二重数(双対数)ってなに？

導入

こんにちは、ヴァルです。
前回は分解型複素数について書いたので、今回は二重数(双対数)について書いていきます。

二重数(双対数)とは？

二重数という呼び方と、双対数という呼び方の両方がメジャーなのですが、今回は二重数呼びで統一します。

計算規則

$$(a+b\epsilon )+(c+d\epsilon )=(a+c)+(b+d)\epsilon$$

$$(a+b\epsilon )-(c+d\epsilon )=(a-c)+(b-d)\epsilon$$

$$(a+b\epsilon )(c+d\epsilon )=ac+(ad+bc)\epsilon$$

$$\frac{a+b\epsilon }{c+d\epsilon }=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\epsilon$$

$$|a+b\epsilon |=\left|a\right|$$

$a+b\epsilon$の共軛は$a-b\epsilon$。

自動微分

二重数を用いると、自動微分というものが出来ます。

微分との関わり

二重数を用いて、積の微分法や商の微分法の公式を導出することが出来ます。

$$(f+f^{\prime }\epsilon )(g+g^{\prime }\epsilon )=fg+(f{g}^{\prime }+f^{\prime }g)\epsilon$$

$$\frac{f+f^{\prime }\epsilon }{g+g^{\prime }\epsilon }=\frac{f}{g}+\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}\epsilon$$

(先程の演算規則を見た時、勘のいい方は気付いていたかもしれません)

零因子

二重数上には零因子が存在します。

例えば$\epsilon$は零因子です。
$\epsilon \cdot \epsilon =0$ですからね。

より一般に、$\epsilon$の定数倍は全て零因子です。
逆に、二重数上の零因子は全てこの形です。
(簡単な計算で確かめられます)

また、零因子では割り算をすることが出来ません。
零因子$\alpha$、$\beta$に対して$\alpha \beta =0$が成り立つことを念頭において、適当な数xに対して$\frac{x}{\beta }$を考えます。
$$\frac{x}{\beta }=\frac{\alpha }{\alpha }\cdot \frac{x}{\beta }=\frac{\alpha x}{\alpha \beta }=\frac{\alpha x}{0}$$
となってしまい、ゼロ除算になってしまいます。
また、
$$\frac{x}{\beta }\cdot \alpha \beta =x\alpha$$
と
$$\frac{x}{\beta }\cdot \alpha \beta =\frac{x}{\beta }\cdot 0=0$$
となり、$x\ne 0,\beta$では等号が成り立ちません。
いずれにせよよくないので、零因子除算は定義されません。
二重数上で考えると、
$$\frac{1}{\epsilon }$$
とかは定義出来ないんですね。

おわりに

今回は二重数について言及しました。
次回から4次元の数について言及する予定です。