二重数(双対数)ってなに？

導入

こんにちは、ヴァルです。
前回は分解型複素数について書いたので、今回は二重数(双対数)について書いていきます。

二重数(双対数)とは？

二重数という呼び方と、双対数という呼び方の両方がメジャーなのですが、今回は二重数呼びで統一します。

計算規則

$$ (a+bε)+(c+dε)=(a+c)+(b+d)ε $$

$$ (a+bε)-(c+dε)=(a-c)+(b-d)ε $$

$$ (a+bε)(c+dε)=ac+(ad+bc)ε $$

$$ \frac{a+bε}{c+dε}=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^{2}}ε $$

$$ \left|a+bε\right|=\left|a\right| $$

$a+bε$の共軛は$a-bε$。

自動微分

二重数を用いると、自動微分というものが出来ます。

微分との関わり

二重数を用いて、積の微分法や商の微分法の公式を導出することが出来ます。

$$ (f+f'ε)(g+g'ε)=fg+(fg'+f'g)ε $$

$$ \frac{f+f'ε}{g+g'ε}=\frac{f}{g}+\frac{f'g-fg'}{g^{2}}ε $$

(先程の演算規則を見た時、勘のいい方は気付いていたかもしれません)

零因子

二重数上には零因子が存在します。

例えば$ε$は零因子です。
$ε\cdotε=0$ですからね。

より一般に、$ε$の定数倍は全て零因子です。
逆に、二重数上の零因子は全てこの形です。
(簡単な計算で確かめられます)

また、零因子では割り算をすることが出来ません。
零因子$α$、$β$に対して$αβ=0$が成り立つことを念頭において、適当な数xに対して$\frac{x}{β}$を考えます。
$$ \frac{x}{β}=\frac{α}{α}\cdot\frac{x}{β}=\frac{αx}{αβ}=\frac{αx}{0} $$
となってしまい、ゼロ除算になってしまいます。
また、
$$ \frac{x}{β}\cdotαβ=xα $$
と
$$ \frac{x}{β}\cdotαβ=\frac{x}{β}\cdot0=0 $$
となり、$x\neq0,β$では等号が成り立ちません。
いずれにせよよくないので、零因子除算は定義されません。
二重数上で考えると、
$$ \frac{1}{ε} $$
とかは定義出来ないんですね。

おわりに

今回は二重数について言及しました。
次回から4次元の数について言及する予定です。