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東大数理院試過去問解答例(2016B02)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2016B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2016B02

剰余環
A=C[X,Y]/(XY(X+Y1))
を考え、X及びYで代表される元をそれぞれX及びYとおく。

  1. Aの素イデアルを全て求めなさい。
  2. C-代数の同型φ:AA
    φ(X)=Y
    φ(Y)=XY+1
    を満たすものがただ一つ存在することを示しなさい。
  3. Aの部分環B
    B={aA|φ(a)=a}
    で定める。このとき単射環準同型ψ:BC[t]で、C[t]/ψ(B)が有限次元になるようなものを一つ構成し、その次元を求めなさい。
  1. このような素イデアルはX,Y,1XYのいずれかを含むから、(X),(Y),(1XY),(X,Ya),(Xa,Y),(Xa,Y(1a))である(ここでaは全ての複素数を走る)。
  2. まずAC-代数としてX,Yで生成されていることからφの一意性が従う。またC[X,Y]の環同型(X,Y)(Y,1XY)XY(1XY)を固定するから、これはAの環同型を誘導する。以上からφの存在が示せた。
  3. ここで
    p:AC={(f,g,h)C[x]×C[y]×C[t]|f(0)=g(0),g(1)=h(0),h(1)=f(1)}F(x,y)(F(x,0),F(0,y),F(t,1t))
    とおく。ここで条件を満たす(f,g,h)を取ったとき、f=xa(x)+cかつg=yb(y)+cなるaC[x],bC[y],cCを用いて
    d(x)=h(x)xa(x)(1x)b(1x)cx(1x)
    とおく。ここで
    F=xyd(x)+xa(x)+yb(y)+c
    とおいたときp(F)=(f,g,h)を満たしている。これによってpは環の同型を定めている。このとき上記の環同型によってφ:AA
    φ:CC(f,g,h)(g(1x),h(y),f(1t))
    と表される。ここでCφ-不変な元はf(0)=f(1)なるfから一意的に定められる。よって単射環準同型ψ:BC[t]で、像が
    D:={fC[x]|f(0)=f(1)}
    であるようなものを構成でき、ここまでの議論からこのようなψは例えばFF(x,0)で実現されるる。ここでC-線型空間の同型
    C[x]/DC2f(f(0),f(1))
    を構成できるから、dimCC[x]/ψ(B)=2である。
投稿日:202432
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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