連分数による級数の加速方法
あいさつ
んーちゃろー🎵
今回は子葉さんのこちらの記事Apéryの加速法1：あらすじを参考に僕なりにオリジナルの級数を得ていくよー！
- 💦: 僕独自の造語・方法
- 🌱:葉子さんを参考にしたもの
- TODO: 後から追記する
では連分数RTA始まるよー
連分数(復習編)
複素数$a,b,c,d\in\mathbb{C}(a,c\neq0)$に対して以下の様な演算$\boxplus$を定め連分和と名づける。
\begin{equation}
\frac{b}{a}\boxplus\frac{d}{c}\coloneqq\frac{b}{a+\frac{d}{c}}
\end{equation}
連分和$\boxplus$は明らかに結合律を満たさないので必ず右側から演算を施すものとする。またこの約束のもとで以下の様な記号を定め、これを総連分数和と呼ぶ事にする。
\begin{equation}
\boxplus_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{a_{k}}=\frac{b_{1}}{a_{1}}\boxplus\frac{b_{2}}{a_{2}}\boxplus\cdots\boxplus\frac{b_{n}}{a_{n}}
\end{equation}
数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$が既知の数列$\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{B_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}$により定まる以下の三項間漸化式を満たしているとする。
\begin{equation}
a_{n+1}=A_{n}a_{n}+B_{n}a_{n-1}
\end{equation}
この時、$\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$は以下の連分数として表せる事を証明せよ。
\begin{equation}
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=A_{n}+\boxplus_{k=n}^{2}\frac{B_{k}}{A_{k-1}}\boxplus\frac{B_{1}a_{0}}{a_{1}}
\end{equation}
与えられた漸化式の両辺を$a_{n}$で割る事で直ちに証明される。
\begin{equation}
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=A_{n}+\frac{B_{n}}{\frac{a_{n}}{a_{n-1}}}
\end{equation}
複素数列$\{a_{k}\}_{k\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{k}\}_{k\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}$から定まる連分数$a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{a_{k}}$を複素数列$\{P_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{-1}},\{Q_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{-1}}\subset\mathbb{C}$によって$\frac{Q_{n}}{P_{n}}=a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{a_{k}}$の様に表す。すると以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
P_{n}=a_{n}P_{n-1}+b_{n}P_{n-2}\\
Q_{n}=a_{n}Q_{n-1}+b_{n}Q_{n-2}\\
P_{0}=1,P_{-1}=0\\
Q_{0}=a_{0},Q_{-1}=1
\end{array}
\right.
\end{equation}
[1]まず、$n=1$の場合は$P_{1}=a_{1}=a_{1}P_{0}+b_{1}P_{-1},Q_{1}=a_{1}a_{0}+b_{1}=a_{1}Q_{0}+b_{1}Q_{-1}$なので正しい。
[2]そこで、$1,2,...,n$まで正しいものとする。すると
\begin{eqnarray}
\frac{Q_{n+1}}{P_{n+1}}&=&a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n+1}\frac{b_{k}}{a_{k}}\\
&=&a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k}}{a_{k}}\boxplus\frac{a_{n+1}b_{n}}{a_{n+1}a_{n}+b_{n+1}}
\end{eqnarray}
が得られるので、帰納法の仮定より
\begin{eqnarray}
P_{n+1}&=&(a_{n+1}a_{n}+b_{n+1})P_{n-1}+a_{n+1}b_{n}P_{n-2}\\
&=&a_{n+1}(a_{n}P_{n-1}+b_{n}P_{n-2})+b_{n+1}P_{n-1}\\
&=&a_{n+1}P_{n}+b_{n+1}P_{n-1}
\end{eqnarray}
$Q_{n}$も同様
複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$により定まる連分数:
\begin{equation}
\frac{Q_{n}}{P_{n}}=a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{a_{k}}
\end{equation}
に対して以下の様な操作を行う事で新しい連分数を構築する事をBauer-Muir変換という。
\begin{eqnarray}
\frac{\tilde{Q}_{n}}{\tilde{P}_{n}}&=&a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k}}{a_{k}}\boxplus\frac{b_{n}}{a_{n}+r_{n}}\\
&=&A_{0}+\boxplus_{k=1}^{n}\frac{B_{k}}{A_{k}}
\end{eqnarray}
この変換により得られる$\{\tilde{P}_{n}\}_{n\in\mathbb{N}},\{\tilde{Q}_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$は定理2より以下の式を満たす。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{P}_{n}=P_{n}+r_{n}P_{n-1}\\
\tilde{Q}_{n}=Q_{n}+r_{n}Q_{n-1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
では、$\tilde{P}_{n},\tilde{Q}_{n}$が満たす三項間漸化式はどの様なものになるだろうか？
[1]
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{P}_{n}=(a_{n}+r_{n})P_{n-1}+b_{n}P_{n-2}\\
\tilde{P}_{n-1}=P_{n-1}+r_{n-1}P_{n-2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{P}_{n-2}=P_{n-2}+r_{n-2}P_{n-3}\\
P_{n-1}=a_{n-1}P_{n-2}+b_{n-1}P_{n-3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
ゆえに以下の式を得る。
\begin{equation}
\tilde{P}_{n-2}=\frac{r_{n-2}}{b_{n-1}}P_{n-1}+\frac{b_{n-1}-r_{n-2}a_{n-1}}{b_{n-1}}P_{n-2}
\end{equation}
[3]以下の連立方程式を解く
\begin{equation}
\begin{pmatrix}\tilde{P}_{n-1}\\b_{n-1}\tilde{P}_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&r_{n-1}\\r_{n-2}&b_{n-1}-r_{n-2}a_{n-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}P_{n-1}\\P_{n-2}\end{pmatrix}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}P_{n-1}\\P_{n-2}\end{pmatrix}&=&\frac{1}{b_{n-1}-r_{n-2}(a_{n-1}+r_{n-1})}\begin{pmatrix}b_{n-1}-r_{n-2}a_{n-1}&-r_{n-1}\\-r_{n-2}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tilde{P}_{n-1}\\b_{n-1}\tilde{P}_{n-2}\end{pmatrix}\\
&=&\frac{1}{d_{n-1}}\begin{pmatrix}r_{n-2}r_{n-1}+d_{n-1}&-r_{n-1}\\-r_{n-2}&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tilde{P}_{n-1}\\b_{n-1}\tilde{P}_{n-2}\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
ただし$d_{n}\coloneqq b_{n}-r_{n-1}(a_{n}+r_{n})\quad(n=2,3,...)$の様においた。
[4]実は計算すると以下の様に綺麗にまとめる事ができる。
\begin{eqnarray}
\tilde{P}_{n}&=&(a_{n}+r_{n})P_{n-1}+b_{n}P_{n-2}\\
&=&\frac{\{(a_{n}+r_{n})(r_{n-2}r_{n-1}+d_{n-1})-r_{n-2}b_{n}\}\tilde{P}_{n-1}+\{b_{n}b_{n-1}-r_{n-1}b_{n-1}(a_{n}+r_{n})\}\tilde{P}_{n-2}}{d_{n-1}}\\
&=&\frac{[(a_{n}+r_{n})d_{n-1}-r_{n-2}\{b_{n}-r_{n-1}(a_{n}+r_{n})\}]\tilde{P}_{n-1}+b_{n-1}\{b_{n}-r_{n-1}(a_{n}+r_{n})\}\tilde{P}_{n-2}}{d_{n-1}}\\
&=&(a_{n}+r_{n}-r_{n-2}\frac{d_{n}}{d_{n-1}})\tilde{P}_{n-1}+b_{n-1}\frac{d_{n}}{d_{n-1}}\tilde{P}_{n-2}
\end{eqnarray}
[5]さらに以下の境界条件を得るので
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{P}_{0}=P_{0}+r_{0}P_{-1}=1\\
\tilde{Q}_{0}=Q_{0}+r_{0}Q_{-1}=a_{0}+r_{0}\\
\tilde{P}_{1}=P_{1}+r_{1}P_{0}=a_{1}+r_{1}\\
\tilde{Q}_{1}=Q_{1}+r_{1}Q_{0}=a_{0}(a_{1}+r_{1})+b_{1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[6]
\begin{eqnarray}
\frac{\tilde{Q}_{n}}{\tilde{P}_{n}}&=&a_{0}+r_{0}+\frac{b_{1}-r_{0}(a_{1}+r_{1})}{a_{1}+r_{1}}\boxplus_{k=2}^{n}\frac{b_{k-1}\frac{d_{k}}{d_{k-1}}}{(a_{k}+r_{k}-r_{k-2}\frac{d_{k}}{d_{k-1}})}\\
&=&a_{0}+r_{0}+\frac{b_{1}-r_{0}(a_{1}+r_{1})}{a_{1}+r_{1}}\boxplus\frac{b_{1}d_{2}}{d_{1}(a_{2}+r_{2})-r_{0}d_{2}}\boxplus_{k=3}^{n}\frac{b_{k-1}d_{k-2}d_{k}}{d_{k-1}(a_{k}+r_{k})-r_{k-2}d_{k}}
\end{eqnarray}
折角なのでまとめておこう
複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$により定まる連分数:
\begin{equation}
\frac{Q_{n}}{P_{n}}=a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{a_{k}}
\end{equation}
に対して以下の様な操作を行う事で新しい連分数を構築する事をBauer-Muir変換という。
\begin{eqnarray}
\frac{\tilde{Q}_{n}}{\tilde{P}_{n}}&=&a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n-1}\frac{b_{k}}{a_{k}}\boxplus\frac{b_{n}}{a_{n}+r_{n}}\\
&=&A_{0}+\boxplus_{k=1}^{n}\frac{B_{k}}{A_{k}}
\end{eqnarray}
この変換により得られる$\{\tilde{P}_{n}\}_{n\in\mathbb{N}},\{\tilde{Q}_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$は定理2より以下の式を満たす。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\tilde{P}_{n}=P_{n}+r_{n}P_{n-1}\\
\tilde{Q}_{n}=Q_{n}+r_{n}Q_{n-1}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
これらはさらに以下の三項間漸化式を満たしかつ、次の様な連分数に変換される。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
d_{n}\coloneqq b_{n}-r_{n-1}(a_{n}+r_{n})\quad(n=2,3,...)\\
\tilde{P}_{n}=(a_{n}+r_{n}-r_{n-2}\frac{d_{n}}{d_{n-1}})\tilde{P}_{n-1}+b_{n-1}\frac{d_{n}}{d_{n-1}}\tilde{P}_{n-2}\\
\tilde{Q}_{n}=(a_{n}+r_{n}-r_{n-2}\frac{d_{n}}{d_{n-1}})\tilde{Q}_{n-1}+b_{n-1}\frac{d_{n}}{d_{n-1}}\tilde{Q}_{n-2}\\
\tilde{P}_{0}=1\\
\tilde{Q}_{0}=a_{0}+r_{0}\\
\tilde{P}_{1}=a_{1}+r_{1}\\
\tilde{Q}_{1}=a_{0}(a_{1}+r_{1})+b_{1}\\
\frac{\tilde{Q}_{n}}{\tilde{P}_{n}}=a_{0}+r_{0}+\frac{b_{1}-r_{0}(a_{1}+r_{1})}{a_{1}+r_{1}}\boxplus\frac{b_{1}d_{2}}{d_{1}(a_{2}+r_{2})-r_{0}d_{2}}\boxplus_{k=3}^{n}\frac{b_{k-1}d_{k-2}d_{k}}{d_{k-1}(a_{k}+r_{k})-r_{k-2}d_{k}}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$により定義される連分数:
\begin{equation}
\frac{Q_{n}}{P_{n}}=a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{a_{k}}
\end{equation}
は以下の級数と等価
\begin{equation}
\frac{Q_{n}}{P_{n}}=\frac{Q_{0}}{P_{0}}+b_{0}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}\prod_{l=1}^{k}b_{l}}{P_{k-1}P_{k}}
\end{equation}
望遠鏡和を使う事で構成できる。
\begin{eqnarray}
\frac{Q_{n}}{P_{n}}&=&\frac{Q_{0}}{P_{0}}+\sum_{k=1}^{n}(\frac{Q_{k}}{P_{k}}-\frac{Q_{k-1}}{P_{k-1}})\\
&=&\frac{Q_{0}}{P_{0}}-\sum_{k=1}^{n}\frac{P_{k}Q_{k-1}-P_{k-1}Q_{k}}{P_{k-1}P_{k}}\\
&=&\frac{Q_{0}}{P_{0}}+b_{0}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k}\prod_{l=1}^{k}b_{l}}{P_{k-1}P_{k}}
\end{eqnarray}
(💦)上記一般化
上記の構成から分かる様に重要な事は以下の二つ
- $P_{n}Q_{n-1}-P_{n-1}Q_{n}=b_{0}(-1)^{n}\prod_{k=1}^{n}b_{k}$
- 望遠鏡和
ではこの二つを組み合わせた式を構成すればいい事はもう明らかだね。では構成してみよう。
\begin{eqnarray}
P_{n}Q_{m}-P_{m}Q_{n}&=&(a_{n}P_{n-1}+b_{n}P_{n-2})Q_{m}-P_{m}(a_{n}Q_{n-1}+b_{n}Q_{n-2})\\
&=&a_{n}(P_{n-1}Q_{m}-P_{m}Q_{n-1})+b_{n}(P_{n-2}Q_{m}-P_{m}Q_{n-2})\\
\end{eqnarray}
という事は、$R_{n,m}\coloneqq P_{n}Q_{n-m}-P_{n-m}Q_{n}$の様に定めると以下の様に書けることが分かる。
\begin{equation}
R_{n,m}=a_{n}R_{n-1,m}+b_{n}R_{n-2,m}
\end{equation}
すなわちある数列$\{A_{n,m}\},\{B_{n,m}\}\subset\mathbb{C}$
\begin{equation}
R_{n,m}=A_{n,m}R_{m+1,m}+B_{n,m}R_{m-1,m}
\end{equation}
を用いて以下の様に書ける。
ゆえに単調増加な正整数列$\{m_{k}\}_{k\in\mathbb{k}}\subset\mathbb{N}_{0}$について以下の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\frac{Q_{m_{n}}}{P_{m_{n}}}&=&\frac{Q_{m_{0}}}{P_{m_{0}}}+(\frac{Q_{m_{1}}}{P_{m_{1}}}-\frac{Q_{m_{0}}}{P_{m_{0}}})+\cdots+(\frac{Q_{m_{n}}}{P_{m_{n}}}-\frac{Q_{m_{n-1}}}{P_{m_{n-1}}})\\
&=&\frac{Q_{m_{0}}}{P_{m_{0}}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{A_{m_{k},m_{k-1}}R_{m_{k-1}+1,m_{k-1}}+B_{m_{k},m_{k-1}}R_{m_{k-1}-1,m_{k-1}}}{P_{m_{k}}P_{m_{k-1}}}
\end{eqnarray}
数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}\subset\mathbb{C}$により定義される連分数:
\begin{equation}
\frac{Q_{n}}{P_{n}}=a_{0}+\boxplus_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{a_{k}}
\end{equation}
は以下の級数と等価:
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{Q_{m_{n}}}{P_{m_{n}}}=\frac{Q_{m_{0}}}{P_{m_{0}}}+\sum_{k=1}^{n}\frac{A_{m_{k},m_{k-1}}R_{m_{k-1}+1,m_{k-1}}+B_{m_{k},m_{k-1}}R_{m_{k-1}-1,m_{k-1}}}{P_{m_{k}}P_{m_{k-1}}}\\
R_{n,m}\coloneqq P_{n}Q_{m}-P_{m}Q_{n}=A_{n,m}R_{m+1,m}+B_{n,m}R_{m-1,m}\\
A_{n,m},B_{n,m}はある複素数列\\
\{m_{k}\}_{k\in\mathbb{N}_{0}}は任意の単調増加な正整数列
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
任意の複素数列$\{a_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{b_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}$に対して以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{N}\frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{0}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-a_{k-1}^{2}b_{k-2}b_{k}}{a_{k-1}b_{k}+a_{k}b_{k-1}}
\end{equation}
すなわち、以下の事と同値。
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
\frac{Q_{n}}{P_{n}}=\sum_{n=0}^{N}\frac{b_{n}}{a_{n}}\\
P_{-1}=0\\
Q_{-1}=1\\
P_{0}=a_{0}\\
Q_{0}=b_{0}\\
P_{1}=-a_{0}^{2}b_{0}P_{0}+a_{0}b_{1}P_{-1}\\
Q_{1}=-a_{0}^{2}b_{0}Q_{0}+a_{0}b_{1}Q_{-1}\\
P_{n}=-a_{n-1}^{2}b_{n-2}b_{n}P_{n-1}+(a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{n-1})P_{n-2}\\
Q_{n}=-a_{n-1}^{2}b_{n-2}b_{n}Q_{n-1}+(a_{n-1}b_{n}+a_{n}b_{n-1})Q_{n-2}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
[1]
\begin{eqnarray}
\frac{b_{0}}{a_{0}}+\frac{b_{1}}{a_{1}}&=&\frac{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}{a_{0}a_{0}}\\
&=&\frac{1}{\frac{a_{0}a_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{\frac{a_{0}a_{1}b_{0}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}+\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}}
\end{eqnarray}
[2]
\begin{eqnarray}
\frac{b_{0}}{a_{0}}+\frac{b_{1}}{a_{1}}+\frac{b_{2}}{a_{2}}&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}+\frac{b_{1}}{a_{1}+\frac{-a_{1}^{2}b_{2}}{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}+\frac{-a_{0}^{2}b_{1}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}+\frac{a_{1}^{2}b_{2}b_{0}}{a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}}}}
\end{eqnarray}
[3]という事は以下の式が成り立つことが予想できる。
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{N}\frac{b_{n}}{a_{n}}=\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{0}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-a_{k-1}^{2}b_{k-2}b_{k}}{a_{k-1}b_{k}+a_{k}b_{k-1}}
\end{equation}
これを帰納法で証明しよう。
$N=0,1,2$の時はすでに成り立つことが保証されているので$1,2,...,N$まで成立すると仮定しよう。すると$N+1$の場合次の式が成り立つ。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{N+1}\frac{b_{n}}{a_{n}}&=&\sum_{n=0}^{N-1}\frac{b_{n}}{a_{n}}+\frac{b_{N}}{a_{N}+\frac{-a_{N}^{2}b_{N+1}}{a_{N}b_{N+1}+a_{N+1}b_{N}}}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{0}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}\boxplus_{k=2}^{N-1}\frac{-a_{k-1}^{2}b_{k-2}b_{k}}{a_{k-1}b_{k}+a_{k}b_{k-1}}\boxplus\frac{-a_{N-1}^{2}b_{N-1}b_{N}}{a_{N-1}b_{N}+b_{N-1}(a_{N}+\frac{-a_{N}^{2}b_{N+1}}{a_{N}b_{N+1}+a_{N+1}b_{N}})}\\
&=&\frac{b_{0}}{a_{0}}\boxplus\frac{-a_{0}^{2}b_{0}}{a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0}}\boxplus_{k=2}^{N-1}\frac{-a_{k-1}^{2}b_{k-2}b_{k}}{a_{k-1}b_{k}+a_{k}b_{k-1}}\boxplus\frac{-a_{N-1}^{2}b_{N-1}b_{N}}{a_{N-1}b_{N}+b_{N-1}a_{N}}\boxplus\frac{-a_{N}^{2}b_{N-1}b_{N+1}}{a_{N}b_{N+1}+a_{N+1}b_{N}}\\
&=&\frac{c_{0}b_{0}}{c_{0}a_{0}}\boxplus\frac{-c_{0}c_{1}a_{0}^{2}b_{0}}{c_{1}(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-c_{k-1}c_{k}a_{k-1}^{2}b_{k-2}b_{k}}{c_{k}(a_{k-1}b_{k}+a_{k}b_{k-1})}
\end{eqnarray}
特に$\frac{b_{n}}{a_{n}}\coloneqq\prod_{k=1}^{n}\frac{B_{k}}{A_{k}}$とおくと、
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{N}\prod_{k=0}^{N}\frac{B_{k}}{A_{k}}&=&\frac{B_{0}}{A_{0}}\boxplus\frac{-A_{0}^{2}B_{0}}{A_{0}\prod_{k=0}^{1}B_{k}+B_{0}\prod_{k=0}^{1}A_{k}}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-A_{k-1}^{2}B_{k-1}B_{k}\prod_{l=0}^{k-2}A_{l}^{2}B_{l}^{2}}{(A_{k}+B_{k})\prod_{l=0}^{k-1}A_{l}B_{l}}\\
&=&\frac{c_{0}B_{0}}{c_{0}A_{0}}\boxplus\frac{-c_{0}c_{1}A_{0}^{2}B_{0}}{c_{1}(A_{0}\prod_{k=0}^{1}B_{k}+B_{0}\prod_{k=0}^{1}A_{k})}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-c_{k-1}c_{k}A_{k-1}^{2}B_{k-1}B_{k}\prod_{l=0}^{k-2}A_{l}^{2}B_{l}^{2}}{c_{k}(A_{k}+B_{k})\prod_{l=0}^{k-1}A_{l}B_{l}}
\end{eqnarray}
と書けるので、
\begin{eqnarray}
\left\{
\begin{array}{l}
c_{k}\coloneqq\frac{1}{\prod_{l=0}^{k-1}A_{l}B_{l}}\\
c_{0}=1
\end{array}
\right.
\end{eqnarray}
の様に決めよう。
すると以下の様に綺麗にまとめることができる。
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{N}\prod_{k=0}^{N}\frac{B_{k}}{A_{k}}=\frac{B_{0}}{A_{0}}\boxplus\frac{-A_{0}}{A_{1}+B_{1}}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-A_{k-1}B_{k}}{A_{k}+B_{k}}
\end{equation}
これもまとめておこう
数列$\{A_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}},\{B_{n}\}_{n\in\mathbb{N}_{0}}\subset\mathbb{C}$について以下の式が成り立つ。
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{N}\prod_{k=0}^{N}\frac{B_{k}}{A_{k}}=\frac{B_{0}}{A_{0}}\boxplus\frac{-A_{0}}{A_{1}+B_{1}}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-A_{k-1}B_{k}}{A_{k}+B_{k}}
\end{equation}
級数$\sum_{n=0}^{N}\frac{b_{n}}{a_{n}}$について、Bauer-Muir変換をN回実行する事で得られる新しい級数をBauer-Muir加速法と呼ぶ。
[1]first: 定理6あるいは定理7の方法で連分数に変換
[2]secound: 得られた連分数にBauer-Muri変換を有限回施す
[3]third: 定理4に従って級数に戻す
応用編
大体みんなが知りたい級数の殆どが超幾何級数の形で書けるので超幾何級数に限って調べておく。
以下の様な級数に対して連分数(復習編)で得た知見を応用し遊んでください。
\begin{equation}
{}_{p}F_{q}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}&\\&&&&;z\\b_{1}&b_{2}&\cdots&b_{q}&\end{pmatrix}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\cdots(a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\cdots(b_{p})_{n}n!}z^{n}
\end{equation}
[1]まず定理7に従い連分数に変換
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{N}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\cdots(a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\cdots(b_{q})_{n}n!}z^{n}&=&\frac{1}{1}\boxplus\frac{-1}{a_{1}a_{2}\cdots a_{p}z+1}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-(a_{1}+k-1)(a_{2}+k-1)\cdots(a_{p}+k-1)(b_{1}+k-2)(b_{2}+k-2)\cdots(b_{q}+k-2)(k-1)z}{(a_{1}+k-1)(a_{2}+k-1)\cdots(a_{p}+k-1)z+k(b_{1}+k-1)(b_{2}+k-1)\cdots(b_{q}+k-1)}\\
&=&\frac{1}{1}\boxplus\frac{-1}{z\prod_{k=1}^{p}a_{k}+1}\boxplus_{k=2}^{N}\frac{-(k-1)z\prod_{l=1}^{p}(a_{l}+k-1)\prod_{m=1}^{q}(b_{m}+k-2)}{z\prod_{l=1}^{p}(a_{l}+k-1)+k\prod_{l=1}^{q}(b_{l}+k-1)}
\end{eqnarray}
[2]次にBauer-Muir加速を行う。
TODO: いい感じの処理を行う-
[3]最後に戻す(化け物級の式発見)
TODO:
級数展覧会
折角なので具体例を作って鑑賞しよう。
まずは基本$e^{x}$について見てみよう。これは非常に簡単で以下の様に書ける。
[1]first(連分数変換):
\begin{equation}
e^{x}=\frac{1}{1}\boxplus\frac{-1}{z+1}\boxplus_{k=2}^{\infty}\frac{-(k-1)z}{z+k}
\end{equation}
ゆえに$z=-1$とすれば
\begin{equation}
\frac{1}{e}=\frac{1}{1+\frac{-1}{0+\frac{1}{1+\frac{2}{2+\frac{3}{3+\frac{4}{\ddots}}}}}}
\end{equation}
[2]second(Bauer-Muir変換): TODO
[3]third(級数に戻す): TODO
$\zeta(N)={}_{N+1}F_{N}\begin{pmatrix}1&1&\cdots&1&\\&&&&;1\\2&2&\cdots&2\end{pmatrix}$なので
[1]first(連分数変換):
\begin{equation}
\zeta(N)=\frac{1}{1}\boxplus\frac{-1}{z+1}\boxplus_{k=2}^{\infty}\frac{-(k-1)k^{2N+1}}{k^{N+1}z+k(k+1)^{N}}
\end{equation}
[2]second(Bauer-Muir変換): TODO
[3]third(級数に戻す): TODO
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