超幾何級数の有限モーメント

前回の記事 で一般超幾何級数のモーメントが満たす差分方程式を与え, それを用いて${}_2F_1$とその特別な場合として得られるモーメントを考えた. 今回はモーメントを有限で打ち切ったもの
\begin{align} \mu_N(w):=\sum_{k=0}^N\frac{c_n}{n+w} \end{align}
を考える. 以下これを有限モーメントということにする. $b_r:=1$として

\begin{align} c_n&:=\frac{(a_1,\dots,a_r)_n}{(b_1,\dots,b_r)_n}t^n\\ \mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{n+w} \end{align}
とする. $c_n$は漸化式
\begin{align} (b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)c_n-(a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1)tc_{n-1}=0 \end{align}
を満たすので,
\begin{align} 0&=\sum_{n=0}^N\frac{(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)c_n-(a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1)tc_{n-1}}{n+w}\\ &=\sum_{n=0}^N\frac{((b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)-(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1))c_n}{n+w}\\ &\qquad-\sum_{n=0}^N\frac{((a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1)-(a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1))tc_{n-1}}{n+w}\\ &\qquad+(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)\sum_{n=0}^N\frac{c_n}{n+w}\\ &\qquad-(a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1)t\sum_{n=0}^N\frac{c_{n-1}}{n+w} \end{align}
である. ここで,
\begin{align} \sum_{n=0}^N\frac{c_{n-1}}{n+w}&=\mu_{N-1}(w+1) \end{align}
であることに注意すると, 以下を得る.

ここまでは前の記事の議論と全く同様である. ここからはまず$\mu_N(w+N)$を与える公式を求めることを考える. 先ほどの記法
\begin{align} c_n:=\frac{(a_1,\dots,a_r)_n}{(b_1,\dots,b_r)_n}t^n \end{align}
をここでも用いる.

\begin{align} &(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)\mu_n(w)-(a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1)t\mu_{n-1}(w+1)=p_n(w) \end{align}
において, $w\mapsto w+n$として
\begin{align} &(n+w+1-b_1)\cdots(n+w+1-b_r)\mu_n(w+n)-(n+w+1-a_1)\cdots(n+w+1-a_r)t\mu_{n-1}(w+n+1)=(-1)^rp_n(w+n) \end{align}
ここで,
\begin{align} \mu_{n-1}(w+n+1)&=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{c_k}{k+w+n+1}\\ &=\sum_{k=0}^{n+1}\frac{c_k}{k+w+n+1}-\frac{c_n}{w+2n+1}-\frac{c_{n+1}}{w+2n+2}\\ &=\mu_{n+1}(w+n+1)-\frac{c_n}{w+2n+1}-\frac{c_{n+1}}{w+2n+2}\\ \end{align}
より, これを代入して
\begin{align} &(n+w+1-b_1)\cdots(n+w+1-b_r)\mu_n(w+n)-(n+w+1-a_1)\cdots(n+w+1-a_r)t\mu_{n+1}(w+n+1)\\ &=(-1)^rp_n(w+n)-(n+w+1-a_1)\cdots(n+w+1-a_r)t\left(\frac{c_n}{w+2n+1}+\frac{c_{n+1}}{w+2n+2}\right) \end{align}
両辺に
\begin{align} \frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^n \end{align}
を掛けて$n=0$から$N-1$まで足し合わせると,
\begin{align} &\mu_0(w)-\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_N}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}t^N\mu_N(w+N)\\ &=(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^np_n(w+n)\\ &\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n+1}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^{n+1}\left(\frac{c_n}{w+2n+1}+\frac{c_{n+1}}{w+2n+2}\right) \end{align}
ここで,
\begin{align} \mu_0(w)&=\frac{1}{w} \end{align}
であることを用いると,
\begin{align} &\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_N}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}t^N\mu_N(w+N)\\ &=\frac 1w-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^np_n(w+n)\\ &\qquad+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n+1}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^{n+1}\left(\frac{c_n}{w+2n+1}+\frac{c_{n+1}}{w+2n+2}\right)\\ &=\frac 1w-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^np_n(w+n)\\ &\qquad+\sum_{n=1}^{N}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n}}t^{n}\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_{n}}{w+2n}\right)\\ &=\sum_{n=0}^{N}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n}}t^{n}\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_{n}}{w+2n}\right)-(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^np_n(w+n) \end{align}
となる. よって以下を得る.

$r=2$の場合を考える.
\begin{align} c_n:=\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}t^n \end{align}
とする. そのとき, 命題2において
\begin{align} p_N(w)&=\sum_{n=0}^N\frac{(w(w+1-c)-n(n+c-1))c_n}{n+w}\\ &\qquad-\sum_{n=0}^N\frac{((a-w-1)(b-w-1)-(a+n-1)(b+n-1))tc_{n-1}}{n+w}\\ &=\sum_{n=0}^N(w-n+1-c)c_n-\sum_{n=0}^N(w-n+2-a-b)tc_{n-1} \end{align}
と表される. 特に$t=1$のとき
\begin{align} p_N(w)&=\sum_{n=0}^N(w-n+1-c)c_n-\sum_{n=0}^N(w-n+2-a-b)c_{n-1}\\ &=\sum_{n=0}^N(w-n+1-c)c_n-\sum_{n=0}^{N-1}(w-n+1-a-b)c_n\\ &=(a+b-c)\sum_{n=0}^Nc_n+(w-N+1-a-b)c_N\\ \end{align}
を得る. このとき, 命題2を用いると,
\begin{align} &\frac{(w+1-a,w+1-b)_N}{(w+1-c,w)_N}\mu_N(w+N)\\ &=\sum_{n=0}^{N}\frac{(w+1-a,w+1-b)_{n}}{(w+1-c,w)_{n}}\left(\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}+\frac{c_{n}}{w+2n}\right)\\ &\qquad+(c-a-b)\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_{n}}{(w+1-c,w)_{n+1}}\sum_{k=0}^nc_k\\ &\qquad-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_n}{(w+1-c,w)_{n+1}}(w+1-a-b)c_n \end{align}
ここで,
\begin{align} &\sum_{n=0}^{N}\frac{(w+1-a,w+1-b)_{n}}{(w+1-c,w)_{n}}\frac{c_{n-1}}{w+2n-1}-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_n}{(w+1-c,w)_{n+1}}(w-n+1-a-b)c_n\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_{n+1}}{(w+1-c,w)_{n+1}}\frac{c_{n}}{w+2n+1}-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_n}{(w+1-c,w)_{n+1}}(w-n+1-a-b)c_n\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_{n}c_{n}}{(w+1-c,w)_{n+1}}\left(\frac{(w+n+1-a)(w+n+1-b)}{w+2n+1}-(w+1-a-b)\right)\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_{n}c_{n}}{(w+1-c,w)_{n+1}}\frac{(n+a)(n+b)}{w+2n+1}\\ &=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_{n}(a,b)_{n+1}}{(w+1-c,w)_{n+1}n!(c)_n}\frac{1}{w+2n+1} \end{align}
となる. よって以下を得る.

上の$t=1$の場合において特に$c=a+b$の場合,
\begin{align} &\frac{(w+1-a,w+1-b)_N}{(w+1-a-b,w)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(a,b)_n}{n!(a+b)_n}\frac 1{n+N+w}\\ &=\sum_{n=0}^{N}\frac{(w+1-a,w+1-b,a,b)_{n}}{(w+1-a-b,w,a+b)_{n}n!}\frac{1}{w+2n}+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_{n}(a,b)_{n+1}}{(w+1-a-b,w)_{n+1}n!(a+b)_n}\frac{1}{w+2n+1} \end{align}
と二重和が現れないシンプルな形になる. 面白い例として, $a=b=\frac 12, w=1$とすると,
\begin{align} &\frac{\left(\frac 32\right)_N^2}{N!^2}\sum_{n=0}^N\frac{\left(\frac 12\right)_n^2}{n!^2}\frac 1{n+N+1}\\ &=\sum_{n=0}^N\frac{\left(\frac 32,\frac 12\right)_n^2}{n!^4}\frac 1{2n+1}+\sum_{n=0}^{N-1}\frac{\left(\frac 32\right)_n^2\left(\frac 12\right)_n^2}{(n+1)!^2n!^2}\frac 1{2n+2}\\ &=\sum_{n=0}^N(2n+1)\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}+\sum_{n=0}^{N-1}(2n+2)\frac{\left(\frac 12\right)_{n+1}^4}{(n+1)!^4}\\ &=\sum_{n=0}^N(2n+1)\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4}+\sum_{n=0}^{N}2n\frac{\left(\frac 12\right)_{n}^4}{n!^4}\\ &=\sum_{n=0}^N(4n+1)\frac{\left(\frac 12\right)_n^4}{n!^4} \end{align}
と特に綺麗な形で表される.