環の準同型定理
ここでは, 環の準同型定理と, その系の証明を紹介します.
$R, R'$は環, $\varphi \colon R \to R'$を任意の準同型写像, $I \subseteq \Ker{\varphi}$を$R$のイデアルとする. このとき, 準同型写像$\phi \colon R / I \to R'$で$\varphi = \phi \circ f \; (f \colon R \to R / I, a \mapsto a + I)$を満たすものが唯一つ存在する. また, $\phi$が単射であるための必要十分条件は$I = \Ker{\varphi}$である.
写像$\phi$を$\phi(a + I) = \varphi(a)$で定義すれば定理の条件を満たす. ($a \equiv b \pmod{I}$とするとある$x \in I \subseteq \Ker{\varphi}$に対して$a = b + x$となるから, $\varphi(a) = \varphi(b + x) = \varphi(b) + \varphi(x) = \varphi(b)$となり, この写像はちゃんと定義されていることがわかる. ) $\phi' \colon R / I \to R'$を$\phi$と異なる写像とすると, ある$a + I \in R / I$に対し$\phi'(a + I) \neq \phi(a + I) = \varphi(a)$となるため, この$\phi'$は定理の条件を満たさないことがわかるから, $\phi$の一意性がいえる.
$I = \Ker{\varphi}$とする. $\varphi(a) = \varphi(b) \iff \phi(a + I) = \phi(b + I)$だから, $a - b \in I = \Ker{\varphi}$, よって$a \equiv b \pmod{I}$. 逆に$\phi$が単射であるとすると, $\varphi(a) = 0 \iff a \in \Ker{\varphi}$だから$I \supseteq \Ker{\varphi}$, 仮定と合わせて$I = \Ker{\varphi}$.
$R, R'$を環, $\varphi \colon R \to R'$を任意の準同型写像とするとき, $a + \Ker{\varphi} \mapsto \varphi(a)$なる対応で, 同型
\begin{equation}
R / \Ker{\varphi} \stackrel{\sim}{\to} \Im{\varphi}
\end{equation}
が得られる. 特に, $\varphi$が全射なら
\begin{equation}
R / \Ker{\varphi} \simeq R'
\end{equation}
である.
準同型写像$R / \Ker{\varphi} \to \Im{\varphi}, a + \Ker{\varphi} \mapsto \varphi(a)$は全射で, 定理1より単射だから, $R / \Ker{\varphi} \simeq \Im{\varphi}$. 後半は前半より従う.
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