圏論6：加法圏
今回は，additive categoryとadditive functorについてまとめる．
以下，$\mathcal{C}$を圏とする．
$\mathcal{C}$がpreadditive categoryであるとは，任意の対象$X,Y\in\mathcal{C}$に対して${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)$がAbel群であり，射の合成が双加法的であることをいう．
すなわち，射$f_1,f_2:X\to Y$，$g_1,g_2:Y\to Z$について
\begin{equation*}
(g_1+g_2)\circ f=g_1\circ f+g_2\circ f,\qquad
g\circ(f_1+f_2)=g\circ f_1+g\circ f_2
\end{equation*}
が成り立つ．
preadditive categoryでは，各${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)$にAbel群の零元がある．これを$0_{X,Y}:X\to Y$と書く．
この段階では，$0_{X,Y}$はHom群の零元として定義される．第5回のようにzero objectを通って定義したzero morphismとは，まだ別の定義である．ただし，次の命題により，zero objectが存在すれば二つの定義は一致する．
preadditive categoryにzero object $0$が存在するとき，Hom群の零元$0_{X,Y}:X\to Y$は，合成$X\to0\to Y$で得られるzero morphismに一致する．
zero objectへの射$X\to0$は一意である．したがって${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,0)$は一元集合であり，Abel群としては零群である．よって唯一の射$X\to0$はHom群の零元である．同様に，唯一の射$0\to Y$もHom群の零元である．
合成は双加法的なので，零元との合成は零元である．したがって$X\to0\to Y$は${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)$の零元に一致する．
preadditive categoryでは，任意の射$f:X\to Y$と$g:Y\to Z$について
\begin{equation*}
f\circ0_{W,X}=0_{W,Y},\qquad
0_{Y,Z}\circ f=0_{X,Z},\qquad
g\circ(-f)=-(g\circ f)
\end{equation*}
が成り立つ．
合成が各変数について群準同型であることから従う．例えば，$f\circ0_{W,X}=f\circ(0+0)=f\circ0+f\circ0$であるから，両辺から$f\circ0$を引いて$f\circ0=0$を得る．他も同様である．
preadditive category $\mathcal{C}$において，対象$A,B$のbiproductとは，対象$A\oplus B$と射
\begin{equation*}
i_A:A\to A\oplus B,\quad i_B:B\to A\oplus B,\quad
p_A:A\oplus B\to A,\quad p_B:A\oplus B\to B
\end{equation*}
であって，次を満たすものをいう．
\begin{equation*}
p_A\circ i_A={\rm id}_A,\quad
p_B\circ i_B={\rm id}_B,\quad
p_A\circ i_B=0,\quad
p_B\circ i_A=0
\end{equation*}
かつ
\begin{equation*}
i_A\circ p_A+i_B\circ p_B={\rm id}_{A\oplus B}
\end{equation*}
である．
図式で書くと，biproductの基本データは次の形である．
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar@<.5ex>[r]^-{i_A} &
A\oplus B \ar@<.5ex>[l]^-{p_A} \ar@<.5ex>[r]^-{p_B} &
B \ar@<.5ex>[l]^-{i_B}
}
\end{equation*}
射$i_A,i_B$は中へ入れる射，射$p_A,p_B$は外へ取り出す射である．
biproduct $A\oplus B$は，$A$と$B$のproductであり，かつcoproductである．
まずproductであることを示す．任意の対象$T$と射$f:T\to A$，$g:T\to B$が与えられたとする．
\begin{equation*}
u=i_A\circ f+i_B\circ g:T\to A\oplus B
\end{equation*}
とおくと，biproductの関係式より
\begin{equation*}
p_A\circ u=f,\qquad p_B\circ u=g
\end{equation*}
である．
図式で書けば，次のconeが一意に$A\oplus B$を経由するということである．
\begin{equation*}
\xymatrix{
& T \ar@{-->}[d]^-{u} \ar[ddl]_-{f} \ar[ddr]^-{g} &\\
& A\oplus B \ar[dl]^-{p_A} \ar[dr]_-{p_B} &\\
A && B
}
\end{equation*}
一意性を示す．$v:T\to A\oplus B$が$p_A\circ v=f$かつ$p_B\circ v=g$を満たすなら，
\begin{equation*}
v={\rm id}_{A\oplus B}\circ v
=(i_A\circ p_A+i_B\circ p_B)\circ v
=i_A\circ f+i_B\circ g=u
\end{equation*}
である．よって$A\oplus B$はproductである．
coproductであることも同様に示せる．任意の射$f:A\to T$，$g:B\to T$に対して
\begin{equation*}
u=f\circ p_A+g\circ p_B:A\oplus B\to T
\end{equation*}
とおけば，$u\circ i_A=f$かつ$u\circ i_B=g$である．また，このような$u$は一意である．図式では
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar[dr]^-{i_A} \ar[ddr]_-{f} && B \ar[dl]_-{i_B} \ar[ddl]^-{g}\\
& A\oplus B \ar@{-->}[d]^-{u} &\\
& T &
}
\end{equation*}
である．
preadditive category $\mathcal{C}$がadditive categoryであるとは，$\mathcal{C}$がzero objectをもち，任意の二対象$A,B$についてbiproduct $A\oplus B$をもつことをいう．
additive categoryでは，有限個の対象のbiproductを帰納的に作れる．したがってfinite productとfinite coproductは一致し，どちらもfinite direct sumとして扱える．
また，空のbiproductはzero objectである．
preadditive categoryの対象$Z$について，$Z$がzero objectであることと${\rm id}_Z=0$であることは同値である．
$Z$がzero objectなら，${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(Z,Z)$は一元集合である．したがって${\rm id}_Z=0$である．
逆に${\rm id}_Z=0$とする．任意の射$f:X\to Z$について
\begin{equation*}
f={\rm id}_Z\circ f=0\circ f=0
\end{equation*}
である．よって$X\to Z$の射は高々一つであり，zero morphismがあるのでちょうど一つ存在する．同様に任意の射$g:Z\to X$について$g=g\circ{\rm id}_Z=g\circ0=0$であるから，$Z\to X$の射もちょうど一つ存在する．したがって$Z$はterminal objectかつinitial object，すなわちzero objectである．
additive categoryでは，射$h:A\oplus B\to C\oplus D$は行列の形で扱える．
$A\oplus B$と$C\oplus D$のbiproduct射をそれぞれ$i_A,i_B,p_A,p_B$および$i_C,i_D,p_C,p_D$と書く．射$h:A\oplus B\to C\oplus D$に対して
\begin{equation*}
h_{CA}=p_C\circ h\circ i_A,\quad
h_{CB}=p_C\circ h\circ i_B,\quad
h_{DA}=p_D\circ h\circ i_A,\quad
h_{DB}=p_D\circ h\circ i_B
\end{equation*}
を定める．このとき
\begin{equation*}
h=
i_C\circ h_{CA}\circ p_A+
i_C\circ h_{CB}\circ p_B+
i_D\circ h_{DA}\circ p_A+
i_D\circ h_{DB}\circ p_B
\end{equation*}
である．したがって$h$は形式的に
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
h_{CA} & h_{CB}\\
h_{DA} & h_{DB}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
と書ける．
上の行列表示は，射の和と合成に関して通常のmatrixの和とmatrix productに対応する．
まず和について見る．$h,k:A\oplus B\to C\oplus D$を射とする．$h+k$の$(C,A)$成分は
\begin{equation*}
(h+k)_{CA}
=p_C\circ(h+k)\circ i_A
=p_C\circ h\circ i_A+p_C\circ k\circ i_A
=h_{CA}+k_{CA}
\end{equation*}
である．他の成分も同様である．したがって
\begin{equation*}
h=
\begin{pmatrix}
h_{CA} & h_{CB}\\
h_{DA} & h_{DB}
\end{pmatrix},
\qquad
k=
\begin{pmatrix}
k_{CA} & k_{CB}\\
k_{DA} & k_{DB}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
なら
\begin{equation*}
h+k=
\begin{pmatrix}
h_{CA}+k_{CA} & h_{CB}+k_{CB}\\
h_{DA}+k_{DA} & h_{DB}+k_{DB}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
である．つまり射の和は成分ごとの和である．
次に合成について見る．射$h:A\oplus B\to C\oplus D$と$\ell:C\oplus D\to E\oplus F$を
\begin{equation*}
h=
\begin{pmatrix}
h_{CA} & h_{CB}\\
h_{DA} & h_{DB}
\end{pmatrix},
\qquad
\ell=
\begin{pmatrix}
\ell_{EC} & \ell_{ED}\\
\ell_{FC} & \ell_{FD}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
と書く．$\ell\circ h:A\oplus B\to E\oplus F$の$(E,A)$成分を計算すると，
\begin{equation*}
(\ell\circ h)_{EA}
=p_E\circ \ell\circ h\circ i_A
\end{equation*}
である．一方，前の命題の表示を$h\circ i_A$に適用すると
\begin{equation*}
h\circ i_A=i_C\circ h_{CA}+i_D\circ h_{DA}
\end{equation*}
であるから，合成の双加法性より
\begin{equation*}
(\ell\circ h)_{EA}
=p_E\circ \ell\circ i_C\circ h_{CA}
+p_E\circ \ell\circ i_D\circ h_{DA}
=\ell_{EC}\circ h_{CA}+\ell_{ED}\circ h_{DA}
\end{equation*}
となる．同様に他の成分も計算すると
\begin{equation*}
\ell\circ h=
\begin{pmatrix}
\ell_{EC}\circ h_{CA}+\ell_{ED}\circ h_{DA}
&
\ell_{EC}\circ h_{CB}+\ell_{ED}\circ h_{DB}\\
\ell_{FC}\circ h_{CA}+\ell_{FD}\circ h_{DA}
&
\ell_{FC}\circ h_{CB}+\ell_{FD}\circ h_{DB}
\end{pmatrix}
\end{equation*}
である．これは通常のmatrix productと同じ形である．
${\rm Ab}$や${\rm Mod}_A$はadditive categoryである．Hom集合の加法は準同型の点ごとの和であり，biproductは通常のdirect sumである．
例えば$A$加群では，$M\oplus N$から$M$，$N$への射影と，$M$，$N$から$M\oplus N$への包含がbiproductの関係式を満たす．
$\mathcal{C},\mathcal{D}$をpreadditive categoryとする．関手$F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$がadditive functorであるとは，任意の$X,Y\in\mathcal{C}$について写像
\begin{equation*}
{\rm Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)\to
{\rm Hom}_{\mathcal{D}}(F(X),F(Y)),\qquad
f\mapsto F(f)
\end{equation*}
がAbel群の準同型であることをいう．
つまり，任意の$f,g:X\to Y$について
\begin{equation*}
F(f+g)=F(f)+F(g)
\end{equation*}
が成り立つ．
additive functorはzero morphismと逆元を保つ．すなわち
\begin{equation*}
F(0_{X,Y})=0_{F(X),F(Y)},\qquad
F(-f)=-F(f)
\end{equation*}
である．
preadditive category $\mathcal{C}$に対して，共変Hom関手${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(A,-):\mathcal{C}\to{\rm Ab}$と反変Hom関手${\rm Hom}_{\mathcal{C}}(-,A):\mathcal{C}^{\rm op}\to{\rm Ab}$はadditive functorである．
共変Hom関手について見る．射$f,g:X\to Y$に対して，$u:A\to X$を考えると，
\begin{equation*}
(f+g)\circ u=f\circ u+g\circ u
\end{equation*}
であり，これは合成の双加法性そのものである．よってHom集合上の写像は群準同型である．
反変Hom関手についても同様である．
additive functorの合成はadditive functorである．また恒等関手はadditive functorである．
$F:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$をadditive categoryの間のadditive functorとする．このとき$F$はzero objectをzero objectへ送る．
$0$を$\mathcal{C}$のzero objectとする．上で見たように${\rm id}_0=0$である．したがって
\begin{equation*}
{\rm id}_{F(0)}=F({\rm id}_0)=F(0)=0
\end{equation*}
である．よって${\rm id}_{F(0)}=0$であり，先ほどの特徴づけから$F(0)$は$\mathcal{D}$のzero objectである．
additive functorはbiproductを保つ．
$A\oplus B$を$\mathcal{C}$におけるbiproductとする．biproductの構造射を$i_A,i_B,p_A,p_B$と書く．関手$F$を適用すると
\begin{equation*}
F(i_A):F(A)\to F(A\oplus B),\quad
F(i_B):F(B)\to F(A\oplus B)
\end{equation*}
および
\begin{equation*}
F(p_A):F(A\oplus B)\to F(A),\quad
F(p_B):F(A\oplus B)\to F(B)
\end{equation*}
を得る．
合成と恒等射は任意の関手が保つので，
\begin{equation*}
F(p_A)\circ F(i_A)={\rm id}_{F(A)},\qquad
F(p_B)\circ F(i_B)={\rm id}_{F(B)}
\end{equation*}
である．また，$F$はadditiveなので
\begin{equation*}
F(p_A)\circ F(i_B)=F(p_A\circ i_B)=F(0)=0
\end{equation*}
であり，同様に$F(p_B)\circ F(i_A)=0$である．最後に
\begin{equation*}
F(i_A)\circ F(p_A)+F(i_B)\circ F(p_B)
=F(i_A\circ p_A)+F(i_B\circ p_B)
=F(i_A\circ p_A+i_B\circ p_B)
=F({\rm id}_{A\oplus B})
={\rm id}_{F(A\oplus B)}
\end{equation*}
である．したがって$F(A\oplus B)$は$F(A)$と$F(B)$のbiproductである．
この命題は，次の図式をそのまま$F$で送ってもbiproductの図式であり続ける，ということである．
\begin{equation*}
\xymatrix{
A \ar@<.5ex>[r]^-{i_A} &
A\oplus B \ar@<.5ex>[l]^-{p_A} \ar@<.5ex>[r]^-{p_B} &
B \ar@<.5ex>[l]^-{i_B}
}
\end{equation*}
は
\begin{equation*}
\xymatrix{
F(A) \ar@<.5ex>[r]^-{F(i_A)} &
F(A\oplus B) \ar@<.5ex>[l]^-{F(p_A)} \ar@<.5ex>[r]^-{F(p_B)} &
F(B) \ar@<.5ex>[l]^-{F(i_B)}
}
\end{equation*}
に移る．
additive functorはbiproductを保つが，kernelやcokernelを保つとは限らない．kernelやcokernelをどの程度保つかを調べるのが，左完全，右完全，完全関手の話につながる．
$F,G:\mathcal{C}\to\mathcal{D}$をadditive functorとする．自然変換$\eta,\theta:F\to G$に対して
\begin{equation*}
(\eta+\theta)_X=\eta_X+\theta_X
\end{equation*}
と定めると，$\eta+\theta:F\to G$も自然変換である．
任意の射$f:X\to Y$に対して，自然性は次の図式の可換性で表される．
\begin{equation*}
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^-{F(f)} \ar[d]_-{\eta_X} &
F(Y) \ar[d]^-{\eta_Y}\\
G(X) \ar[r]_-{G(f)} &
G(Y)
}
\end{equation*}
$\theta$についても同じ図式が可換である．したがって合成の双加法性により
\begin{equation*}
G(f)\circ(\eta_X+\theta_X)
=G(f)\circ\eta_X+G(f)\circ\theta_X
=\eta_Y\circ F(f)+\theta_Y\circ F(f)
=(\eta_Y+\theta_Y)\circ F(f)
\end{equation*}
である．よって$\eta+\theta$も自然変換である．
この命題により，additive functorの間の自然変換全体もAbel群になる．したがって，additive functorを対象，自然変換を射とする関手圏は自然にpreadditive categoryになる．
さらに値域の圏$\mathcal{D}$がadditive categoryなら，biproductを点ごとに取ることで，additive functorの圏もadditive categoryになる．
