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環の準同型定理

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ここでは, 環の準同型定理と, その系の証明を紹介します.

準同型定理

$R, R^{'}$ は環, $φ : R \to R^{'}$ を任意の準同型写像, $I \subseteq Ker φ$ を $R$ のイデアルとする. このとき, 準同型写像 $ϕ : R / I \to R^{'}$ で $φ = ϕ \circ f (f : R \to R / I, a \mapsto a + I)$ を満たすものが唯一つ存在する. また, $ϕ$ が単射であるための必要十分条件は $I = Ker φ$ である.

写像 $ϕ$ を $ϕ (a + I) = φ (a)$ で定義すれば定理の条件を満たす. ( $a \equiv b (\mod I)$ とするとある $x \in I \subseteq Ker φ$ に対して $a = b + x$ となるから, $φ (a) = φ (b + x) = φ (b) + φ (x) = φ (b)$ となり, この写像はちゃんと定義されていることがわかる. ) $ϕ^{'} : R / I \to R^{'}$ を $ϕ$ と異なる写像とすると, ある $a + I \in R / I$ に対し $ϕ^{'} (a + I) \neq ϕ (a + I) = φ (a)$ となるため, この $ϕ^{'}$ は定理の条件を満たさないことがわかるから, $ϕ$ の一意性がいえる.

$I = Ker φ$ とする. $φ (a) = φ (b) ⟺ ϕ (a + I) = ϕ (b + I)$ だから, $a - b \in I = Ker φ$ , よって $a \equiv b (\mod I)$ . 逆に $ϕ$ が単射であるとすると, $φ (a) = 0 ⟺ a \in Ker φ$ だから $I \supseteq Ker φ$ , 仮定と合わせて $I = Ker φ$ .

$R, R^{'}$ を環, $φ : R \to R^{'}$ を任意の準同型写像とするとき, $a + Ker φ \mapsto φ (a)$ なる対応で, 同型
$R / Ker φ \tilde{\to} Im φ$
が得られる. 特に, $φ$ が全射なら
$R / Ker φ ≃ R^{'}$
である.