アティマク第5章演習問題25番

(i)$\Longrightarrow$(ii)の証明
$B$を体である有限生成$A$-代数とする.
$f:A\rightarrow B$を$A$-代数の射とする.
$B$が有限生成$A$-代数であることから,ある自然数$n$が存在して,
全射$\phi:A[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]\twoheadrightarrow B$が存在する.
$\iota:A\hookrightarrow A[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]$を包含写像とすると,$f=\phi\circ\iota $が成り立つ.
$\mathfrak{p}\coloneqq kerf$とおくと,準同型定理より,自然な全射$\pi:A\twoheadrightarrow A/\mathfrak{p} $に対して、$g:A/\mathfrak{p}\hookrightarrow B$が唯一つ存在して,$g\circ\pi=f$が成り立つ.
$g$によって$A/\mathfrak{p}$は$B$の部分環とみなせるので、$B$が体であることから$A/\mathfrak{p}$は整域.つまり$\mathfrak{p}$は素イデアルである.
$\phi\circ\iota(\mathfrak{p})=f(\mathfrak{p})=0$より,$\iota(\mathfrak{p}) \subset ker\phi$.
従って,$\iota(\mathfrak{p})A[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]=\mathfrak{p}[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]\subset ker\phi$.
準同型定理より,自然な全射$\pi_{\mathfrak{p}}:A[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]\twoheadrightarrow A[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]/ \mathfrak{p}[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]$に対して,$\widetilde{\phi}:A[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]/ \mathfrak{p}[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]\rightarrow B$が唯一つ存在して,$\phi=\widetilde{\phi} \circ \pi_{\mathfrak{p}}$が成り立つ.
また,$Im\widetilde{\phi} \supset Im\phi=B$より$\widetilde{\phi}$は全射で,さらに同型$A[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]/ \mathfrak{p}[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}] \cong A/\mathfrak{p}[X_{1},X_{2},\cdots X_{n}]$があるので,$B$は有限生成$A/\mathfrak{p}$-代数である.
　よって第5章演習問題21番より,ある$s \in A/\mathfrak{p}\setminus \lbrace 0 \rbrace $が存在して,任意の代数閉体$\Omega$と任意の$h(s) \neq 0$を満たす準同型写像$h:A/\mathfrak{p}\rightarrow \Omega$に対してある準同型写像$\bar{ h }:B\rightarrow\Omega$が存在して,$\bar{ h }\circ g=h$を満たす.($\ast$)
　ここで,$\mathfrak{p}$が$A$の極大イデアルであることを背理法で示す.
$\mathfrak{p}$が$A$の極大イデアルでないと仮定する.
第5章演習問題23番(ii)と$A/\mathfrak{p}$が整域であることより$Jac(A/\mathfrak{p})=0$なのである$A$の極大イデアル$\mathfrak{m}$が存在して,$s \notin \pi(\mathfrak{m})$と$\mathfrak{p} \subset \mathfrak{m}$を満たす.
$k\coloneqq A/\mathfrak{m}$は体.
$\mathfrak{p} \subset \mathfrak{m}$から誘導される準同型写像を$\pi_{k}:A/\mathfrak{p}\twoheadrightarrow k$とする.
$k$の代数閉包を$\bar{ k }$とし,$i:k\rightarrow \bar{ k }$を包含写像とすると,
$\pi_{k}(s) \neq 0$より$i\circ\pi_{k}(s) \neq 0$.従って($\ast$)より,ある準同型写像$\alpha:B\rightarrow \bar{k}$が存在して$\alpha\circ g=i\circ\pi_{k}$を満たす.
$B$が体であることから$\alpha$は単射なので,
$ker\space \pi_{k}=ker\space i\circ\pi_{k}=ker\space \alpha\circ g=ker\space g=0$.
よって同型射$\pi_{k}$によって$A/\mathfrak{p} \cong k$なので,$\mathfrak{p}$が極大イデアルとなり,矛盾.
従って$\mathfrak{p}$は極大イデアルである.
　これにより,体$B$は体$A/\mathfrak{p}$上有限生成なので,
第5章演習問題18番より,$B$は$A/\mathfrak{p}$上有限.
さらに$A/\mathfrak{p}$は$A$上有限なので,$B$は$A$上有限.
(ii)$\Longrightarrow$(i)の証明
　$A$が第5章演習問題23番(iii)の条件を満たすことを示す.
$\mathfrak{p}$を$A$の極大イデアルでない素イデアルとする.
$B\coloneqq A/\mathfrak{p}$とおく.
すべての$t \in B \setminus \lbrace 0 \rbrace $に対して,射影$A[x]\twoheadrightarrow B[x]$と代入写像$B[x]\twoheadrightarrow B[ \frac{1}{t} ]= B_{t} $の合成$A[x]\twoheadrightarrow B_{t}$が存在するので$B_{t}$は有限生成$A$-代数.
　$B_{t}$が体でないことを背理法により示す.
$B_{t}$が体であると仮定する.
(ii)より$B_{t}$は$A$上有限で,特に$B$上有限.
命題5.1より,$\frac{1}{t}$は$B$上整.つまり$B_{t}$は$B$上整.
よって命題5.7から$B$は体.
これは$\mathfrak{p}がA$の極大イデアルでないことに矛盾する.
従って$B_{t}$は体でない.
　これより各$t \in B \setminus \lbrace 0 \rbrace $に対して$B_{t}$の極大イデアル$\mathfrak{m}_{t} \neq 0$を取れる.$A\rightarrow B \rightarrow B_{t}$による$\mathfrak{m}_{t}$の縮約を$\mathfrak{p}_{t}$とおく.
$\mathfrak{p}$は$0$の縮約より,$\mathfrak{p}\subsetneqq\mathfrak{p}_t$が成り立つ.
　以下$\mathfrak{p}= \bigcap_{t \in B \setminus \lbrace 0 \rbrace}\mathfrak{p}_t$が成り立つことを示す.
$\mathfrak{p}\subset \bigcap_{t \in B \setminus \lbrace 0 \rbrace}\mathfrak{p}_t$は明らかなので,逆の包含を示す.
$x \notin \mathfrak{p}$とする.
$f:A\twoheadrightarrow B$を自然な全射とすると,$f(x)\in B \setminus \lbrace 0 \rbrace$.
命題3.11(iv)より$B\rightarrow B_{f(x)}$による$\mathfrak{m}_{f(x)}$の縮約は$f(x)$を含まない.
従って$x\notin \mathfrak{p}_{f(x)}$.つまり$x\notin \bigcap_{t \in B \setminus \lbrace 0 \rbrace}\mathfrak{p}_t$.
よって$\mathfrak{p}= \bigcap_{t \in B \setminus \lbrace 0 \rbrace}\mathfrak{p}_t$が示された.
　特に,$\mathfrak{p}= \bigcap_{\mathfrak{p} \subsetneqq\mathfrak{p^{\prime} }}\mathfrak{p^{\prime} }$が成り立つので$A$はジャコブソン環である.