Whippleの部分和公式のq類似
Whippleによる${}_2F_1$の部分和の公式
は
\begin{align}
\sum_{0\leq k}\frac{(a,b)_k}{k!(c)_k}\frac 1{n+k}&=\frac{n!(1-c)_n}{n(1-a,1-b)_n}\left(1-\frac{\Gamma(c-1)\Gamma(1+c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(1-a,1-b)_k}{k!(2-c)_k}\right)
\end{align}
とモーメントの形で表すことができる.
前の記事
で, 以下の結果を示した.
\begin{align}
\mu(w):=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq}{ab}\right)^n\frac{1}{1-wq^n}
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
\mu(wq^N)&=\frac{(wq/c,w;q)_N}{(wq/a,wq/b;q)_N}\left(\mu(w)+\frac{wq}{c}\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(wq/a,wq/b;q)_n}{(wq/c,w;q)_{n+1}}q^n\right)
\end{align}
が成り立つ.
今回はこの特別な場合として先ほどのWhippleの公式の$q$類似を示す. まず, 定理1において$w=q$として
\begin{align}
\mu(q^{N+1})&=\frac{(q^2/c,q;q)_N}{(q^2/a,q^2/b;q)_N}\left(\mu(q)+\frac{q^2}{c}\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(q^2/a,q^2/b;q)_n}{(q^2/c,q;q)_{n+1}}q^n\right)
\end{align}
を得る. ここで,
\begin{align}
\mu(q)&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c;q)_n(q;q)_{n+1}}\left(\frac{cq}{ab}\right)^n\\
&=\frac{(1-c/q)ab}{(1-a/q)(1-b/q)cq}\sum_{0\leq n}\frac{(a/q,b/q;q)_{n+1}}{(c/q,q;q)_{n+1}}\left(\frac{cq}{ab}\right)^{n+1}\\
&=\frac{(1-c/q)ab}{(1-a/q)(1-b/q)cq}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(a/q,b/q;q)_{n}}{(c/q,q;q)_{n}}\left(\frac{cq}{ab}\right)^{n}-1\right)
\end{align}
ここで, Heineの和公式より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a/q,b/q;q)_{n}}{(c/q,q;q)_{n}}\left(\frac{cq}{ab}\right)^{n}&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c/q,cq/ab;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, これを代入して
\begin{align}
\mu(q)&=\frac{(1-c/q)ab}{(1-a/q)(1-b/q)cq}\left(\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c/q,cq/ab;q)_{\infty}}-1\right)
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
\mu(q^{N+1})&=\frac{(q^2/c,q;q)_N}{(q^2/a,q^2/b;q)_N}\left(\frac{(1-c/q)ab}{(1-a/q)(1-b/q)cq}\left(\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c/q,cq/ab;q)_{\infty}}-1\right)+\frac{q^2}{c}\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(q^2/a,q^2/b;q)_n}{(q^2/c,q;q)_{n+1}}q^n\right)\\
&=\frac{(q^2/c,q;q)_N}{(q^2/a,q^2/b;q)_N}\left(-\frac{(1-c/q)ab}{(1-a/q)(1-b/q)cq}+\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\left(\frac{ab}{(1-a/q)(1-b/q)cq}+\frac{q^2}{c}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(q^2/a,q^2/b;q)_n}{(q^2/c,q;q)_{n+1}}q^n\right)\right)\\
&=\frac{(q^2/c,q;q)_N}{(q^2/a,q^2/b;q)_N}\left(\frac{1-q/c}{(1-q/a)(1-q/b)}+\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,cq/ab;q)_{\infty}}\frac{q}{\left(1-q/a\right)\left(1-q/b\right)c}\sum_{n=0}^{N}\frac{(q/a,q/b;q)_n}{(q^2/c,q;q)_{n}}q^n\right)\\
&=\frac{(q/c;q)_{N+1}(q;q)_N}{(q/a,q/b;q)_{N+1}}\left(1-\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c/q,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N}\frac{(q/a,q/b;q)_n}{(q^2/c,q;q)_{n}}q^n\right)
\end{align}
よって以下を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}\left(\frac{cq}{ab}\right)^n\frac 1{1-q^{N+n}}&=\frac{(q;q)_{N-1}(q/c;q)_{N}}{(q/a,q/b;q)_{N}}\left(1-\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c/q,cq/ab;q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(q/a,q/b;q)_n}{(q^2/c,q;q)_{n}}q^n\right) \end{align}
このように, $q$類似においてもWhippleの部分和公式は係数が綺麗に$q$-Pochhammer記号で表されているのが興味深いと思う.
