クルル・秋月の定理

　 この記事 の補題5より
$${\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2\cdots {\mathfrak{p}}_r\subseteq (0)$$
つまり
$${\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2\cdots {\mathfrak{p}}_r=(0)$$
なる素イデアル${\mathfrak{p}}_1,{\mathfrak{p}}_2,\dots ,{\mathfrak{p}}_r$が存在する。
　このとき${\mathfrak{a}}_i={\mathfrak{p}}_1{\mathfrak{p}}_2\cdots {\mathfrak{p}}_i$とおくと、$R$のネーター性よりこれは有限生成$R$-加群となるので、${\mathfrak{a}}_i/{\mathfrak{a}}_{i+1}$は有限次元$R/{\mathfrak{p}}_i$-線形空間、特にアルティン加群となる。
　いま${\mathfrak{a}}_r=(0)$と${\mathfrak{a}}_{r-1}/{\mathfrak{a}}_r$はアルティン加群なので${\mathfrak{a}}_{r-1}$もアルティン加群となり、同様に${\mathfrak{a}}_i$と${\mathfrak{a}}_{i-1}/{\mathfrak{a}}_i$のアルティン性から${\mathfrak{a}}_{i-1}$のアルティン性がわかるので、${\mathfrak{a}}_0=R$はアルティン環となることが示された。

　イデアルの対応定理から$A/I$は$0$次元となることがわかるので秋月の定理より主張を得る。
　また降鎖列$I_m$の$A/I$における像$I_m/I$は停留することから、イデアルの対応定理から$I_m$も停留することがわかる。

　次の手順で示していく。

• Step1:任意の$x\in B$に対しある非負整数$h$が存在して$x\in a^{-h}A+aB$が成り立つことを示す。
• Step2:ある非負整数$n$が存在して$B\subseteq a^{-n}A+aB$が成り立つことを示す。
• Step3:$B/aB$は有限生成$A$-加群$(a^{-n}A+aB)/aB$に含まれることから主張を得る。

Step1

　$x=b/c$なる$b,c\in A$を取り、イデアルの降鎖列
$$I_m=a^{m}A+cA$$
を考えると補題3よりこれは停留するので$I_h=I_{h+1}=\cdots$とする。
　このとき$a^h\in I_h=I_{h+1}$より
$$a^h=a^{h+1}y+cz(y,z\in A)$$
とおくと
$$\begin{array}{rl}x& =(1-ay)x+axy\\ & =a^{-h}cz\cdot x+axy\\ & =a^{-h}bz+axy\\ & \in a^{-h}A+aB\end{array}$$
を得る。

Step2

　$A$のイデアルの降鎖列
$$J_m=(a^{m}B\cap A)+aA$$
を考えると補題3よりこれは停留するので$J_n=J_{n+1}=\cdots$とする。
　いま任意の$x\in B$に対し$x\in a^{-h}A+aB$なる整数$h$であって最小のものを取り、これが$h>n$を満たしていると仮定する。このとき
$$x=a^{-h}\alpha +a\beta (\alpha \in A,\beta \in B)$$
とおくと$h>n$より
$$\alpha =a^h(x-a\beta )\in a^{h}B\cap A\subseteq J_h=J_{h+1}$$
が成り立つので
$$\alpha =a^{h+1}{\beta }^{\prime }+a{\alpha }^{\prime }({\alpha }^{\prime }\in A,{\beta }^{\prime }\in B)$$
と書けるが
$$\begin{array}{rl}x& =a^{-h}\alpha +a\beta \\ & =a^{1-h}{\alpha }^{\prime }+a(\beta +{\beta }^{\prime })\\ & \in a^{1-h}A+aB\end{array}$$
となって$h$の最小性に矛盾。
　したがって$h\le n$でなければならず、$x\in B$は任意であったので
$$B\subseteq a^{-n}A+aB$$
を得る。

Step3

　$(a^{-n}A+aB)/aB$は$A$上で$a^{-n}(\mathrm{mod}aB)$によって生成されるので、$A$のネーター性からその部分加群$B/aB$も$A$上有限生成となることが示された。

　$L$は$B$の分数体としてよく、また${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_n\in B$を$L$の$K$上の基底とする。
　このとき$c\in A\setminus \{0\}$を各$c{\omega }_i$が$A$上整となるように取り
$$\tilde{A}=A[c{\omega }_1,c{\omega }_2,\dots ,c{\omega }_n]$$
とおくと、これは$1$次元ネーター整域となる。実際$1$次元であることは$\tilde{A}/A$が整拡大であることと この記事 の命題14から、ネーター性についてはヒルベルトの基底定理からわかる。
　また$\tilde{A}$の分数体は$L$であり、$\tilde{A}\subseteq B\subseteq L$を満たすので補題4より任意の$a\in \tilde{A}\setminus \{0\}$に対し$B/aB$は$\tilde{A}$上有限生成、特に$A$上有限生成となる。
　いま$B$のイデアル$I\ne 0$に対し任意に$a\in (I\cap A)\setminus \{0\}$を取ると、$I/aB\subseteq B/aB$が$A$-加群として有限生成となるので$I$は$B$-加群として有限生成となる。したがって$B$はネーター整域であることが示された。
　また自然な全射$B/aB\to B/I$によって$B/I$も$A$-加群として有限生成であることがわかる。

　$B$が$1$次元であることは$B/A$が整拡大であることと この記事 の命題14から、ネーター性はクルル・秋月の定理から、整閉性は この記事 の命題11からわかる。