文献あり

Apéryの加速法1：あらすじ

はじめに

　このシリーズではある多項式$f(n),g(n)$によって
$$\K^\infty_{n=1}\frac{g(n)}{f(n)}=\frac{g(1)}{f(1)}\p\frac{g(2)}{f(2)}\p\cc\p\frac{g(n)}{f(n)}\p\cc$$
と表されるような連分数からApéryの連分数
\begin{align} \z(3) &=\frac65\p\K^\infty_{n=1}\frac{-n^6}{(2n+1)(17n^2+17n+5)}\\ &=\dfrac6{1\c5-\dfrac{1^6}{3\c39-\dfrac{2^6}{5\c107-\dfrac{3^6}{7\c209-\dfrac{4^6}{9\c345-{\atop\ddots}}}}}} \end{align}
のように、より収束の速い連分数を作り出す手法ことApéryの加速法について解説していきます。

概説

Apéryの加速法とは

　いま上の連分数公式は次のような主張に言い換えることができます。

　数列$u_n,v_n$を漸化式
$$x_{n+1}=(2n+1)(17n^2+17n+5)x_n-n^6x_{n-1}$$
の解$x_n=u_n,v_n$であって
$$\begin{pmatrix} u_0&u_1\\v_0&v_1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0&6\\1&5 \end{pmatrix}$$
を満たすようなものとして定めたとき
$$\z(3)=\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}$$
が成り立つ。

　Apéryの加速法とはこのような三項間漸化式の二つの解の比、つまりApéry limitや連分数と呼ばれるものを対象とした、名前の通り連分数の加速を与えることを目的とした理論のことを言います。
　そのため次回以降の記事では主に連分数を基本言語としてApéryの加速法の詳細について解説していきますが、今回の記事ではまず連分数を用いずに本質的にどのような操作によって上のような事実が得られるのかを紹介していこうと思います。

問題の定式化

　まずApéryの加速法の主題である「連分数の加速」とは次のように言い換えることができます。

　与えられた級数(あるいは連分数)
$$S=\sum^\infty_{n=1}A_n$$
に対し、ある多項式係数の漸化式
$$x_n=f(n)x_{n-1}+g(n)x_{n-2}$$
を満たす数列$x_n=u_n,v_n$であって、その比$u_n/v_n$が急速に$S$に収束するようなもの、つまり
$$\l|S-\frac{u_n}{v_n}\r|\ll\l|S-\sum^n_{m=1}A(m)\r|$$
を満たすようなものを構成したい。

オイラーの連分数公式

　この問題の出発点としてまずオイラーの連分数公式というものにより
$$p_n=q_n\sum^n_{m=1}A_m$$
が整数列となるように適当な数列$q_n$を取ることで、ある多項式係数の漸化式
$$x_n=f(n)x_{n-1}+g(n)x_{n-2}$$
を満たすような数列$x_n=p_n,q_n$であって
$$S=\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{q_n}$$
を満たすものを一組得ることができます。

　例えば多項式$f(n)$の逆数和
$$S=\sum^\infty_{n=1}\frac1{f(n)}$$
に対し
$$q_n=\prod^n_{k=1}f(k),\quad p_n=q_n\sum^n_{m=1}\frac1{f(m)}$$
とおくと、これらは$n\geq2$において
$$x_n=(f(n)+f(n-1))x_{n-1}-f(n-1)^2x_{n-2}$$
という漸化式を満たすことがわかる。

　また例えば同様の交代和
$$S=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{f(n)}$$
に対し
$$q_n=\prod^n_{k=1}f(k),\quad p_n=q_n\sum^n_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{f(m)}$$
とおくと、これらは$n\geq2$において
$$x_n=(f(n)-f(n-1))x_{n-1}+f(n-1)^2x_{n-2}$$
という漸化式を満たすことがわかる。

Bauer-Muir変換

　そしてこうして得られた数列$p_n,q_n$に対し、適当な多項式$r_n$を取りBauer-Muir変換
\begin{align} p'_n&=p_{n+1}+r_{n+1}p_n\\ q'_n&=q_{n+1}+r_{n+1}q_n \end{align}
を考えると、これらも
\begin{align} x_n &=\l(f(n+1)+r_{n+1}-r_{n-1}\frac{d_n}{d_{n-1}}\r)x_{n-1}+g(n)\frac{d_n}{d_{n-1}}x_{n-2}\\ (d_n&=r_n(r_{n+1}+f(n+1))-g(n+1)) \end{align}
という有理関数係数の漸化式を満たし、特に適当な因子$T_n$、例えば
$$T_n=\prod^{n-1}_{k=0}d_k$$
などを掛けたもの$T_np'_n,T_nq'_n$を再び$p'_n,q'_n$とおくことでこれらが満たす漸化式を多項式係数に帰着させることができます。
　また余程のことがなければ
$$S=\lim_{n\to\infty}\frac{p'_n}{q'_n}$$
も成り立ち、特にこの多項式$r_n$をいい感じに取ってくることで、ある正整数$d$が存在し
$$\l|S-\frac{p'_n}{q'_n}\r|\sim\frac1{n^d}\l|S-\frac{p_n}{q_n}\r|$$
程度の加速が得られることとなります。

Apéryの加速法

　さらにこうして得られた数列$p'_n,q'_n$に対し適当な多項式$r'_n$を取ってきて再びBauer-Muir変換
\begin{align} p''_n&=p'_{n+1}+r'_{n+1}p'_n\\ q''_n&=q'_{n+1}+r'_{n+1}q'_n \end{align}
を考え...、といった具合にBauer-Muir変換を反復していくことで
$$\l|S-\frac{p^{(k)}_n}{q^{(k)}_n}\r|\sim\frac1{n^{dk}}\l|S-\frac{p_n}{q_n}\r|$$
を満たすような二重数列$p_n^{(k)},q_n^{(k)}$を構成することができます。
　そしてこの二重数列を対角線上に渡る数列
$$u_n=p_n^{(n)},\quad v_n=q_n^{(n)}$$
を考えると、これもある有理関数係数の漸化式
$$x_n=F(n)x_{n-1}+G(n)x_{n-2}$$
を満たし、更にある定数$C>1$が存在し
$$\l|S-\frac{u_n}{v_n}\r|\sim\frac1{C^n}\l|S-\frac{p_n}{q_n}\r|$$
という指数関数的な加速が得られることとなります。
　このように与えられた数列$p_n,q_n$から指数関数的に加速された数列$u_n,v_n$を構成する手法のことをApéryの加速法と言います。

具体例：$\z(3)$の加速

　さてこれ以上の説明については次回以降の記事に任せることとして、とりあえず$$\z(3)=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^3}$$
を例に挙げて具体的にどのような操作が行われるのか、またそこからどういうことがわかるのかを見ていくこととしましょう。

　いま
$$p_n^{(0)}=(n!)^3\sum^n_{m=1}\frac1{m^3},\quad q_n^{(0)}=(n!)^3$$
を起点として
\begin{align} p_{n-1}^{(k)}&=p_n^{(k-1)}-(n-k)(n^2-kn+k^2)p_{n-1}^{(k-1)}\\ q_{n-1}^{(k)}&=q_n^{(k-1)}-(n-k)(n^2-kn+k^2)q_{n-1}^{(k-1)} \end{align}
と変換していくことで、これらは$n\geq1$において
$$x_{n+1}^{(k)}=(2n+1)(n^2+n+2k^2+2k+1)x_n^{(k)}-n^6x_{n-1}^{(k)}$$
という漸化式を満たし、その収束速度は
$$\l|\z(3)-\frac{p_n^{(k)}}{q_n^{(k)}}\r|=O\l(\frac1{n^{4k+2}}\r)$$
と評価できることがわかる。
　また
$$u_n=p_n^{(n)},\quad v_n=q_n^{(n)}$$
とおくとこれは
$$x_{n+1}=(n+1)^3(2n+1)(17n^2+17n+5)x_n-n^9(n+1)^3x_n$$
という漸化式を満たし、その収束速度は
$$\l|\z(3)-\frac{u_n}{v_n}\r|=O((\sqrt2+1)^{-8n})$$
と評価できることがわかる。

発展1：加速級数

　ちなみに$p_n,q_n$が同じ漸化式
\begin{align} p_n&=a_np_{n-1}+b_np_{n-2}\\ q_n&=a_nq_{n-1}+b_nq_{n-2} \end{align}
を満たすとき、この式にそれぞれ$q_{n-1},p_{n-1}$を掛けて差を取ることで
\begin{align} p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n &=-b_n(p_{n-1}q_{n-2}-p_{n-2}q_{n-1})\\ &=(p_1q_0-p_0q_1)\prod^n_{k=2}(-b_k) \end{align}
が成り立つので、$p_n/q_n$は
\begin{align} \frac{p_n}{q_n} &=\frac{p_0}{q_0}+\sum^n_{m=1}\l(\frac{p_m}{q_m}-\frac{p_{m-1}}{q_{m-1}}\r)\\ &=\frac{p_0}{q_0}+\sum^n_{m=1}\frac{p_1q_0-p_0q_1}{q_mq_{m-1}}\prod^m_{k=2}(-b_k) \end{align}
という級数に表すことができます。

　例えば上のようにして得られた$p^{(k)}_n/q^{(k)}_n$の場合を考えると
\begin{align} q_n^{(1)}&=(n!)^3\times(2n^2+2n+1)\\ q_n^{(2)}&=(n!)^3\times4(3n^4+6n^3+9n^2+6n+2)\\ q_n^{(3)}&=(n!)^3\times12(10n^6+30n^5+85n^4+120n^3+121n^2+66n+18) \end{align}
と求まることと、ここでは示さないが実は
$$\frac{p^{(k)}_0}{q^{(k)}_0}=\sum^k_{l=1}\frac1{l^3},\quad p^{(k)}_1q^{(k)}_0-p^{(k)}_0q^{(k)}_1=(k!)^6$$
が成り立つことから
\begin{align} \z(3) &=1+\sum^\infty_{n=1}\frac1{(4n^4+1)n^3}\\ &=1+\frac18+\sum^\infty_{n=1}\frac4{(9n^8+18n^6+21n^4+4)n^3}\\ &=1+\frac18+\frac1{27}+\sum^\infty_{n=1}\frac{324}{(100n^{12}+800n^{10}+2445n^8+2570n^6+1861n^4+324)n^3} \end{align}
という加速級数が得られる。

発展2：誤差項の推定

　また上の公式
$$\frac{p_n}{q_n} =\frac{p_0}{q_0}+\sum^n_{m=1}\frac{p_1q_0-p_0q_1}{q_mq_{m-1}}\prod^m_{k=2}(-b_k)$$
の右辺を$\sum^n_{m=0}A_m$とおいたとき、このBauer-Muir変換$p'_n,q'_n$について
\begin{align} \frac{p'_n}{q'_n} &=\frac{p_{n+1}+r_{n+1}p_n}{q_{n+1}+r_{n+1}q_n}\\ &=\frac{p_n}{q_n}+\frac{p_{n+1}q_n-p_nq_{n+1}}{q_n(q_{n+1}+r_{n+1}q_n)}\\ &=\sum^n_{m=0}A_m+\frac{q_{n+1}}{q'_n}A_{n+1} \end{align}
が成り立つので、次のような関係式が得られます。

\begin{align} S_N^{(0)}&=\sum^N_{n=1}\frac1{n^3}\\ S_N^{(1)}&=1+\sum^N_{n=1}\frac1{(4n^4+1)n^3}\\ S_N^{(2)}&=1+\frac18+\sum^N_{n=1}\frac4{(9n^8+18n^6+21n^4+4)n^3}\\ S_N^{(3)}&=1+\frac18+\frac1{27}+\sum^N_{n=1}\frac{324}{(100n^{12}+800n^{10}+2445n^8+2570n^6+1861n^4+324)n^3} \end{align}
ついて
\begin{align} S^{(1)}_N&=S^{(0)}_N+\frac1{2N^2+2N+1}\\ S^{(2)}_N&=S^{(1)}_N+\frac1{4(2N^2+2N+1)(3N^4+6N^3+9N^2+6N+2)}\\ S^{(3)}_N&=S^{(2)}_N+\frac4{3(3N^4+6N^3+9N^2+6N+2)(10N^6+30N^5+85N^4+120N^3+121N^2+66N+18)} \end{align}
が成り立つ。

　特に$p^{(k)}_n/q^{(k)}_n$の加速性として
$$\l|S-\frac{p^{(k)}_n}{q^{(k)}_n}\r|\sim\frac1{n^{dk}}\l|S-\frac{p_n}{q_n}\r|$$
が成り立っていたことに注意すると、元の級数の誤差項について
$$\sum^\infty_{n=N+1}A_n =\sum^{k-1}_{l=0}\frac{q_{n+1}^{(l)}}{q^{(l+1)}_n}A^{(l)}_k+O\l(\frac1{n^{dk}}\sum^\infty_{n=N+1}A_n\r)$$
という漸近展開が得られます。

\begin{align} \sum^\infty_{n=N+1}\frac1{n^3} &=\frac1{2N^2+2N+1}\\ &\qquad+\frac1{4(2N^2+2N+1)(3N^4+6N^3+9N^2+6N+2)}\\ &\qquad+\frac4{3(3N^4+6N^3+9N^2+6N+2)(10N^6+30N^5+85N^4+120N^3+121N^2+66N+18)}\\ &\qquad+O\l(\frac1{N^{14}}\r) \end{align}
が成り立つ。

発展3：Apéryの数列

　いま最終的に得られた数列$u_n=p^{(n)}_n,v_n=q^{(n)}_n$に対し
$$a_n=\frac{u_n}{(n!)^6},\quad b_n=\frac{v_n}{(n!)^6}$$
とおくと、これらは
$$(n+1)^3x_{n+1}-(2n+1)(17n^2+17n+5)x_n+n^3x_{n-1}=0$$
という漸化式を満たすことになるので、この$a_n,b_n$は Apéryの定理において用いられた数列
\begin{align} a_n&=\sum^n_{j=0}\binom nj^2\binom{n+j}j^2c_{n,j}\\ b_n&=\sum^n_{j=0}\binom nj^2\binom{n+j}j^2\\ \bigg(c_{n,j}&=\sum^n_{m=1}\frac1{m^3}+\sum^j_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom nm\binom{n+m}m}\bigg) \end{align}
に一致することがわかります(←ヤバ！！！)。
　そして実はより一般に
$$a^{(k)}_n=\frac{p^{(k)}_n}{(n!k!)^3},\quad b^{(k)}_n=\frac{q^{(k)}_n}{(n!k!)^3}$$
とおいたとき、これは同じ$c_{n,j}$を用いて
\begin{align} a_n^{(k)}&=\sum^k_{j=0}\binom kj\binom{k+j}j\binom nj\binom{n+j}jc_{n,j}\\ b_n^{(k)}&=\sum^k_{j=0}\binom kj\binom{k+j}j\binom nj\binom{n+j}j \end{align}
と表すことができます(←ヤバ！！！！！！)。

　$k=1,2,3$において
\begin{align} b_n^{(1)}&=2n^2+2n+1\\ b_n^{(2)}&=\frac{3n^4+6n^3+9n^2+6n+2}2\\ b_n^{(3)}&=\frac{10n^6+30n^5+85n^4+120n^3+121n^2+66n+18}{18} \end{align}
と表せたことを思い出すと、実際これは
\begin{align} b^{(1)}_n&=1+2n(n+1)\\ b^{(2)}_n&=1+6n(n+1)+6\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}4\\ b^{(3)}_n&=1+12n(n+1)+30\frac{(n-1)n(n+1)(n+2)}4+20\frac{(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)}{36} \end{align}
と整理できることがわかる。

　これは一体どういうことなのか、ということについては第七回および第八回の記事にて解説します。

次回以降の記事について

　以上がApéryの加速法についての概説となります。
　そして次回以降の記事ではそれぞれ次のようなことについて解説していこうと思います。お楽しみに。

第二回：Bauer-Muir変換
この記事ではApéryの加速法の中核をなす手法であるBauer-Muir変換の一般論について解説します。
第三回：Bauer-Muir加速
この記事ではどのような連分数に対しにどのようなBauer-Muir変換を考えることで連分数の加速が引き起こされるのかについて解説します。
第四回：Birkhoff-Adamsの定理
この記事では三項間漸化式の解の漸近挙動に関する非常に強力な定理：Birkhoff-Adamsの定理について紹介し、またそれを用いてBauer-Muir加速法がどの程度の加速を引き起こすのかを求めます。
第五回：Apéryの加速法
この記事ではApéryの加速法、つまり反復Bauer-Muir変換によってどのような公式が得られるのかについて解説します。
第六回：計算例
この記事では$\log2,\z(2),\z(3)$などの級数に対するApéryの加速法の計算例や、特殊な場合における発展的な計算法について解説します。
第七回：Apéryの定理
この記事ではApéryの加速法とApéryの定理との関係について解説します。
第八回：漸化式を解く
この記事ではApéryの加速法によって得られる数列$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$の明示形に関する個人的な考察について紹介します。
第九回：その他の計算例
この記事には個人的に計算したその他の計算例をメモしておきます。