線形部分空間

　以前、線形空間について記事にまとめました。今回はその続きになります。自主ゼミをしていたときのノートを元にして書いているので結構雑なものになっていますが、それでも良ければどうぞ。

線形部分空間

これの証明は簡単のため、省略する。

$W_1 + W_2$は$W_1 \cup W_2$から生成される部分空間に他ならない。

証明
$T^{-1}(o')$の基底$< e_1 , \cdots , e_s>$とし、$V$の基底$< e_1 , \cdots , e_s , e_{s+1},\cdots , e_n>$とする。このとき、$< T(e_{s+1}) , T(e_{s+2}) , \cdots , T(e_n)>$が$T(V)$の基底であることを示す。

(なぜなら、上の条件をすべて満たしているとすると、$\dim T^{-1}(o') = s \hspace{1mm},\hspace{1mm} \dim V = n \hspace{1mm},\hspace{1mm} \dim T(V) = n - s$となり、$\dim V = \dim T^{-1}(o') + \dim T(V)$が成立することは明らかである。)

$T(V)$の任意の元$x'$を取ると、$x' = T(x)$となる$x \in V$が存在する。

($T(V) = \{T(x) | x \in V\}$なので、$x' \in T(V)$は$T(x) = x'$となる$x \in V$が取れることに他ならない)

$$ x = x_1e_1 + \cdots + x_se_s+x_{s+1}e_{s+1} + \cdots + x_ne_n$$

とすれば、$T(e_i) = o' \hspace{5mm}(1 \leqq i \leqq s)$より、
$$ x' = x_{s+1}T(e_{s+1}) + \cdots + x_nT(e_n)$$
となる。

一方、線形関係$c_{s+1}T(e_{s+1}) + \cdots + c_nT(e_n) = o'$があれば、$T$は線形写像なので、$T(c_{s+1}e_{s+1} + \cdots + c_ne_n) = c_{s+1}T(e_{s+1}) + \cdots + c_nT(e_n) = o'$が成り立つ。

よって、$c_{s+1}e_{s+1}+ \cdots + c_ne_n \in T^{-1}(o')$

$e_1,\cdots,e_s$は$T^{-1}(o')$の基底であるから、ある係数$c_1,\cdots,c_n$が存在して、$c_{s+1}e_{s+1}+ \cdots + c_ne_n = c_1e_1 + \cdots + c_se_s$が成り立つ。

$e_1,\cdots,e_s,e_{s+1},\cdots,e_n$は線形独立であるから、$c_{s+1} = \cdots = c_n = 0$.

$T(e_{s+1}) , \cdots,T(e_n)$は$T(V)$の基底である。□

証明は省略(気が向いたら書き足すかもしれません)

証明
$W_1 \cap W_2 , W_1 , W_2$の次元をそれぞれ$r , r+s , r+t$として、$\dim(W_1 + W_2) = r + s + t$を示す。

$W_1 \cap W_2$の基底を$< a_1,\cdots,a_r>$として、この基底を拡大して$W_1$の基底を$< a_1,\cdots,a_r,b_1,\cdots,b_s> \hspace{2mm},\hspace{2mm}W_2$の基底を$< a_1,\cdots,a_r,c_1,\cdots,c_t>$とする。

このとき、$W_1 + W_2$の基底が$< a_1,\cdots,a_r,b_1,\cdots,b_s,c_1,\cdots,c_t>$となることを示せばよい。この基底$< a_1,\cdots,a_r,b_1,\cdots,b_s,c_1,\cdots,c_t>$を$E$とおく。

$\forall x \in W_1+W_2$は$W_1,W_2$のベクトルの和として
$$ x = x_1 + x_2 \hspace{5mm}(x_1 \in W_1 , x_2 \in W_2)$$
と書ける。なので、$x$は$E$のベクトルの線形結合として表せる。

$E$の線型独立性を示すために、
$$ \sum_{i=1}^{r} \alpha_i a_i + \sum_{j=1}^{s} \beta_j b_j + \sum_{k=1}^{t} \gamma_k c_k = 0$$
という線形関係があったとする。このとき、$a_i , b_j,c_k$の係数がすべて0になることを示す。

最後の項を右辺に移項すると、

$$ \sum_{i=1}^{r} \alpha_i a_i + \sum_{j=1}^{s} \beta_j b_j = - \sum_{k=1}^{t} \gamma_k c_k$$

を得る。$ \sum_{i=1}^{r} \alpha_i a_i + \sum_{j=1}^{s} \beta_j b_j \in W_1 \hspace{2mm},\hspace{2mm}\sum_{k=1}^{t} \gamma_k c_k \in W_2$であるので、左辺も$W_2$の元である。
($- \sum_{k=1}^{t} \gamma_k c_k = \sum_{i=1}^{r} \alpha_i a_i + \sum_{j=1}^{s} \beta_j b_j \in W_1$でもある。)

よって、$W_1 \cap W_2$の元であることが分かった。$\sum_{i=1}^{r} \alpha_i a_i + \sum_{j=1}^{s} \beta_j b_j$は$W_1 \cap W_2$の元であるので、

$$ \sum_{i=1}^{r} \alpha_i a_i + \sum_{j=1}^{s} \beta_j b_j = \sum_{i=1}^{r}\alpha'_i a_i$$

と書くことができる。

つまり、$- \sum_{k=1}^{t} \gamma_k c_k = \sum_{i=1}^{r}\alpha'_i a_i$.

$W_2$の基底$< a_1,\cdots,a_r,c_1,\cdots,c_t>$は線型独立であるから、
$\alpha'_1 = \alpha'_2 = \cdots = \alpha'_r = 0 \hspace{2mm},\hspace{2mm}\gamma_1 = \cdots = \gamma_t = 0$.

これを$ \sum_{i=1}^{r} \alpha_i a_i + \sum_{j=1}^{s} \beta_j b_j = - \sum_{k=1}^{t} \gamma_k c_k$に代入すると、

$$ \sum_{i=1}^{r} \alpha_i a_i + \sum_{j=1}^{s} \beta_j b_j = 0$$
となる。$W_1$の基底$ < a_1,\cdots,a_r,b_1,\cdots,b_s>$は線型独立であるので、
$\alpha_1 = \cdots = \alpha_r = 0 \hspace{2mm},\hspace{2mm}\beta_1 = \cdots = \beta_s = 0$.
したがって、線型独立である。□

次回の線形代数の記事では、直和について解説する予定です。

今回は以上です。