東大数理院試過去問解答例(2012B03)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2012B03の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2012B03

$G$ を単純群とする。 $i = 1, 2$ に対して $p_{i} : G \times G \to G$ を $p_{i} (g_{1}, g_{2}) = g_{i}$ で定義し、 $G \times G$ の部分群 $H$ は条件
$p_{1} (H) = p_{2} (H) = G$
を満たしているとする。

$H$ は $G$ または $G \times G$ のいずれかに同型であることを示しなさい。
$G$ が非可換であり、 $H$ が $G \times G$ の正規部分群であるとき、 $H = G \times G$ であることを示しなさい。

初めに $G$ の部分群 $A$ を
$A = {g \in G | (1, g) \in H}$
で定める。いま $p_{2} (H) = G$ より任意の $h \in G$ に対して $(h^{'}, h) \in H$ なる $h^{'}$ が存在するが、これによって
$(1, h g h^{- 1}) = (h^{'}, h) (1, g) (h^{' - 1}, h^{- 1}) \in H$
であるから、 $A$ は $G$ の正規部分群である。 $G$ は単純なので $A$ は $G$ か $1$ のいずれかである。 $A = G$ であったとすると、このことと条件 $p_{1} (H) = G$ から $H$ は $1 \times G$ または $G \times G$ のいずれかになる。前者の場合 $p_{1} (H) = G$ に反していて矛盾するから、 $H = G \times G$ である。一方 $A = 1$ であったとすると、任意の $g \in G$ に対して $(g, g^{'}) \in H$ なる $g^{'} \in G$ が一意的に取れるから、群同型
$\begin{aligned} G & \tilde{\to} H \\ g & \mapsto (g, g^{'}) \end{aligned}$
がwell-definedに定義される。これによって $H$ は $G$ に同型である。
$G$ が非可換かつ $H$ が正規部分群であったとする。 $(g, g^{'}) \in H$ 及び $g h \neq h g$ なる $h$ をとる。このとき背理法の仮定から
$(h g h^{- 1}, g^{'}) = (h, 1) (g, g^{'}) (h^{- 1}, 1) \in H$
$(h g h^{- 1} g^{- 1}, 1) \in H ∖ (1, 1)$
が従うが、このとき(1)の議論と同様に $G$ の単純性から $A = G$ が従い、そこから $H = G \times G$ が従う。

投稿日：2024年6月11日

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藍色日和

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