2F1のx=0,1における接続公式のq類似
${}_2F_1$には以下のような接続公式が知られている.
\begin{align}
\F21{a,b}cx&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\F21{a,b}{1+a+b-c}{1-x}\\
&\qquad+\frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}(1-x)^{c-a-b}\F21{c-a,c-b}{1+c-a-b}{1-x}
\end{align}
今回はこの等式の$q$類似である以下の等式を示す.
\begin{align}
\Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}\Q32{a,b,abx/c}{abq/c,0}{q}\\
&\qquad+\frac{(a,b,abx/c;q)_{\infty}}{(c,ab/c,x;q)_{\infty}}\Q32{c/a,c/b,x}{cq/ab,0}{q}
\end{align}
上の$q$類似において$(1-x)^n$の部分がそれぞれ$(abx/c;q)_n, (x;q)_n$に変わっているというのが面白いところである. このような接続公式に関して, 長らく気になっていたのであるが, 最近ようやく上の公式の証明を知ったのでそれについてまとめようと思う. 証明に用いるのは以下の${}_3\phi_2$の三項変換公式であり, それはnon-terminating Watsonの変換公式から導出できる.
\begin{align} \Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}&=\frac{(e/b,e/c;q)_{\infty}}{(e,e/bc;q)_{\infty}}\Q32{d/a,b,c}{d,bcq/e}{q}\\ &\qquad+\frac{(d/a,b,c,de/bc;q)_{\infty}}{(d,e,bc/e,de/abc;q)_{\infty}}\Q32{e/b,e/c,de/abc}{de/bc,eq/bc}q \end{align}
Non-terminating Watsonの変換公式
\begin{align}
&\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\Q43{aq/bc,d,e,f}{aq/b,aq/c,def/a}{q}\\
&\qquad+\frac{(aq,aq/bc,d,e,f,a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,a^2q^2/bcdef,def/aq;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,aq/df,aq/ef,a^2q^2/bcdef}{a^2q^2/bdef,a^2q^2/cdef,aq^2/def}{q}
\end{align}
において, $b\mapsto aq/b, f\mapsto aq/f$とすると,
\begin{align}
&\Q87{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,aq/b,c,d,e,aq/f}{\sqrt a,-\sqrt a,b,aq/c,aq/d,aq/e,f}{\frac{bf}{cde}}\\
&=\frac{(aq,aq/de,f/d,f/e;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,f,f/de;q)_{\infty}}\Q43{b/c,d,e,aq/f}{b,aq/c,deq/f}{q}\\
&\qquad+\frac{(aq,b/c,d,e,aq/f,bf/de,afq/cde;q)_{\infty}}{(b,aq/c,aq/d,aq/e,f,bf/cde,de/f;q)_{\infty}}\Q43{aq/de,f/d,f/e,bf/cde}{bf/de,afq/cde,fq/de}{q}
\end{align}
となる. ここで, $a=0$とすると
\begin{align}
&\Q32{c,d,e}{b,f}{\frac{bf}{cde}}\\
&=\frac{(f/d,f/e;q)_{\infty}}{(f,f/de;q)_{\infty}}\Q32{b/c,d,e}{b,deq/f}{q}\\
&\qquad+\frac{(b/c,d,e,bf/de;q)_{\infty}}{(b,f,bf/cde,de/f;q)_{\infty}}\Q32{f/d,f/e,bf/cde}{bf/de,fq/de}{q}
\end{align}
を得る. よって文字を置き換えて定理を得る.
この特別な場合として, ${}_2F_1$の接続公式の$q$類似を得ることができる.
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}\Q32{a,b,abx/c}{abq/c,0}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,b,abx/c;q)_{\infty}}{(c,ab/c,x;q)_{\infty}}\Q32{c/a,c/b,x}{cq/ab,0}{q} \end{align}
この表示は, Jacksonによるものである.
定理1において$a\mapsto d/a$とすると,
\begin{align}
\Q32{d/a,b,c}{d,e}{\frac{ae}{bc}}&=\frac{(e/b,e/c;q)_{\infty}}{(e,e/bc;q)_{\infty}}\Q32{a,b,c}{d,bcq/e}{q}\\
&\qquad+\frac{(a,b,c,de/bc;q)_{\infty}}{(d,e,bc/e,ae/bc;q)_{\infty}}\Q32{e/b,e/c,ae/bc}{de/bc,eq/bc}q
\end{align}
となる. ここで, $d=0$とすると
\begin{align}
\Q21{b,c}{e}{\frac{ae}{bc}}&=\frac{(e/b,e/c;q)_{\infty}}{(e,e/bc;q)_{\infty}}\Q32{a,b,c}{bcq/e,0}{q}\\
&\qquad+\frac{(a,b,c;q)_{\infty}}{(e,bc/e,ae/bc;q)_{\infty}}\Q32{e/b,e/c,ae/bc}{eq/bc,0}q
\end{align}
を得る. $a=bcx/e$とすると
\begin{align}
\Q21{b,c}{e}{x}&=\frac{(e/b,e/c;q)_{\infty}}{(e,e/bc;q)_{\infty}}\Q32{b,c,bcx/e}{bcq/e,0}{q}\\
&\qquad+\frac{(b,c,bcx/e;q)_{\infty}}{(e,bc/e,x;q)_{\infty}}\Q32{e/b,e/c,x}{eq/bc,0}q
\end{align}
となるので変数を入れ替えて示すべき等式を得る.
上の結果は$x=0$における基本解を$x=1$における基本解で表す接続公式の$q$類似であるが, 逆に$x=1$における基本解を$x=0$における基本解で表す接続公式の$q$類似も得ることができるのかどうかは気になるところである.
系1において, 特に$b=q^{-N}$とすると以下を得る.
$N$を非負整数とするとき,
\begin{align}
\Q21{a,q^{-N}}{c}{x}&=\frac{(c/a;q)_N}{(c;q)_N}\Q32{a,q^{-N},axq^{-N}/c}{aq^{1-N}/c,0}{q}
\end{align}
が成り立つ.
