超幾何級数のモーメント

前の記事 で$q$超幾何級数の$q$モーメントについて考察したが, そもそも$q=1$の場合である超幾何級数のモーメントについてまだ記事にまとめていなかったことに気づいたのでまとめていきたい. 前の記事 の結果から$q\to 1$として導出することもできるが, 今回も同様の方針で再び導出することにする. $b_r:=1$として
\begin{align} c_n&:=\frac{(a_1,\dots,a_r)_n}{(b_1,\dots,b_r)_n}t^n\\ \mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{n+w} \end{align}
とする. $c_n$は漸化式
\begin{align} (b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)c_n-(a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1)tc_{n-1}=0 \end{align}
を満たすので,
\begin{align} 0&=\sum_{0\leq n}\frac{(b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)c_n-(a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1)tc_{n-1}}{n+w}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{((b_1+n-1)\cdots(b_r+n-1)-(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1))c_n}{n+w}\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{((a_1+n-1)\cdots(a_r+n-1)-(a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1))tc_{n-1}}{n+w}\\ &\qquad+(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{n+w}\\ &\qquad-(a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1)t\sum_{0\leq n}\frac{c_{n-1}}{n+w} \end{align}
である. ここで
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{c_{n-1}}{n+w}&=\mu(w+1) \end{align}
であることに注意すると, 以下を得る.

上の方程式を用いて$\mu(w+N)$を$\mu(w)$で与える公式を求める.
\begin{align} &(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)\mu(w)-(a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1)t\mu(w+1)=p(w) \end{align}
において, $w\mapsto n+w-1$として両辺を$(-1)^r$倍すると
\begin{align} &(n+w-b_1)\cdots(n+w-b_r)\mu(n+w-1)-(n+w-a_1)\cdots(n+w-a_r)t\mu(n+w)=(-1)^rp(n+w-1) \end{align}
を得る. 両辺に
\begin{align} \frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n-1}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n}}t^{n-1} \end{align}
を掛けて$n=1$から$n=N$まで足し合わせると,
\begin{align} \mu(w)-\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_N}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_N}t^N\mu(w+N)&=(-1)^r\sum_{n=1}^N\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n-1}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_n}t^{n-1}p(n+w-1)\\ &=(-1)^r\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a_1,\dots,w+1-a_r)_{n}}{(w+1-b_1,\dots,w+1-b_r)_{n+1}}t^{n}p(n+w) \end{align}
を得る. 次に$\mu(w-N)$を$\mu(w)$で表す公式を考える.
\begin{align} &(b_1-w-1)\cdots(b_r-w-1)\mu(w)-(a_1-w-1)\cdots(a_r-w-1)t\mu(w+1)=p(w) \end{align}
において, $w\mapsto w-n$とすると,
\begin{align} &(n+b_1-w-1)\cdots(n+b_r-w-1)\mu(w-n)-(n+a_1-w-1)\cdots(n+a_r-w-1)t\mu(w-n+1)=p(w-n) \end{align}
を得る. この両辺に
\begin{align} \frac{(b_1-w,\dots,b_r-w)_{n-1}}{(a_1-w,\dots,a_r-w)_nt^{n}} \end{align}
を掛けて$n=1$から$n=N$まで足し合わせると,
\begin{align} \frac{(b_1-w,\dots,b_r-w)_N}{(a_1-w,\dots,a_r-w)_Nt^N}\mu(w-N)-\mu(w)&=\sum_{n=1}^N\frac{(b_1-w,\dots,b_r-w)_{n-1}}{(a_1-w,\dots,a_r-w)_nt^n}p(w-n)\\ &=\frac 1t\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(b_1-w,\dots,b_r-w)_{n}}{(a_1-w,\dots,a_r-w)_{n+1}t^n}p(w-n-1) \end{align}
を得る. これらを整理すると以下を得る.

$r=2$の場合を考える.
\begin{align} c_n&:=\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}t^n\\ \mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{c_n}{n+w} \end{align}
とする. 定理2における多項式$p(w)$は
\begin{align} p(w)&=\sum_{0\leq n}\frac{(-w(c-w-1)-n(c+n-1))c_n}{n+w}\\ &\qquad-\sum_{0\leq n}\frac{((a-w-1)(b-w-1)-(a+n-1)(b+n-1))tc_{n-1}}{n+w}\\ &=\sum_{0\leq n}(w-n+1-c)c_n-\sum_{0\leq n}(w-n+2-a-b)tc_{n-1}\\ &=\sum_{0\leq n}(w-n+1-c-(w-n+1-a-b)t)c_{n} \end{align}
となる. 特に$c$を十分大きくとっておけば, $t\to 1$の場合は
\begin{align} p(w)&=(a+b-c)\sum_{0\leq n}c_n\\ &=(a+b-c)\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\\ &=-\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)} \end{align}
と簡潔に表すことができる.ここで, 最初の等号はGaussの超幾何定理による. これらより以下を得る.

最後の条件である$\Re(1+c-a-b)>0$は, 最初に$c$を十分大きくとっておけば定理が示せるので$c$に関する解析接続によって正当化される. 上の定理における等式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\frac 1{n+w+N}&=\frac{(w,w+1-c)_N}{(w+1-a,w+1-b)_N}\left(\mu(w)+\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a,w+1-b)_n}{(w,w+1-c)_{n+1}}\right) \end{align}
において$w=c$とすると, Hodgkinsonによる公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\frac 1{n+c+N}&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(1+c-a)\Gamma(1+c-b)}\frac{N!(c)_N}{(1+c-a,1+c-b)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(c-a,c-b)_n}{n!(c)_n} \end{align}
を得る. また, $w=1$とすると, Whippleによる公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\frac 1{n+N+1}&=\frac{N!(1-c)_{N+1}}{(1-a,1-b)_{N+1}}\left(1-\frac{\Gamma(c-1)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\sum_{n=0}^N\frac{(1-a,1-b)_n}{n!(2-c)_n}\right) \end{align}
を得る.

以下, 定理3から得られる特別な場合を与えておく. 定理3において$t\mapsto\frac tb$として$b\to\infty$とすると以下を得る.

上の系においてさらに$t\mapsto \frac ta$として$a\to \infty$とすると以下を得る.

これは本質的にBessel関数のモーメントを与える公式になっている. 定理3において, $b=c$とすると
\begin{align} \mu(w)&:=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}\frac{t^n}{n+w} \end{align}
とするとき,
\begin{align} \mu(w+N)&=\frac{(w)_N}{(w+1-a)_N}t^{-N}\left(\mu(w)-\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a)_n}{(w)_{n+1}(n+1+w-b)}t^np(n+w)\right)\\ \mu(w-N)&=\frac{(a-w)_N}{(1-w)_N}t^N\left(\mu(w)+\frac 1t\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w)_n}{(a-w)_{n+1}(n+b-w)t^n}p(n-w)\right) \end{align}
が成り立つ. ここで, $p(w)$は$w$に関する一次式で
\begin{align} p(w)&=\sum_{0\leq n}(w-n+1-b-(w-n+1-a-b)t)\frac{(a)_n}{n!}t^n \end{align}
である. $b\to\infty$とすると,
\begin{align} \lim_{b\to\infty}\frac{p(w)}{b}&=(t-1)\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}t^n\\ &=-(1-t)^{1-a} \end{align}
となる. これを代入すると,
\begin{align} \mu(w+N)&=\frac{(w)_N}{(w+1-a)_N}t^{-N}\left(\mu(w)-(1-t)^{1-a}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(w+1-a)_n}{(w)_{n+1}}t^n\right)\\ \mu(w-N)&=\frac{(a-w)_N}{(1-w)_N}t^N\left(\mu(w)-\frac{(1-t)^{1-a}}t\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(1-w)_n}{(a-w)_{n+1}t^n}\right) \end{align}
つまり, 以下を得る.

上の系3において$t=1$の場合はGaussの超幾何定理から$\mu(w)$がガンマ関数で表される.