B1でもわかるKostant's convexity theoremについて Part.1

固有値の定義よりある固有値$\lambda$に対して固有ベクトル$\boldsymbol{x}$が存在して,$H\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$を満たすので,
$\boldsymbol{x}^{*}H\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}^{*}\boldsymbol{x}$
この式の共役転置を取ると,
$\boldsymbol{x}^{*}H^{*}\boldsymbol{x}=\bar{\lambda}\boldsymbol{x}^{*}\boldsymbol{x}$
よって$\boldsymbol{x}^{*}H\boldsymbol{x}=\bar{\lambda}\boldsymbol{x}^{*}\boldsymbol{x}$
$\boldsymbol{x}^{*}H\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}^{*}\boldsymbol{x}$と比較すると$\lambda=\bar{\lambda}$
よって固有値$\lambda$は実数.

行列のサイズ$n$に関する数学的帰納法で示す. $n=1$のときは任意の行列は既に対角行列なので$U=E$とすれば良い. $n=k-1$のとき成立を仮定する。$H$の固有値の一つを$\lambda_1$とし, $\lambda_1$に属する単位固有ベクトルを$\boldsymbol{x}_1$として, それで生成される$\mathbb{C}^n$の部分空間を$W$として, その直交補空間を$W^\perp$ としてその正規直交基底を$\boldsymbol{x}_2',\cdots,\boldsymbol{x}_{n-1}'$, $U=[\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2',\cdots,\boldsymbol{x}_{n-1}']$と定める(グラムシュミットの直交化法で存在が示せる)とユニタリ行列になりこの行列で基底を変換すると$U^{-1}HU=\begin{pmatrix}\lambda_1&*\\\boldsymbol{0} & H'\\\end{pmatrix}$
この式の共役転置を取るとエルミート行列とユニタリ行列の性質より$U^{-1}HU=\begin{pmatrix}\lambda_1&{}^t\boldsymbol{0}\\ * & H'^*\\\end{pmatrix}$
なので$H'$はエルミート行列となり, 結局
$U^{-1}HU=\begin{pmatrix}\lambda_1&{}^t\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0} & H'\\\end{pmatrix}$
であり仮定より$H'=U'\Lambda U'^{-1}$($\Lambda$は対角行列)なるユニタリ行列$U'$が存在するので$U''=\begin{pmatrix}1&{}^t\boldsymbol{0}\\ \boldsymbol{0} & U'\\\end{pmatrix}U$とすれば$H$を$U''$で対角化できる. よって題意は示された.

$a_i,(T\boldsymbol{a})_i$で$i$番目に大きい成分を表す.
$S_m=\displaystyle\sum_{i=1}^ma_i-\displaystyle\sum_{i=1}^m(T\boldsymbol{a})_i$とおいて$(T\boldsymbol{a})_i=a_{i+1}\geq\cdots\geq a_k\geq ta_i+(1-t)a_j\geq\cdots$ $\geq (1-t)a_i+ta_j\geq a_l\geq\cdots \geq a_{j-1}=(T\boldsymbol{a})_j$
として計算すると, $S_m=\begin{cases}a_i-a_{m+1}　　　　(i\leq m\leq k-1)\\(1-t)(a_i-a_j)　(k\leq m\leq l)\\a_{m-1}-a_j　　　　(l+1\leq m\leq j)\\0　　　　　　　\quad\;\;(otherwise)\end{cases}$
よって題意は示された.

$a_i,b_i$で$i$番目に大きい$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$の成分を表す.

• (i)⇒(ii)
  $n=2$の時は一回のT-変換で表すことができるので, 帰納法で一般の$n$に拡張する. $n-1$次元で成り立つと仮定する. $\boldsymbol{a}\prec\boldsymbol{b}$なので$b_n\leq a_1\leq b_1$であるから, $b_k\leq a_1\leq b_{k+1}$なる$k$を選べ, $a_1=tb_1+(1-t)b_k$なる$0\leq t\leq 1$が選べる. この$t$を用いてT-変換$T_1$を$z\in\mathbb{R}^n$に対して,
  $T_1z=(tz_1+(1-t)z_k,z_2,\cdots,z_{k-1},(1-t)z_1+tz_k,\cdots,z_n)$
  と定め,
  $\boldsymbol{a}'=(a_2,\cdots,a_n)$, $\boldsymbol{b}'=(b_2,\cdots,b_{k-1},(1-t)b_1+tb_k,\cdots,b_n)$とすると$\boldsymbol{a}'\prec\boldsymbol{b}'$. 実際, $2\leq m\leq k-1$で,
  $\displaystyle\sum_{j=2}^ma_j\leq\displaystyle\sum_{j=2}^mb_j$
  $k\leq m\leq n$で,
  $\displaystyle\sum_{j=2}^mb_j'=\displaystyle\sum_{j=1}^mb_j-tb_1+(t-1)b_k=\displaystyle\sum_{j=1}^mb_j-a_1$ $\geq\displaystyle\sum_{j=1}^ma_j-a_1=\sum_{j=2}^ma_j$
  これは$\boldsymbol{a}\prec\boldsymbol{b}$より$m=n$の時に等号が成立するので$\boldsymbol{a}'\prec\boldsymbol{b}'$. よって帰納法の仮定からT-変換$T_2,\cdots,T_r$を用いて$\boldsymbol{a}'=T_r\cdots T_2\boldsymbol{b}'$と書けて,
  $T_r\cdots T_2T_1\boldsymbol{b}=T_r\cdots T_2(a_1,\boldsymbol{b}')=\boldsymbol{a}$となり$n$次元で成立する. よって題意は示された.
• (ii)⇒(iii)
  有限回のT-変換は置換行列の凸結合, すなわち和が$1$となるような係数がかかった線形結合で表されるので成立.
• (iii)⇒(iv)
  置換行列の凸結合は成分を計算すると二重確率行列になるので成立.
• (iv)⇒(i)
  二重確率行列の$(i,j)$-成分を$d_{ij}$とする.
  $\displaystyle\sum_{j=1}^kb_j=\displaystyle\sum_{j=1}^k\sum_{i=1}^nd_{ij}a_i$なので, もし$t_i=\displaystyle\sum_{j=1}^kd_{ij}$とおけば$k-\displaystyle\sum_{i=1}^nt_i=0$であり,
  $\displaystyle\sum_{j=1}^kb_j-\displaystyle\sum_{j=1}^ka_j=\sum_{i=1}^nt_ia_i-\sum_{i=1}^ka_i$
  $=\displaystyle\sum_{i=1}^nt_ia_i-\displaystyle\sum_{i=1}^ka_i+\left(k-\sum_{i=1}^nt_i\right)a_k$
  $=\displaystyle\sum_{i=1}^k(t_i-1)(a_i-a_k)+\displaystyle\sum_{i=k+1}^nt_i(a_i-a_k)\leq 0$
  $k=n$の時に$t_i=1$なので等号が成立するため, $\boldsymbol{a}\prec\boldsymbol{b}$.

$UU^{*}=1$の$(i,i)$-成分を比較すると$\displaystyle\sum_ju_{ij}u_{ji}^*=\sum_ju_{ij}\overline{u_{ij}}=1$すなわち$\sum_j|u_{ij}|^2=1$. ユニタリ行列は転置を取ってもユニタリ行列なので, 題意は示された.

• (i)⇒(ii)
  命題2より, エルミート行列$H$はユニタリ行列$U$で対角化でき, 多角化後の行列を$\Lambda$と書くと, $H=U\Lambda U^{-1}=U\Lambda U^*$とできるため, 行列$H,U,U^*,U\Lambda$の$(i,j)$-成分をそれぞれ$h_{ij}, u_{ij},u_{ij}^*,(U\Lambda)_{ij}$と書くと, $h_{ii}=\displaystyle\sum_{j=1}^n (U\Lambda)_{ij}u^*_{ji}=\displaystyle\sum_{j=1}^n (U\Lambda)_{ij}\overline{u_{ij}}=$
  $\displaystyle\sum_{j=1}^n u_{ij}\lambda_{j}\overline{u_{ij}}=\displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda_{j}|u_{ij}|^2$
  すなわち, $|u_{ij}|^2$を成分とする二重確率行列$D$が存在して, $\boldsymbol{d}=D\boldsymbol{\lambda}$となるから, 定理4より$\boldsymbol{d}\prec\boldsymbol{\lambda}$.
• (ii)⇒(i)
  行列$A$(成分$a_{ij}$, 対角成分$\boldsymbol{d}_A$)に対して$\xi(A)\in\mathbb{C}$を$\overline{\xi(A) a_{jk}}=-\xi(A) a_{jk}$を満たすものとして,
  $U(A)=\begin{pmatrix}1&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad\\ \quad&\ddots&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad\\ \quad&\quad&\xi\sqrt{t}&\quad&-\sqrt{1-t}&\quad&\quad\\ \quad&\quad&\quad&\ddots&\quad&\quad&\quad\\ \quad&\quad&\sqrt{t}&\quad&-\xi\sqrt{1-t}&\quad&\quad\\ \quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\ddots&\quad\\ \quad&\quad&\quad&\quad&\quad&\quad&1\\ \end{pmatrix}$
  (文字が入っている行, 列は$j,k$行, 列目であり, 他の対角成分は1)とすると, これはユニタリ行列であり, $(U(A))^{-1}AU(A)$の対角成分$\boldsymbol{d}'_A$は($j,k$番目の成分に対する)T-変換$T$が存在して $T\boldsymbol{d}_A$と書ける. $\boldsymbol{d}\prec\boldsymbol{\lambda}$のとき$\boldsymbol{d}$は$\boldsymbol{\lambda}$の有限回のT-変換で書けるので, $\boldsymbol{\lambda}$を対角成分として持つ対角行列を$\Lambda$とし, $U_{i}=U(U_{i-1}^{-1}\cdots U_1^{-1}\Lambda U_1\cdots U_{i-1})$と定義すると$H=U_n^{-1}\cdots U_1^{-1}\Lambda U_1\cdots U_n$で$\boldsymbol{d}$を対角成分に持つようなエルミート行列$H$となる. ここでユニタリ行列の積はユニタリ行列であることを使った.

$\emptyset\in\mathcal{O}$は明らかで$X\in\mathcal{O}$は定義7(i)より成立するので, 他の二つを示す.

• どのような$O_1,O_2\in\mathcal{O}$に対しても$O_1\cap O_2\in\mathcal{O}$
  $O_1,O_2\in\mathcal{O}$を取ってきたとき, $O_1\cap O_2$が空集合になった場合は成立するし, それ以外の時は$O_1\cap O_2$に含まれる$x$をとると$B_{\varepsilon_1}(x),B_{\varepsilon_2}(x)$が$O_1,O_2$に含まれるような$\varepsilon_1,\varepsilon_2$が存在するので$\varepsilon:=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}$とすれば$O_1\cap O_2\in\mathcal{O}$

• $\Lambda$で添字付けられた集合族$(O_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$に対して$\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$が$\mathcal{O}$に含まれる
  $x\in\displaystyle\bigcup_{\lambda\in\Lambda}O_\lambda$をとると, ある$\mu\in\Lambda$に対して$x\in O_\mu$であるため, $B_\varepsilon(x)$が$O_\mu$に含まれるような$\varepsilon$が存在する.

任意の$y\in B_\varepsilon(x)$に対して, $d(x,y)<\varepsilon$となるので, $\varepsilon'=\varepsilon-d(x,y)$とおくと$\varepsilon'>0$となる.
任意の$z\in B_{\varepsilon'}(y)$を取ると, 三角不等式より
$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)< d(x,y)+\varepsilon'=\varepsilon-d(x,y)+d(x,y)=\varepsilon$
なので$z\in B_\varepsilon(x)$
すなわち$B_{\varepsilon'}(y)\subset B_\varepsilon(x)$. よって命題8の開集合系の条件を満たしているので, $B_\varepsilon(x)\in \mathcal{O}_X$.

• 第二可算性
  中心が, 座標がすべて有理数の点(有理点)で半径が有理数の開球の集合を$\mathcal{Q}$とする. 任意の$O\in\mathcal{O}$を取って, $O=\displaystyle\bigcup_{x\in O}Q_x$となるような$Q_x\in\mathcal{Q}$を取ることができればよい.
  $x\in O$に対して, 開集合の定義から$B_{\varepsilon(x)}(x)\subset O$となる$\varepsilon(x)>0$を取ることができ, $\varepsilon'(x)$を$ \dfrac{\varepsilon(x)}{2}$とすると, 有理数の稠密性から$B_{\varepsilon'(x)}(x)$の中の有理点$q_x$を取れ, $d(x,q_x)<\varepsilon'(x)=\dfrac{\varepsilon(x)}{2}$ なので$\dfrac{\varepsilon(x)}{2}=\varepsilon(x)-\varepsilon'(x)>r_x>d(x,q_x)$となるような有理数$r_x$が取れることより, $x\in B_{r_x}(q_x)$. $Q_x=B_{r_x}(q_x)$とすると, $O\subset\displaystyle\bigcup_{x\in O}Q_x$であり, また, $Q_x$の任意の元$y$に対して,
  $d(y,x)\leq d(y,q_x)+d(x,q_x)< r_x+\dfrac{\varepsilon(x)}{2}<\dfrac{\varepsilon(x)}{2}+\dfrac{\varepsilon(x)}{2}=\varepsilon(x)$
  から$y\in B_{\varepsilon(x)}(x)\subset O$. よって$O\supset\displaystyle\bigcup_{x\in O}Q_x$. $Q_x\in\mathcal{Q}$なのでユークリッド空間は第二可算.
• ハウスドルフ性
  ユークリッド空間上の二点$x,y$を取ったとき, $\varepsilon=\dfrac{d(x,y)}{2}$とする. この時, $B_\varepsilon(x)\cap B_\varepsilon(y)=\emptyset$である. 実際, $z\in B_\varepsilon(x)\cap B_\varepsilon(y)$なる$z$があるとすると, $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<2\varepsilon=d(x,y)$より矛盾.

• (i)⇒(ii)
  任意の$x\in X, \varepsilon>0$を取ると, 命題9より$B_\varepsilon(f(x))\in \mathcal{O}_Y$なので, (i)の仮定から$f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))\in \mathcal{O}_X$とできて, $f^{-1}(f(x))\subset\{x\}$と$ \{f(x)\}\subset B_\varepsilon(f(x))$から$x\in f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))$であり, 距離空間の開集合系の定義からある$\delta>0$に対して$B_\delta(x)\subset f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))$.
  すなわちすべての$y\in X$に対して$d_X(x,y)<\delta$ならば$y\in f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))\Leftrightarrow f(y)\in B_\varepsilon(f(x))$なので$d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon$.
• (ii)⇒(i)
  任意の$V\in\mathcal{O}_Y$を取るとすべての$x\in f^{-1}(V)$に対して$f(x)\in V\in\mathcal{O}_Y$で, 距離空間の開集合系の定義からある$\varepsilon>0$に対して$B_\varepsilon(f(x))\subset V$, 仮定より「すべての$y\in X$に対して$d_X(x,y)<\delta$ならば$d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon$」となるような$\delta$が取れる, すなわち「すべての$f(y)\in f(B_\delta(x))$に対して$d_Y(f(x),f(y))<\varepsilon$」$\Leftrightarrow f(B_\delta(x))\subset B_\varepsilon(f(x))$
  よって任意の$z\in B_\delta(x)$を取ると$f(z)\in f(B_\delta(x))\subset B_\varepsilon(f(x))\Leftrightarrow z\in f^{-1}(B_\varepsilon(f(x)))\subset f^{-1}(V)$よって$B_\delta(x)\subset f^{-1}(V)$となって開集合の定義に当てはまるので$f^{-1}(V)\in\mathcal{O}_X$.

$f_U\circ f_V^{-1}$は恒等写像なので, $x$の成分を$x_i$とすると任意の$i,j$に対して$\dfrac{\partial}{\partial x_i}(f_U\circ f_V^{-1})={}^t(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)$, $\dfrac{\partial}{\partial x_j}{}^t(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)=\boldsymbol{0}$, $\boldsymbol{0}$はどの変数でどれだけ偏微分しても$\boldsymbol{0}$なので$C^\infty$級,　$f_U\circ f_V^{-1}:U\cap V\longrightarrow U\cap V$は全単射であり, 逆写像も同様に$C^\infty$級, 開集合の逆像は恒等写像なので開集合に移り連続であるため, 微分同相.

$M$上の任意の点$p$に対して$p$を含むチャートとして$(U,\varphi)$を取ると,
$\varphi$は平行移動することによって$\varphi(p)=0$となるようにできる.
任意の接ベクトル$v$に対して$v=\displaystyle\sum_iv_i\left. \dfrac{\partial}{\partial x_i}\right|_{p}$($v_i\in\mathbb{R}$)とおいて$\gamma(t)=\varphi^{-1}((tv_1,\cdots,tv_n))$(ただし定義域は十分小さい正の実数$\varepsilon$に対し, $t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$)とおき, $\boldsymbol{v}$を$\boldsymbol{v}(t)=(tv_1,\cdots,tv_n)$で定義される写像とすると
$\dfrac{d\gamma}{dt}(0)(f)=\left. \dfrac{d(f\circ\gamma)}{dt}\right|_{t=0}$
$=\left.\dfrac{d(f\circ\varphi^{-1}\circ \boldsymbol{v})}{dt}\right|_{t=0}$
$=\dfrac{d\boldsymbol{v}}{dt}\left.\dfrac{d(f\circ\varphi^{-1})}{d\boldsymbol{v}}\right|_{\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}}$
$=(v_1,\cdots,v_n)\left.\dfrac{d(f\circ\varphi^{-1})}{d\boldsymbol{v}}\right|_{\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}}$
$=(v_1,\cdots,v_n)\,\left.{}^t\left(\dfrac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x_1'},\cdots,\dfrac{\partial(f\circ\varphi^{-1})}{\partial x_n'}\right)\right|_{\varphi(p)}$
$=(v_1,\cdots,v_n)\,\left.{}^t\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\cdots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}\right)\right|_{p}$
$=\displaystyle\sum_iv_i\left. \dfrac{\partial}{\partial x_i}\right|_{p}(f)$
$=v(f)$
より示された.
(ここで, $f\circ\varphi^{-1}$と$\varphi$の定義域と終域がユークリッド空間の部分集合であることを用いてchain ruleを適用している)