q超幾何級数のqモーメント2

$b_r:=q$
\begin{align} \mu(w):=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_r;q)_n}{(b_1,\dots,b_r;q)_n}\frac{t^n}{1-wq^n} \end{align}
とする. 前の記事 で$0\leq N$に対し, $\mu(wq^{N})$を$\mu(w)$で表す公式を与えた. 今回は$\mu(wq^{-N})$について考える. 前の記事 の命題1は以下のようなものだった.

この右辺の多項式を$p(w)$として
\begin{align} (wq-b_1)\cdots(wq-b_r)\mu(w)-(wq-a_1)\cdots(wq-a_r)t\mu(wq)&=p(w) \end{align}
となる. $w\mapsto wq^{-n}$として,
\begin{align} \frac{(1-b_1q^{n-1}/w)\cdots(1-b_rq^{n-1}/w)}{(1-a_1q^{n-1}/w)\cdots(1-a_rq^{n-1}/w)t}\mu(wq^{-n})-\mu(wq^{1-n})&=\frac{p(wq^{-n})} {(wq^{1-n}-a_1)\cdots(wq^{1-n}-a_r)t} \end{align}
の両辺に
\begin{align} \frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_{n-1}}{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_{n-1}t^{n-1}} \end{align}
を掛けると,
\begin{align} &\frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_{n}}{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_{n}t^{n}}\mu(wq^{-n})-\frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_{n-1}}{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_{n-1}t^{n-1}}\mu(wq^{1-n})\\ &=\frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_{n-1}}{(wq)^r(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_{n}}\left(\frac{q^r}{t}\right)^np(wq^{-n}) \end{align}
を得る. これを$n=1$から$n=N$まで足し合わせると
\begin{align} &\frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_{N}}{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_{N}t^{N}}\mu(wq^{-N})-\mu(w)\\ &=\frac 1{(wq)^r}\sum_{n=1}^N\frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_{n-1}}{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_n}\left(\frac{q^r}{t}\right)^np(wq^{-n})\\ &=\frac 1{w^rt}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_{n}}{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q^r}{t}\right)^np(wq^{-n-1}) \end{align}
となる. よって,
\begin{align} \mu(wq^{-N})&=\frac{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_N}{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1{w^rt}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b_1/w,\dots,b_r/w;q)_{n}}{(a_1/w,\dots,a_r/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q^r}{t}\right)^np(wq^{-n-1})\right) \end{align}
を得る. 以下に命題としてまとめておく.

$r=2$の場合を考える.
\begin{align} c_n&:=\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}t^n\\ \mu(w)&=\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{1-wq^n} \end{align}
とする. このとき, 前の記事 で求めたように, $p(w)$は一次式
\begin{align} p(w)&=\sum_{0\leq n}(cq-tab+wq((c-tab)q^n+(a+b)t-c-q))c_n \end{align}
である. 命題2を用いると,
\begin{align} \mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w,b/w;q)_N}{(c/w,q/w;q)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1{w^2t}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/w,q/w;q)_n}{(a/w,b/w;q)_{n+1}}\left(\frac{q^2}t\right)^np(wq^{-n-1})\right) \end{align}
を得る. 前の記事 で$t=\frac{cq}{ab}$のときは
\begin{align} p(w)&=-q^2\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}w \end{align}
となることを示した. よってその場合は
\begin{align} \mu(wq^{-N})&=\frac{(a/w,b/w;q)_N}{(c/w,q/w;q)_N}\left(\frac{cq}{ab}\right)^N\left(\mu(w)-\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\frac{ab}{wc}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(c/w,q/w;q)_n}{(a/w,b/w;q)_{n+1}}\left(\frac{ab}{c}\right)^n\right) \end{align}
となる. まとめると以下を得る.

今回の場合は分母に$(c/w;q)_N$があるので$w\to c$としても上手く求まることは期待できなさそうである. パラメーターが特別な場合で$\mu(w)$が上手く求まる場合を調べることは今後の研究課題である.