Apéryの加速法2：Bauer-Muir変換
はじめに
この記事では
前回の記事
の続きとしてApéryの加速法の中核をなす手法であるBauer–Muir変換というものについて解説していきます。
ただし今回の記事ではBauer–Muir変換に関する一般論について紹介するだけに留め、Apéryの加速法における応用法については次回以降の記事で深堀りしていくこととします。
なお連分数の基本性質については
この記事
や
この記事
などに書き散らしてあるので参考までに。
Bauer-Muir変換
Bauer-Muir変換とは与えられた連分数
$$x=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc$$
に対し、その収束分数
$$\frac{p_n}{q_n}=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}$$
の末尾をズラした分数
$$\frac{P_n}{Q_n}=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n+r_n}$$
を考えることで、$x$に収束する(と期待される)新たな連分数
$$\frac{P_n}{Q_n}=A_0+\frac{B_1}{A_1}\p\frac{A_2}{B_2}\p\cc\p\frac{B_n}{A_n}$$
を構成する手法のことを言います。
変換公式
いまこのようにして得られる
\begin{align}
\frac{P_n}{Q_n}
&=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n+r_n}\\
&=A_0+\frac{B_1}{A_1}\p\frac{A_2}{B_2}\p\cc\p\frac{B_n}{A_n}
\end{align}
という変換のことをBauer–Muir変換と言い、$A_n,B_n$は具体的に次のように表すことができます。
ここで
連分数の記事
の命題2として示したように
$$\frac{p_n+Xp_{n-1}}{q_n+Xq_{n-1}}
=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n+X}$$
が成り立つので、$P_n,Q_n$は
\begin{align}
P_n&=p_n+r_np_{n-1}\\
Q_n&=q_n+r_nq_{n-1}
\end{align}
と表せることに注意しましょう。
数列$a_n,b_n$が定める収束分数
$$\frac{p_n}{q_n}=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}$$
と数列$r_n$に対し
\begin{align}
P_n&=p_n+r_np_{n-1}\\
Q_n&=q_n+r_nq_{n-1}
\end{align}
および
$$d_n=r_n(a_{n+1}+r_{n+1})-b_{n+1}$$
とおくと
$$\frac{P_n}{Q_n}=a_0+r_0-\frac{d_0}{a_1+r_1}\p\K^n_{m=2}\frac{b_{m-1}d_{m-1}/d_{m-2}}{a_m+r_m-r_{m-2}d_{m-1}/d_{m-2}}$$
が成り立つ。
$$\begin{pmatrix}p_{-1}&p_0&p_1\\q_{-1}&q_0&q_1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&a_0&a_0a_1+b_1\\0&1&a_1\end{pmatrix}$$
より$P_n,Q_n$の初項は
$$\begin{pmatrix}P_0&P_1\\Q_0&Q_1\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a_0+r_0&a_0(a_1+r_1)+b_1\\1&a_1+r_1\end{pmatrix}$$
と求まるので、
この記事
の公式4から
$$A_n=\frac{P_nQ_{n-2}-P_{n-2}Q_n}{P_{n-1}Q_{n-2}-P_{n-2}Q_{n-1}},\quad
B_n=-\frac{P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n}{P_{n-1}Q_{n-2}-P_{n-2}Q_{n-1}}$$
とおいたとき
\begin{align}
\frac{P_n}{Q_n}
&=P_0+\frac{P_1-P_0Q_1}{Q_1}\p\frac{B_2}{A_2}\p\cc\p\frac{B_n}{A_n}\\
&=a_0+r_0-\frac{d_0}{a_1+r_1}\p\frac{B_2}{A_2}\p\cc\p\frac{B_n}{A_n}
\end{align}
と表せるのであった。
したがって
$$A_n=a_n+r_n-r_{n-2}\frac{d_{n-1}}{d_{n-2}},\quad B_n=b_{n-1}\frac{d_{n-1}}{d_{n-2}}$$
であること、つまり$X_n=P_n,Q_n$が同じ漸化式
$$X_n=\l(a_n+r_n-r_{n-2}\frac{d_{n-1}}{d_{n-2}}\r)X_{n-1}
+b_{n-1}\frac{d_{n-1}}{d_{n-2}}X_{n-2}$$
を満たすことを示せばよい。
いま$p_n,q_n$の満たす漸化式から$X_n,X_{n-2}$は
\begin{align}
X_n&=(a_nx_{n-1}+b_nx_{n-2})+r_nx_{n-1}\\
b_{n-1}X_{n-2}&=b_{n-1}x_{n-2}+r_{n-2}(x_{n-1}-a_{n-1}x_{n-2})
\end{align}
と変形でき、これを整理すると
$$\begin{pmatrix}X_n\\X_{n-1}\\b_{n-1}X_{n-2}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
a_n+r_n&b_n\\
1&r_{n-1}\\
r_{n-2}&r_{n-1}r_{n-2}-d_{n-2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_{n-1}\\x_{n-2}\end{pmatrix}$$
が成り立つ。
そしてこの下二段を
\begin{align}
\begin{pmatrix}x_{n-1}\\x_{n-2}\end{pmatrix}
&=\frac1{-d_{n-2}}\begin{pmatrix}r_{n-1}r_{n-2}-d_{n-2}&-r_{n-1}\\-r_{n-2}&1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}X_{n-1}\\b_{n-1}X_{n-2}\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}X_{n-1}\\0\end{pmatrix}
-\frac1{d_{n-2}}\begin{pmatrix}r_{n-1}\\-1\end{pmatrix}(r_{n-2}X_{n-1}-b_{n-1}X_{n-2})
\end{align}
と変形することで
\begin{align}
X_n
&=\begin{pmatrix}a_n+r_n&b_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{n-1}\\x_{n-2}\end{pmatrix}\\
&=(a_n+r_n)X_{n-1}-\frac{d_{n-1}}{d_{n-2}}(r_{n-2}X_{n-1}-b_{n-1}X_{n-2})
\end{align}
を得る。
また始点を少し変えることで次のような公式も得られます。
$$\frac{P_n/Q_1}{Q_n/Q_1} =a_0+\frac{b_1}{a_1+r_1}+\frac{b_1d_1/(a_1+r_1)^2}{a_2+r_2-d_1/(a_1+r_1)} \p\K^{n-1}_{m=2}\frac{b_md_m/d_{m-1}}{a_{m+1}+r_{m+1}-r_{m-1}d_m/d_{m-1}}$$
この式は変換の前後において$b_m$の位置が変わらない、という点でしばしば役に立ちます。
収束性について
いまBauer-Muir変換の目的としては
\begin{align}
x&=a_0+\K^\infty_{n=1}\frac{b_n}{a_n}\\
&=a_0+r_0-\frac{d_0}{a_1+r_1}
\p\K^\infty_{n=2}\frac{b_{n-1}d_{n-1}/d_{n-2}}{a_n+r_n-r_{n-2}d_{n-1}/d_{n-2}}
\end{align}
という変換公式を得ることにありますが、これはいつでも成り立つわけではありません。
実際、任意の数列$s_n$に対し
$$r_n=-\frac{p_n-s_nq_n}{p_{n-1}-s_nq_{n-1}}$$
とおくと
$$\frac{P_n}{Q_n}=\frac{p_n+r_np_{n-1}}{q_n+r_nq_{n-1}}=s_n$$
が成り立つように、$r_n$の取り方によっては$P_n/Q_n$を任意の値に収束させることができます。
とは言いつつも実のところ$P_n/Q_n$が$x$に収束しないような$r_n$は全て同じような漸近挙動を持ち、その例外を除いてほとんどの$r_n$に対し$P_n/Q_n\to x$となることが次のようにして分かります。
定理1の状況において$p_n/q_n$および$r_n$が
$$\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{q_n}=x,\quad
\liminf_{n\to\infty}\l|\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n+1\r|\neq0$$
を満たすとき
$$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{Q_n}=x$$
が成り立つ。
仮定より
$$\lim_{n\to\infty}\l(\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\r)=0,\quad
\limsup_{n\to\infty}\l|\frac1{1+\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n}\r|<\infty$$
が成り立つことに注意すると
\begin{align}
\frac{P_n}{Q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}
&=\frac{p_n+r_np_{n-1}}{q_n+r_nq_{n-1}}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\\
&=\frac{p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n}{(q_n+r_nq_{n-1})q_{n-1}}\\
&=\frac1{1+\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n}\l(\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\r)\\
&\to0
\end{align}
つまり
$$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{Q_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{q_n}=x$$
を得る。
例えば$q_n/q_{n-1}$が収束、または無限大に発散するときを考えると次のような収束定理が得られます。
$$\lim_{n\to\infty}\frac{q_n}{q_{n-1}}=\a\quad
\l(\mathrm{resp.}\quad\lim_{n\to\infty}\l|\frac{q_n}{q_{n-1}}\r|=\infty\r)$$
であるとき
$$\lim_{n\to\infty}r_n\neq-\a\quad
\l(\mathrm{resp.}\quad\lim_{n\to\infty}|r_n|<\infty\r)$$
であれば$P_n/Q_n\to x$が成り立つ。
Jacobsenの定理
ちなみに$x=\infty$の場合にも定理2と同様の主張を示すことができ、それらを統括した次の主張のことをJacobsenの定理と言います。
以下、数列$x_n$に対し
$$\lim_{n\to\infty}x_n=\infty\quad\stackrel{\mathrm{def}}\iff\quad\lim_{n\to\infty}\frac1{x_n}=0$$
と定めるものとします。
定理1の状況において$p_n/q_n$が
$$\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{q_n}=x\in\C\cup\{\infty\}$$
を満たすとき、任意に$y\neq x$を取り数列$y_n$を
$$y=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n+y_n}$$
によって定める、つまり
$$y_n=-\frac{p_n-q_ny}{p_{n-1}-q_{n-1}y}$$
とおくと
$$\liminf_{n\to\infty}\l|\frac{r_n}{y_n}-1\r|\neq0$$
を満たすような任意の数列$r_n$に対し
$$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{Q_n}=x$$
が成り立つ。
なお実際のJacobsenの定理においては$r_n$についての条件が「リーマン球面上の距離関数$d$について$\liminf d(y_n,r_n)\neq0$が成り立つ」こととなっており、上の主張はこれを個人的に改造したものとなっています。
$x\neq\infty$であるときは
\begin{align}
y_n
&=-\frac{q_n}{q_{n-1}}\frac{y-\frac{p_n}{q_n}}{y-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}}\\
&\sim-\frac{q_n}{q_{n-1}}\frac{y-x}{y-x}=-\frac{q_n}{q_{n-1}}
\end{align}
に注意すると
$$\liminf_{n\to\infty}\l|\frac{r_n}{y_n}-1\r|\neq0\quad\iff\quad
\liminf_{n\to\infty}\l|\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n+1\r|\neq0$$
が成り立つので定理2より$P_n/Q_n\to x$を得る。
また$x\neq0$であるときは同様に
$$\liminf_{n\to\infty}\l|\frac{r_n}{y_n}-1\r|\neq0\quad\iff\quad
\liminf_{n\to\infty}\l|\frac{p_{n-1}}{p_n}r_n+1\r|\neq0$$
および
$$\frac{Q_n}{P_n}-\frac{q_{n-1}}{p_{n-1}}
=\frac1{1+\frac{p_{n-1}}{p_n}r_n}\l(\frac{q_n}{p_n}-\frac{q_{n-1}}{p_{n-1}}\r)$$
が成り立つことから$Q_n/P_n\to1/x$を得る。
一般の場合について
なお上の証明の本質は
$$\frac{P_n}{Q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}
=\frac1{1+\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n}\l(\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\r)$$
が成り立つことにあったので
$$\liminf_{n\to\infty}\l|\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n+1\r|=0$$
が成り立つような場合でも
$$\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n+1,\quad\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$$
の漸近挙動がそれぞれわかっていれば直接$P_n/Q_n\to x$を示せることに注意しましょう。
$$\z(2)=\sum^\infty_{n=1}\frac1{n^2}$$
に対してオイラーの連分数公式を用いることで得られる連分数
$$\z(2)=\frac11\p\K^\infty_{n=1}\frac{-n^4}{2n^2+2n+1}$$
について
$$p_n=(n!)^2\sum^n_{k=1}\frac1{k^2},\quad q_n=(n!)^2$$
が成り立つことに注意する。
このとき$r_n=-n^2+n-\frac12$とおくと
$$\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n+1=\frac{n-\frac12}{n^2}\to0$$
なのでJacobsenの定理は使えないが
$$\frac1{1+\frac{q_{n-1}}{q_n}r_n}\l(\frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}\r)
=\frac{n^2}{n-\frac12}\c\frac1{n^2}\to0$$
より$P_n/Q_n\to x$となることがわかる。
ちなみにこれによって
$$\z(2)=2-\frac13\p\K^\infty_{n=1}\frac{-n^4}{2n^2+2n+3}$$
が得られる。
なおApéryの加速法において考えるBauer-Muir変換は基本的にその正当性が保証されているので、一々上のような議論を行う必要はありません。
応用例
ということで以下ではBauer-Muir変換の応用例として、ラマヌジャンに関係する連分数の等式を$2$つほど紹介していきましょう。
なおその$2$つの連分数に関するBauer-Muir変換の正当性については、以下の補題を使うことで簡単に確かめられます。
数列$a_n,b_n$がそれぞれ有限値$a,b$に収束し、また二次方程式
$$\la^2=a\la+b$$
が$2$つの絶対値の異なる解$\la=\a,\b\quad(|\a|>|\b|)$を持つとする。
このとき$p_n/q_n$はある$x\in\C\cup\{\infty\}$に収束し、また定理3のような$y_n$について
$$\lim_{n\to\infty}y_n=-\a$$
が成り立つ。
証明
このような仮定において三項間漸化式
$$x_n=a_nx_{n-1}+b_nx_{n-2}$$
は
$$\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{u_{n-1}}=\a,\quad
\lim_{n\to\infty}\frac{v_n}{v_{n-1}}=\b$$
を満たすような基本解$x_n=u_n,v_n$を持つことが知られている。このとき
$$\lim_{n\to\infty}\frac{v_n}{u_n}=0$$
が成り立つことに注意する。
いま$x_n=p_n,q_n$も上の漸化式を満たすので、ある定数$A,B,C,D$が存在して
$$p_n=Au_n+Bv_n,\quad q_n=Cu_n+Dv_n$$
と表せ、特に
$$\det\begin{pmatrix}
p_n&q_n\\p_{n-1}&q_{n-1}
\end{pmatrix}=(-1)^{n-1}\prod^n_{k=1}b_k\neq0$$
より$p_n,q_n$は線形独立であることに注意すると$A\neq0$または$C\neq0$が成り立つ。
したがって
$$\lim_{n\to\infty}\frac{p_n}{q_n}
=\lim_{n\to\infty}\frac{Au_n+Bv_n}{Cu_n+Dv_n}=\frac AC\in\C\cup\{\infty\}$$
が成り立ち、また任意の$y\neq A/C$に対し
\begin{align}
\lim_{n\to\infty}y_n
&=\lim_{n\to\infty}-\frac{p_n-q_ny}{p_{n-1}-q_{n-1}y}\\
&=\lim_{n\to\infty}-\frac{(A-Cy)u_n+(B-Dy)v_n}{(A-Cy)u_{n-1}+(B-Dy)v_{n-1}}\\
&=\lim_{n\to\infty}-\frac{u_n}{u_{n-1}}=-\a
\end{align}
となることがわかる。
$x\geq0$および$|q|<1$において
$$\a=\frac{\sqrt{1+4x}+1}2,\quad\b=\frac{\sqrt{1+4x}-1}2$$
とおくと
$$1+\K^\infty_{n=1}\frac{x+q^n}1
=\a+\K^\infty_{n=1}\frac{q^n}{\a+\b q^n}$$
が成り立つ。
証明
$$\a-\b=1,\quad\a\b=x$$
が成り立つことに注意して
$$C_k=\a+\K^\infty_{n=1}\frac{(x+q^n)q^k}{\a-\b q^k},\quad r_n=\b q^k$$
についてBauer-Muir変換を考えると
$$d_n=\b q^k(\b q^k+(\a-\b q^k))-(x+q^{n+1})q^k=-q^{n+k+1}$$
と求まるので
\begin{align}
C_k&=\a+\b q^k+\frac{q^{k+1}}\a\p\K^\infty_{n=1}\frac{(x+q^n)q^{k+1}}{\a-\b q^{k+1}}\\
&=\a+\b q^k+\frac{q^{k+1}}{C_{k+1}}
\end{align}
が成り立つ。
よって
\begin{align}
1+\K^\infty_{n=1}\frac{x+q^n}1
&=C_0-\b\\
&=\a+\frac q{C_1}\\
&=\a+\frac q{\a+\b q}\p\frac{q^2}{C_2}\\
&=\a+\frac q{\a+\b q}\p\frac{q^2}{\a+\b q^2}\p\frac{q^3}{C_3}\\
&=\cdots\\
&=\a+\K^\infty_{n=1}\frac{q^n}{\a+\b q^n}
\end{align}
を得る(最後の等号に関する正当性は省略)。
以下、連分数の奇数項と偶数項を明示的に表すのに
$$\K^\infty_{n=1}\frac{b_n}{a_n}
=\K^\infty_{n=1}\l(\frac{b_{2n-1}}{a_{2n-1}}\p\frac{b_{2n}}{a_{2n}}\r)$$
という記法を用いることとする(この記法は一般的ではない)。
$|q|<1$において
$$\K^\infty_{n=1}\l(\frac{q^{4n-3}}1\p\frac{q^{2n}+q^{4n-1}}1\r)
=\K^\infty_{n=1}\frac{q^{2n-1}}{1+q^{2n}}$$
が成り立つ。
証明
$$A_k=1+\K^\infty_{n=1}\l(\frac{q^{2n+2k}+q^{4n+2k-1}}1\p\frac{q^{4n+2k+1}}1\r)$$
および
$$r_{2n}=q^{2n+2k+2},\quad r_{2n+1}=0$$
についてBauer-Muir変換を考えると
$$d_{2n}=-q^{4n+2k+3},\quad d_{2n+1}=-q^{4n+2k+5}$$
つまり$d_n=-q^{2n+2k+3}$と求まるので
\begin{align}
A_k&=1+q^{2k+2}+\frac{q^{2k+3}}1
\p\K^\infty_{n=1}\l(\frac{q^{2n+2k+2}+q^{4n+2k+1}}1\p\frac{q^{4n+2k+3}}1\r)\\
&=1+q^{2k+2}+\frac{q^{2k+3}}{A_{k+1}}
\end{align}
が成り立つ。
よって
\begin{align}
\K^\infty_{n=1}\l(\frac{q^{4n-3}}1\p\frac{q^{2n}+q^{4n-1}}1\r)
&=\frac q{A_0}\\
&=\frac q{1+q^2}\p\frac{q^3}{A_1}\\
&=\frac q{1+q^2}\p\frac{q^3}{1+q^4}\p\frac{q^5}{A_2}\\
&=\frac q{1+q^2}\p\frac{q^3}{1+q^4}\p\frac{q^5}{1+q^6}\p\frac{q^7}{A_3}\\
&=\cdots\\
&=\K^\infty_{n=1}\frac{q^{2n-1}}{1+q^{2n}}
\end{align}
を得る(最後の等号に関する正当性は省略)。
ちなみにラマヌジャンによると
\begin{align}
\prod^\infty_{n=1}\frac{1+q^{4n-3}}{1+q^{4n-1}}
&=1+\K^\infty_{n=1}\l(\frac{q^{4n-3}}1\p\frac{q^{2n}+q^{4n-1}}1\r)\\
&=1+\K^\infty_{n=1}\frac{q^{2n-1}}{1+q^{2n}}
\end{align}
が成り立つそうです。
おまけ
ちなみに考える連分数の範囲を
$$\K^\infty_{n=1}\frac{b_n}{a_n},\quad\K^\infty_{n=1}\frac{-b_n}{a_n}\quad(a_n,b_n>0)$$
という形のものに限定したとき、一次分数関数
$$f_n(X)=\frac{p_n+Xp_{n-1}}{q_n+Xq_{n-1}}$$
の単調性を利用して$f_n(r_n)=P_n/Q_n$を
$$f_n(0)=\frac{p_n}{q_n},\quad f_n(\infty)=\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$$
などの適当な収束分数で挟み込むことで次のような収束定理も得られます。
これらはJacobsenの定理ほど万能な判定法ではありませんが、わざわざ$q_n$の挙動を調べなくても$a_n,b_n$と$r_n$を比較するだけでいいので、そこそこ便利な収束判定法となっています。
定理1の状況において$a_n,b_n>0$かつ$r_n\geq-a_n$であれば
$$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{Q_n}=x$$
が成り立つ。
仮定より$q_n>0$が成り立つことに注意すると、一次分数関数
$$f_n(X)=\frac{p_n+Xp_{n-1}}{q_n+Xq_{n-1}}$$
は$X\geq-a_n$において連続であり、またその単調性から$f_n(r_n)$は
$$f_n(-a_n)=\frac{p_{n-2}}{q_{n-2}},\quad f_n(\infty)=\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}}$$
の間に存在することになるので、挟み撃ちの原理から$f_n(r_n)\to x$を得る。
定理1の状況において$b_n<0< a_n$かつ$q_n>0$かつ$r_n$が
$$r_n\leq-a_n\quad\text{または}\quad\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\leq r_n$$
を満たすとき
$$\lim_{n\to\infty}\frac{P_n}{Q_n}=x$$
が成り立つ。
仮定より一次分数関数
$$f_n(X)=\frac{p_n+Xp_{n-1}}{q_n+Xq_{n-1}}$$
は$X<-a_n$または$b_{n+1}/a_{n+1}< X$において連続であり、またその単調性から$f_n(r_n)$は
$$f_n(-a_n)=\frac{p_{n-2}}{q_{n-2}},\quad
f_n\l(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\r)=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}$$
の間に存在することになるので、挟み撃ちの原理から$f_n(r_n)\to x$を得る。
特に$b_{n+1}/a_{n+1}< r_n$であれば$P_n/Q_n$も$Q_n>q_{n+1}/a_{n+1}>0$を満たすので、$P_n/Q_n$に対して再びBauer-Muir変換を施したいときにも、またこの定理が使えることに注意しましょう。
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