二重t値の制限付き和公式
多重$t$値は比較的最近Hoffmanによって導入され, 研究され始めた以下のような値である.
\begin{align}
t(k_1,\dots,k_r):=\sum_{0\leq n_1<\cdots< n_r}\frac 1{(2n_1+1)^{k_1}\cdots(2n_r+1)^{k_r}}
\end{align}
Hoffmanの論文の冒頭では, Nielsenによって
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n-1}t(2k)t(2n-2k)&=\frac{2n-1}2t(2n)
\end{align}
という式が与えられていることが紹介されている. これは調和関係式
\begin{align}
t(a)t(b)&=t(a,b)+t(b,a)+t(a+b)
\end{align}
を用いて展開して整理すると以下と同値であることが分かる.
$n\geq 2$に対し,
\begin{align}
\sum_{k=1}^{n-1}t(2k,2n-2k)&=\frac 14t(2n)
\end{align}
が成り立つ.
今回はこの定理を 前の記事 の二重ゼータ値の場合と同様の方針で直接示したいと思う.
\begin{align}
\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}t(2a+2,2b+2)&=\frac 14t(2k+2)
\end{align}
を示せばよい.
\begin{align}
&\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}t(2a+2,2b+2)\\
&=\sum_{0\leq n< m}\frac 1{(2n+1)^2(2m+1)^2}\sum_{0\leq a,b,a+b=k-1}\frac 1{(2n+1)^{2a}(2m+1)^{2b}}\\
&=\sum_{0\leq n< m}\frac 1{(2n+1)^2(2m+1)^2}\frac{\frac{1}{(2n+1)^{2k}}-\frac 1{(2m+1)^{2k}}}{\frac 1{(2n+1)^2}-\frac 1{(2m+1)^2}}\\
&=\sum_{0\leq n< m}\frac 1{(2m+1)^2-(2n+1)^2}\left(\frac{1}{(2n+1)^{2k}}-\frac 1{(2m+1)^{2k}}\right)\\
&=\sum_{0\leq n}\frac 1{(2n+1)^{2k}}\sum_{n< m}\frac 1{(2m+1)^2-(2n+1)^2}-\sum_{0\leq m}\frac 1{(2m+1)^{2k}}\sum_{n=0}^{m-1}\frac 1{(2m+1)^2-(2n+1)^2}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
\sum_{n< m}\frac 1{(2m+1)^2-(2n+1)^2}&=\frac 14\sum_{n< m}\frac 1{(m-n)(m+n+1)}\\
&=\frac 14\sum_{0< m}\frac 1{m(m+2n+1)}\\
&=\frac 1{4(2n+1)}\sum_{0< m}\left(\frac 1{m}-\frac 1{m+2n+1}\right)\\
&=\frac 1{4(2n+1)}\sum_{m=1}^{2n+1}\frac 1m
\end{align}
と
\begin{align}
\sum_{n=0}^{m-1}\frac 1{(2m+1)^2-(2n+1)^2}&=\frac 14\sum_{n=0}^{m-1}\frac 1{(m-n)(m+n+1)}\\
&=\frac 1{4(2m+1)}\sum_{n=0}^{m-1}\left(\frac 1{m-n}+\frac 1{m+n+1}\right)\\
&=\frac 1{4(2m+1)}\sum_{n=1}^{2m}\frac 1{n}
\end{align}
よって, これらを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac 1{(2n+1)^{2k}}\sum_{n< m}\frac 1{(2m+1)^2-(2n+1)^2}-\sum_{0\leq m}\frac 1{(2m+1)^{2k}}\sum_{n=0}^{m-1}\frac 1{(2m+1)^2-(2n+1)^2}\\
&=\frac 14\sum_{0\leq n}\frac 1{(2n+1)^{2k+1}}\sum_{m=1}^{2n+1}\frac 1m-\frac 14\sum_{0\leq m}\frac 1{(2m+1)^{2k+1}}\sum_{n=1}^{2m}\frac 1n\\
&=\frac 14\sum_{0\leq n}\frac 1{(2n+1)^{2k+2}}\\
&=\frac 14t(2k+2)
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
