ここでは東大数理の修士課程の院試の2024B08の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2024B08
球面との直積
を考える。ここで以下の関係
で生成される同値関係を考え、これについての
剰余位相空間を考える。
- がハウスドルフであることを示しなさい。
- の整係数ホモロジー群を求めなさい。
- ハウスドルフ空間の有限群による剰余なのハウスドルフである。
- の部分集合を考える。ここでの部分集合とをで張り合わせたものはに同相である。ここでから同相
が誘導される。但しはで生成される同値関係である。この同一視の下、変換及びはのある平面を軸にした鏡映変換になっている。この平面をとすることで、はの
による同値関係に等しい。以下ホモロジーを計算していく。まずの部分集合を考える。このときとはの開被覆になっている。よってマイヤー・ヴィートリス完全列
が得られる。よってまずが従う。一方次の射は
で表現されるからかつが従う。以上から
が従う。