによって生成される自由アーベル群となる。
$\mf b=c\mf a$が整イデアルとなるような$c\in R\setminus\{0\}$を取り、$\mf b$および$\mf c=(c)$を素イデアル分解することでわかる(一意性については明らか)。
次にデデキント環$A$に対しその任意の整拡大$B$は再びデデキント環となることを示していく。
$A$を整域、$K$をその分数体、$L$を$K$の代数拡大、$B$を$L$における$A$の整閉包とする。
このような状況設定のことを$AKLB\ setup$あるいは単に$AKLB$と言うことにする。
整域の拡大$B/A$(つまり$A\subseteq B$)において$B$が$A$上整であるとき$B/A$は整拡大であると言う。
整域の拡大$C/B/A$において$C/B$および$B/A$が整拡大であれば$C/A$も整拡大となる。
任意の$\g\in C$に対し、$\g$が満たす$B$上の方程式を
$$\g^n+b_{n-1}\g^{n-1}+\cdots+b_1\g+b_0=0\quad(b_k\in B)$$
とおくと$M=A[b_{n-1},\ldots,b_1,b_0,\g]$は有限生成$A$-加群であり$\g M\subseteq M$を満たすことから補題4より$\g$は$A$上整となることがわかる。
$AKLB$において$B$は整閉となる。
$L$における$B$の整閉包を$C$とおくと上の命題より$C$は$A$上整となるので$B$の定義より$C\subseteq B$つまり$B=C$を得る。
整拡大$B/A$において$A$が体であれば$B$も体となる。
任意の$x\in B\setminus\{0\}$に対し$B$は体$A[x]=A(x)$を含むので$x^{-1}\in B$を得る。
整拡大$B/A$において$B$の$(0)$でない素イデアル$\q$に対し$\p=\q\cap A$は$A$の$(0)$でない素イデアルとなる。
$\p$が$A$の素イデアルであることは明らかなので$\p\neq(0)$であることを示せばよい。
そのことは任意に$x\in\p\setminus\{0\}$を取りこれが満たす方程式を
$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots a_1x+a_0=0\quad(a_k\in A,\ a_0\neq0)$$
とおいたとき
$$a_0=-x(x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1)\in\q\cap A=\p$$
となることからわかる。
整拡大$B/A$において$A$が$1$次元であれば$B$も$1$次元となる。
一般に整拡大においてクルル次元は保たれることが知られている。
$B$の任意の$(0)$でない素イデアル$\q$が極大イデアルとなることを示せばよい。
いま$\p=\q\cap A$とおき単射準同型
$$A/\p\to B/\q,\quad x+\p\mapsto x+\q$$
を考えることで$A/\p\subseteq B/\q$とみなす。このとき$B/A$は整拡大であることから$(B/\q)/(A/\p)$も整拡大であり、また$\p$の極大性より$A/\p$は体であったので上の補題より$B/\q$も体となる。よって$\q$は極大イデアルであることがわかる。
一般に次の事実が成り立つことが知られている。これについては書くと長くなるので気が向いたときにまた別の記事にまとめたいと思う。
$A$を$1$次元ネーター整域、$K$をその分数体、$L/K$を有限次拡大とする。このとき任意の$A\subseteq B\subseteq L$なる環$B$はネーター環となる。
なお$L/K$が分離拡大であるときは比較的簡単に示すことができる。
$AKLB$において$L/K$を有限次分離拡大とすると、$A$がネーター整閉整域であれば$B$もネーター整閉整域となる。
仮定より$L=K(\t)$なる元$\t\in B$が取れ、このときその共役元を$\t_1,\t_2,\ldots,\t_n\ (n=[L:K])$とおくと$1,\t,\t^2,\ldots,\t^{n-1}\ (n=[L:K])$に関する判別式は
$$d=\det{}((\t_i^{j-1})_{i,j})^2=\prod_{i< j}(\t_i-\t_j)^2\neq0$$
を満たすことに注意する。
いま任意の$\a\in B$に対し
$$\a=\sum^n_{j=1}x_j\t^{j-1}$$
なる$x_j\in K$を取ると$x_j$は一次方程式
$$\Tr_{L/K}(\t^{i-1}\a)=\sum^n_{j=1}\Tr_{L/K}(\t^{i-1}\t^{j-1})x_j\quad(i=1,2,\ldots,n)$$
の解とみなせるので$\Tr_{L/K}(\t^{i-1}\a)\in A$に注意すると
$$x_j\in\frac A{\det((\Tr_{L/K}(\t^{i-1}\t^{j-1}))_{i,j})}=\frac Ad$$
が成り立つことがわかる。
特に
$$B\subseteq\frac{A[\t]}d$$
が成り立つので「ネーター環上の有限生成加群の部分加群は再び有限生成となる」という事実から$B$の任意のイデアルは有限生成$A$-加群ひいては有限生成$B$-加群となることがわかる。
命題11、命題14、クルル・秋月の定理を組み合わせると以下の主張が得られる。
$AKLB$において$A$を$1$次元ネーター整域、$L/K$を有限次拡大とすると$B$はデデキント環となる。
最後にデデキント環の簡単な例を少しだけ紹介しておこう。
単項イデアル整域はデデキント環である。
$1$次元であることは明らか。ネーターであることはイデアルの有限生成性からわかる。
整閉であることは補題4を用いればわかる。実際$x\in K$が$R$上整、つまりある分数イデアル$I=(y)$に対し$(xy)\subseteq(y)$を満たしたとすると、ある$z\in R$が存在して$xy=yz$が成り立つので$x=z\in R$を得る。
よく扱われるデデキント環は大体以下のような単項イデアル整域を$AKLB$の出発点とすることが多い。
有理整数環$\Z$、体係数多項式環$k[X]$、離散付値環などは単項イデアル整域、特にデデキント環である。
代数体($\Q$の有限次拡大体)$K$の整数環($K$における$\Z$の整閉包)$\mathcal{O}_K$はデデキント環である。
またデデキント環っぽいがデデキント環ではない例も一つ紹介しておこう。
$\Z[\sqrt5]$は$1$次元ネーター整域であるがデデキント環ではない。
$1$次元であることは$\Z[\sqrt5]/\Z$が整拡大であることから、ネーターであることは$\Q(\sqrt5)/\Q$が有限次拡大であることからわかる。
整閉でないことは
$$x=\frac{1+\sqrt5}2\in\Q(\sqrt5)$$
が$x\not\in\Z[\sqrt5]$および
$$x^2-x-1=0$$
を満たすことからわかる。