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大学数学基礎解説
東大数理院試過去問解答例(2016B02)
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ここでは東大数理の修士課程の院試の2016B02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
2016B02
剰余環
$$
A=\mathbb{C}[X,Y]/(XY(X+Y-1))
$$
を考え、$X$及び$Y$で代表される元をそれぞれ$\overline{X}$及び$\overline{Y}$とおく。
- $A$の素イデアルを全て求めなさい。
- $\mathbb{C}$代数の同型$\varphi:A\to A$で
$$ \varphi(\overline{X})=\overline{Y} $$
$$ \varphi(\overline{Y})=-\overline{X}-\overline{Y}+1 $$
を満たすものがただ一つ存在することを示しなさい。 - $A$の部分環$B$を
$$ B=\{a\in A|\varphi(a)=a\} $$
で定める。このとき単射環準同型$\psi:B\hookrightarrow \mathbb{C}[t]$で、$\mathbb{C}[t]/\psi(B)$が有限次元になるようなものを一つ構成し、その次元を求めなさい。
- このような素イデアルは$\overline{X},\overline{Y},1-\overline{X}-\overline{Y}$のいずれかを含むから、$\color{red}(\overline{X}),(\overline{Y}),(1-\overline{X}-\overline{Y}),(\overline{X},\overline{Y}-a),(\overline{X}-a,\overline{Y}),(\overline{X}-a,\overline{Y}-(1-a))$である(ここで$a$は全ての複素数を走る)。
- まず$A$は$\mathbb{C}$-代数として$\overline{X},\overline{Y}$で生成されていることから$\varphi$の一意性が従う。また$\mathbb{C}[X,Y]$の環同型$(X,Y)\mapsto(Y,1-X-Y)$は$XY(1-X-Y)$を固定するから、これは$A$の環同型を誘導する。以上から$\varphi$の存在が示せた。
- まず$p:A\to\mathbb{C}[x]$を$p(F)=F(x,0)$で定める。これはwell-definedな準同型である。${\color{red}\psi:=p|_B}$とおく。このとき$\mathrm{Ker}(\psi)=yA\cap B$である。ここで$ya\in B$であったとすると、$B$の定め方から$ya=(-x-y+1)\psi(a)=x\psi^2(a)$が成り立ち、$y\notin xA\cup (x+y-1)A$であることと併せて$a\in x(x+y-1)A$が分かり、これにより$\mathrm{Ker}(\psi)=0$が従う。次に次元を求めていく。まず
$$ \psi(xy+y(-x-y+1)+(-x-y+1)x)=x(1-x) $$
$$ \psi((x-y)(y-(-x-y+1))((-x-y+1)-x))=x(x-1)(-2x+1) $$
であるから、$\mathrm{Im}(\psi)$は$x^2-x$及び$x^3-x$を含む$\mathbb{C}$代数である。ここで$F\in A$が$F\in B$かつ$F(x,0)=x$を満たしているとする。このとき$F(x,y)=x+yG(x,y)$と表せるが、これにより
$$ x+yG(x,y)=y+(-x-y+1)G(y,-x-y+1) $$
が従う。しかしこれに$y=0$を代入すると
$$ x=(-x+1)G(0,-x+1) $$
が従い矛盾する。よって$x\notin \mathrm{Im}(\psi)$である。このことと$\mathbb{C}[t]$は線型空間としては$1,x,(x^2-x)^m(x^3-x)^n$たち(但し$m,n$は自然数全体を走る)で生成されることを考慮すると、$\dim\frac{\mathbb{C}[t]}{\mathrm{Im}(\psi)}={\color{red}1}$が分かる。
投稿日：2024年3月2日
更新日：8月25日
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