分離代数の圏からGalois群が連続に作用する有限集合のなす圏に忠実充満関手があることに関するメモ

$k$を体とし, $k_s$をその分離閉包, $\bar{k}$を代数閉包とする.

同値な条件が満たされるとき$A$を$k$上の分離代数という.

$A$を$k$代数とし, $X_A=\operatorname{Hom}_k(A,k_s)$を$k$代数準同型のなす集合とする.
$A':=\{f:X_A \to k_s \}$を$X_A$から$k_s$への写像全体のなす$k_s$代数とする.

$a\in A$に対し, $f_a:X_A \to k_s$を$f_a(x)=x(a)$ ($x \in X_A$)で定めると, 対応$a \mapsto f_a$は$k$代数の準同型$A \to A'$となる. したがって, $k_s$代数の準同型
$$ F :A\otimes_k k_s \to A' : a\otimes \lambda \mapsto f_a \lambda$$
が誘導される. ここで, $(f_a\lambda)(x)=f_a(x)\lambda=x(a)\lambda$である.

さらに$A$は$k$上の分離代数であると仮定する. このとき, $k_s$代数の同型
$\phi: A\otimes k_s \to k_s \times \cdots \times k_s : a\otimes \lambda \mapsto (\phi_1(a)\lambda,\dots, \phi_n(a)\lambda)$
が存在する. ここで$n=\dim_k A$とおいた.
このとき, $X_A=\{ \phi_1,\dots, \phi_n \}$であるので, $k_s$代数の同型
$$A' \to k_s\times \cdots \times k_s; f \mapsto (f(\phi_1),\dots, f(\phi_n))$$
が存在する. これらの同型の下, $F$は
$$k_s\times \cdots \times k_s \to k_s\times \cdots \times k_s$$
とみなすことができ, $(\phi_1(a)\lambda,\dots, \phi_n(a)\lambda)$を$((f_a\lambda)(\phi_1),\dots, (f_a\lambda)(\phi_n))=(\phi_1(a)\lambda,\dots,\phi_n(a)\lambda)$に送る.
$a\otimes\lambda \in A\otimes k_s$の形の元は$A\otimes_k k_s$を生成するので, $F$は$k_s$代数の同型写像であることが示された.

$\sigma \in G_k=\operatorname{Gal}(k_s/k)$の作用を, $\sigma(a\otimes\lambda)=a\otimes \sigma(\lambda)$とし, さらに, $f\in A'$に対して$(\sigma f)(x)=\sigma(f(\sigma^{-1}x))$で定めると, $F$は$G_k$の作用と可換である.
$(A\otimes k_s)^{G_k}=A$であるから, $F$は$k$代数の同型$A\to (A')^{G_k}$を誘導する.

$h:A\to B$を(分離)$k$代数の準同型とする. このとき, 合成によって導かれる$X_B \to X_A; y \mapsto y\circ h$は$G_k$同変な写像である.

逆に, $A,B$を分離$k$代数とし, 任意の$G_k$同変写像$H:X_B \to X_A$が与えられたとする. このとき, $G_k$同変な$k_s$代数の準同型$A' \to B'; f\mapsto f\circ H$が合成によって誘導されるので, $G_k$不変部分をとり上の同型に注意することで$k$代数の準同型$A \cong (A')^{G_k} \to (B')^{G_k} \cong B$を得る. これを具体的に記述すると, $a\in A$に対して$f_a \in (A')^{G_k}$が上の同型$F$で対応し, その像は$f_a\circ H \in (B')^{G_k}$である. これは$y \mapsto f_a(H(y))=H(y)(a)$で定まる写像である.
$A,B$が分離$k$代数のとき, これらの対応が互いに逆な全単射
$$\operatorname{Hom}_{k-alg}(A,B)\to \operatorname{Hom}_{G_k}(X_B, X_A)$$
を定めることを確かめよう.

$h:A\to B$に対し, $X_B \to X_A; y \mapsto y\circ h$が対応し, それに対応する$A\to (B')^{G_k} \cong B$は次のように記述される. $a \in A$に対し, $(y\mapsto (y\circ h)(a)=y(h(a))=f_{h(a)}(y))\in B'$が対応し, この元は同型$B' \cong B\otimes k_s$により$h(a)\otimes 1 \in B\otimes k_s$に対応することから, $A\to B$は初めの$h$に一致する.
逆に, $H:X_B \to X_A$に対し, $h:A \cong (A')^{G_k} \to (B')^{G_k} \cong B$が対応するとする. $a \in A$に対し, $h(a)\in B$に対応する元が$y \mapsto f_a(H(y))=H(y)(a)$であった. すなわち, $y(h(a))=H(y)(a), y\in X_B$が成り立つ. $h: A \to B$は$X_B \to X_A$を誘導し, それは$y \mapsto y\circ h$で定まる. 上の等式より$y\circ h=H(y)$が成り立つので, これは$H:X_B \to X_A$に一致する. これで示された.
まとめると,