東大数理院試過去問解答例(2024B08)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2024B08の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2024B08

球面 $S^{2}$ と $S^{1}$ の直積
$S^{2} \times S^{1} = {(x, y, z, t, u) \in R^{5} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = t^{2} + u^{2} = 1}$
を考える。ここで以下の関係
$(x, y, z, t, u) \sim (y, x, z, - t, - u)$
$(x, y, z, t, u) \sim (x, z, y, - t, - u)$
で生成される同値関係 $\sim$ を考え、これについての
剰余位相空間 $X = (S^{2} \times S^{1}) / \sim$ を考える。

$X$ がハウスドルフであることを示しなさい。
$X$ の整係数ホモロジー群 $H_{i} (X, Z)$ を求めなさい。

ハウスドルフ空間の有限群による剰余なのハウスドルフである。
$S^{2}$ の部分集合 $S = {(x, y, z) | x \geq y \geq z} \cup {(x, y, z) | x \geq z \geq y}$ を考える。ここで $S$ の部分集合 ${(x, y, z) | x = y \geq z}$ と ${(x, y, z) | x = z \geq y}$ を $(x, y, z) \mapsto (z, x, y)$ で張り合わせたものは $S^{3}$ に同相である。ここで $S \to S^{3}$ から同相
$S^{3} / \sim_{A} ≃ S^{3}$
が誘導される。但し $\sim_{A}$ は $(x, y, z) \sim_{A} (y, z, x)$ で生成される同値関係である。この同一視の下、変換 $(x, y, z) \mapsto (x, z, y), (x, y, z) \mapsto (z, y, x)$ 及び $(x, y, z) \mapsto (y, x, z)$ は $S^{3}$ のある平面を軸にした鏡映変換になっている。この平面を $z = 0$ とすることで、 $X$ は $S^{2} \times S^{1}$ の
$(x, y, z, t, u) \sim (x, y, - z, - t, - u)$
による同値関係に等しい。以下ホモロジーを計算していく。まず $S^{1}$ の部分集合 $A = {(t, u) | t > 0}, B = {(t, u) | t < 0}, C = {(t, u) | u > 0}, D = {(t, u) | u < 0}$ を考える。このとき $A^{'} = S^{2} \times A$ と $C^{'} = S^{2} \times C$ は $X$ の開被覆になっている。よってマイヤー・ヴィートリス完全列
$\begin{array}{ccccccc} 0 & \to & 0 & \to & H_{3} (X, Z) & \to \\ Z^{2} & \to & Z^{2} & \to & H_{2} (X, Z) & \to \\ 0 & \to & 0 & \to & H_{1} (X, Z) & \to \\ Z^{2} & \to & Z^{2} & \to & Z & \to & 0 \end{array}$
が得られる。よってまず $H_{1} (X, Z) ≃ Z$ が従う。一方 $2$ 次の射は
$(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix})$
で表現されるから $H_{3} (X, Z) = 0$ かつ $H_{2} (X, X) = Z / 2 Z$ が従う。以上から
$H_{i} (X, Z) = {\begin{cases} Z & (i = 0, 1) \\ Z / 2 Z & (i = 2) \\ 0 & (if else) \end{cases}$
が従う。

投稿日：2024年5月15日

更新日：2024年6月7日

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