連分数の公式まとめ
はじめに
この記事では連分数に関するいろいろな公式について簡単にまとめていきます。
気が向いたときに随時新たな公式を追記することもあるかもしれません。
記法について
なおこの記事では連分数
$$a_0+\dfrac{b_1}{a_1+\dfrac{b_2}{a_2+\dfrac{b_3}{a_3+{\atop\ddots}}}}$$
のことを
$$a_0+\K^\infty_{n=1}\frac{b_n}{a_n}\quad\text{や}\quad
a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\frac{b_3}{a_3}\p\cc$$
と表記することがあります。
収束分数
以下の主張は全て この記事 にて示しているので、証明は省略します。
数列$p_n,q_n$を
$$p_{-1}=1,\quad p_0=a_0,\quad q_{-1}=0,\quad q_0=1$$
および漸化式
\begin{align}
p_n&=a_np_{n-1}+b_np_{n-2}\\
q_n&=a_nq_{n-1}+b_nq_{n-2}
\end{align}
によって定めると
$$\frac{p_n}{q_n}
=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}$$
が成り立つ。これを$n$次の収束分数と言う。
\begin{align} \frac{p_n+p_{n-1}x}{q_n+q_{n-1}x} &=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}\p\frac{b_n}{a_n+x}\\ \frac{p_nx+p_{n-1}}{q_nx+q_{n-1}} &=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_{n-1}}{a_{n-1}}\p\frac{b_n}{a_n}\p\frac1x \end{align}
$$\frac{p_nx+q_n}{p_{n-1}x+q_{n-1}}
=a_n+\frac{b_n}{a_{n-1}}\p\cc\p\frac{b_2}{a_1}\p\frac{b_1}{a_0}\p\frac1x$$
特に
\begin{align}
\frac{p_n}{p_{n-1}}&=a_n+\frac{b_n}{a_{n-1}}\p\cc\p\frac{b_2}{a_1}\p\frac{b_1}{a_0}\\
\frac{q_n}{q_{n-1}}&=a_n+\frac{b_n}{a_{n-1}}\p\cc\p\frac{b_2}{a_1}
\end{align}
が成り立つ。
\begin{align} \frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} &=(-1)^{n-1}\frac1{q_nq_{n-1}}\prod^n_{k=1}b_k\\ \frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-2}}{q_{n-2}} &=(-1)^{n\phantom{-1}}\frac{a_n}{q_nq_{n-2}}\prod^{n-1}_{k=1}b_k \end{align}
$$\frac{p_n}{q_n} =a_0+\sum^n_{k=1}\frac{(-1)^{k-1}}{q_kq_{k-1}}\prod^k_{j=1}b_j$$
\begin{align} \begin{pmatrix}p_{n-1}&p_n\\q_{n-1}&q_n\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}1&a_0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&b_1\\1&a_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&b_2\\1&a_2\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}0&b_n\\1&a_n\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}b_1&a_0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\b_2&a_1\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}0&1\\b_n&a_{n-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\1&a_n\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}p_n&p_{n-1}\\q_n&q_{n-1}\end{pmatrix} &=\begin{pmatrix}a_0&1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1&1\\b_1&0\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}a_{n-1}&1\\b_{n-1}&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_n&1\\b_n&0\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}a_0&b_1\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1&b_2\\1&0\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}a_{n-1}&b_n\\1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_n&1\\1&0\end{pmatrix} \end{align}
$$p_n =\begin{vmatrix} a_0&b_1&0&0&\cdots&0&0&0\\ -1&a_1&b_2&0&\cdots&0&0&0\\ 0&-1&a_2&b_3&\cdots&0&0&0\\ 0&0&-1&a_3&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&0&\cdots&a_{n-2}&b_{n-1}&0\\ 0&0&0&0&\cdots&-1&a_{n-1}&b_n\\ 0&0&0&0&\cdots&0&-1&a_n\\ \end{vmatrix},\quad q_n =\begin{vmatrix} a_1&b_2&0&\cdots&0&0&0\\ -1&a_2&b_3&\cdots&0&0&0\\ 0&-1&a_3&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_{n-2}&b_{n-1}&0\\ 0&0&0&\cdots&-1&a_{n-1}&b_n\\ 0&0&0&\cdots&0&-1&a_n\\ \end{vmatrix}$$
一番下の行について余因子展開を考えることで
\begin{align}
p_n&=a_np_{n-1}+b_np_{n-2}\\
q_n&=a_nq_{n-1}+b_nq_{n-2}
\end{align}
が成り立つことに注意するとわかる。
連分数の変形
$$a_0+\dfrac{b_1}{a_1+\dfrac{b_2}{a_2+\dfrac{b_3}{a_3+\dfrac{b_4}{a_4+\cd}}}} =a_0+\dfrac{\la_1b_1}{\la_1a_1+\dfrac{\la_1\la_2b_2}{\la_2a_2+\dfrac{\la_2\la_3b_3}{\la_3a_3+\dfrac{\la_3\la_4b_4}{\la_4a_4+\cd}}}}$$
\begin{align}
p'_n&=\la_1\la_2\cdots\la_np_n\\
q'_n&=\la_1\la_2\cdots\la_nq_n
\end{align}
とおくと、これが
\begin{align}
p'_n&=\la_na_np'_{n-1}+\la_n\la_{n-1}b_np'_{n-2}\\
q'_n&=\la_na_nq'_{n-1}+\la_n\la_{n-1}b_nq'_{n-2}
\end{align}
を満たすことからわかる。
$$\dfrac{\frac{b_1}{d_1}}{\frac{a_1}{c_1}+\dfrac{\frac{b_2}{d_2}}{\frac{a_2}{c_2}+\dfrac{\frac{b_3}{d_3}}{\frac{a_3}{c_3}+\cd}}} =\dfrac{b_1c_1}{a_1d_1+\dfrac{b_2c_1c_2d_1}{a_2d_2+\dfrac{b_3c_2c_3d_2}{a_3d_3+\dfrac{b_4c_3c_4d_3}{a_4d_4+\cd}}}}$$
$$\dfrac{b_1}{a_1+\dfrac{b_2}{a_2+\dfrac{b_3}{a_3+\dfrac{b_4}{a_4+\cd}}}} =\dfrac1{a_1\c\dfrac1{b_1}+\dfrac1{a_2\c\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac1{a_3\c\dfrac{b_2}{b_1b_3}+\dfrac1{a_4\c\dfrac{b_1b_3}{b_2b_4}+\cd}}}}$$
\begin{align} &\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b'_1}{a'_1} \p\frac{b_2}{a_2}\p\frac{b'_2}{a'_2} \p\frac{b_3}{a_3}\p\frac{b'_3}{a'_3}\p\cc\\ ={}&\frac{b_1a'_1}{b'_1+a_1a'_1} \m\frac{b'_1b_2a'_2/a'_1}{b'_2+a_2a'_2+b_2a'_2/a'_1} \m\frac{b'_2b_3a'_3/a'_2}{b'_3+a_3a'_3+b_3a'_3/a'_2}\m\cc \end{align}
$$\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b'_1}{a'_1}
\p\frac{b_2}{a_2}\p\frac{b'_2}{a'_2}
\p\frac{b_3}{a_3}\p\frac{b'_3}{a'_3}\p\cc$$
の$n$次の収束分数を$p_n/q_n$とおいたとき、$x_n=p_n,q_n$は漸化式
\begin{align}
x_{2n-2}&=a'_{n-1}x_{2n-3}+b'_{n-1}x_{2n-4}\\
x_{2n-1}&=a_nx_{2n-2}+b_nx_{2n-3}\\
x_{2n}&=a'_nx_{2n-1}+b'_nx_{2n-2}
\end{align}
を満たすので、これを$x_{2n},x_{2n-2},x_{2n-4}$について整理していくと
\begin{align}
x_{2n}
&=a'_n(a_nx_{2n-2}+b_nx_{2n-3})+b'_nx_{2n-2}\\
&=(b'_n+a_na'_n)x_{2n-2}+b_na'_n\frac{x_{2n-2}-b'_{n-1}x_{2n-4}}{a'_{n-1}}\\
&=\l(b'_n+a_na'_n+\frac{b_na'_n}{a'_{n-1}}\r)x_{2n-2}-\frac{b_na'_n}{a'_{n-1}}b'_{n-1}x_{2n-4}
\end{align}
が成り立つ。
したがって
$$\frac{p_0}{q_0}=0,\quad\frac{p_2}{q_2}=\frac{b_1a'_1}{b'_1+a_1a'_1}$$
に注意すると
$$\frac{p_{2n}}{q_{2n}}
=\frac{b_1a'_1}{b'_1+a_1a'_1}
\m\frac{b'_1b_2a'_2/a'_1}{b'_2+a_2a'_2+b_2a'_2/a'_1}\m\cc
\m\frac{b'_{n-1}b_na'_n/a'_{n-1}}{b'_n+a_na'_n+b_na'_n/a'_{n-1}}$$
を得る。
$$\K^\infty_{n=1}\frac{b_n}{a_n} =\frac{b_1a_2}{b_2+a_1a_2} \p\K^\infty_{n=2}\frac{-b_{2n-2}b_{2n-1}a_{2n}/a_{2n-2}}{b_{2n}+a_{2n-1}a_{2n-2}+b_{2n-1}a_{2n}/a_{2n-2}}$$
\begin{align} &a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\frac{b_3}{a_3}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}\\ ={}&a_0+\frac{b_1}{a_1}-\frac{b_1b_2/a_1^2}{a_2+b_2/a_1}\p\frac{b_3}{a_3}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}\\ ={}&\frac{a_0}1\m\frac{b_1/a_0}{b_1/a_0+a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\frac{b_3}{a_3}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}\\ \end{align}
下の公式を$P_n/Q_n=p_{n+1}/q_{n+1}$や$P_n/Q_n=p_{n-1}/q_{n-1}$について適用することでわかる(ただし$p_{-1}=0,q_{-1}=1$とした)。
数列の連分数化
$$a_n=\frac{P_nQ_{n-2}-P_{n-2}Q_n}{P_{n-1}Q_{n-2}-P_{n-2}Q_{n-1}},\quad
b_n=-\frac{P_nQ_{n-1}-P_{n-1}Q_n}{P_{n-1}Q_{n-2}-P_{n-2}Q_{n-1}}$$
とおくと
$$\frac{P_n/Q_0}{Q_n/Q_0}=\frac{P_0}{Q_0}+\frac{(P_1Q_0-P_0Q_1)/Q_0^2}{Q_1/Q_0}
\p\frac{b_2}{a_2}\p\frac{b_3}{a_3}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}$$
が成り立つ。
$$\frac{P_n/Q_0}{Q_n/Q_0}=a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}$$
なる連分数を考えると、$P_n,Q_n$は$n\geq2$において漸化式
$$\begin{pmatrix}P_n\\Q_n\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}P_{n-1}&P_{n-2}\\Q_{n-1}&Q_{n-2}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$$
を満たすことから、その係数$a_n,b_n$は
\begin{align}
\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}
&=\frac1{P_{n-1}Q_{n-2}-P_{n-2}Q_{n-1}}
\begin{pmatrix}Q_{n-2}&-P_{n-2}\\-Q_{n-1}&P_{n-1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}P_n\\Q_n\end{pmatrix}\\
&=\frac1{P_{n-1}Q_{n-2}-P_{n-2}Q_{n-1}}
\begin{pmatrix}P_nQ_{n-2}-P_{n-2}Q_{n}\\P_{n-1}Q_n-P_nQ_{n-1}\end{pmatrix}
\end{align}
と決定できる。
また便宜的に
$$\frac1{Q_0}\begin{pmatrix}P_{-1}&P_{-2}\\Q_{-1}&Q_{-2}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$
とおくと上の議論は$n=0,1$においても成り立つので
$$a_0=\frac{P_0}{Q_0},\quad a_1=\frac{Q_1}{Q_0},\quad b_1=\frac{P_1Q_0-P_0Q_1}{Q_0^2}$$
と決定できる。
$$a_n=\frac{c_n-c_{n-2}}{c_{n-1}-c_{n-2}},\quad
b_n=\frac{c_{n-1}-c_n}{c_{n-1}-c_{n-2}}$$
とおくと
\begin{align}
c_n
&=c_0+\frac{c_1-c_0}1\p\frac{b_2}{a_2}\p\frac{b_3}{a_3}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n}\\
&=c_0+\frac{c_1-c_0}1\m\frac{c_2-c_1}{c_2-c_0}\m\frac{(c_1-c_0)(c_3-c_2)}{c_3-c_1}\m\cc\m\frac{(c_{n-2}-c_{n-3})(c_n-c_{n-1})}{c_n-c_{n-2}}
\end{align}
$r_n=a_{n+1}/a_n$とおくと
\begin{align}
\sum^\infty_{n=0}a_n
&=\dfrac{a_0}{1-\dfrac{r_0}{1+r_0-\dfrac{r_1}{1+r_1-\dfrac{r_2}{1+r_2-\cd}}}}\\
&=\dfrac{a_0}{1-\dfrac{a_1}{a_0+a_1-\dfrac{a_0a_2}{a_1+a_2-\dfrac{a_1a_3}{a_2+a_3-\cd}}}}\\
\sum^\infty_{n=0}\frac{a_n}{b_n}
&=\dfrac{a_0}{b_0-\dfrac{a_1b_0^2}{a_0b_1+a_1b_0-\dfrac{a_0a_2b_1^2}{a_1b_2+a_2b_1-\dfrac{a_1a_3b_2^2}{a_2b_3+a_3b_2-\cd}}}}\\
\end{align}
$$c_n=\sum^{n-1}_{k=0}a_k$$
について公式5を考えたり、公式1を用いて変形したりすることでわかる。
$r_n=a_{n+1}/a_n$とおくと
\begin{align}
\sum^\infty_{n=0}(-1)^na_n
&=\dfrac{a_0}{1+\dfrac{r_0}{1-r_0+\dfrac{r_1}{1-r_1+\dfrac{r_2}{1-r_2+\cd}}}}\\
&=\dfrac{a_0}{1+\dfrac{a_1}{a_0-a_1+\dfrac{a_0a_2}{a_1-a_2+\dfrac{a_1a_3}{a_2-a_3+\cd}}}}\\
\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{a_n}{b_n}
&=\dfrac{a_0}{b_0+\dfrac{a_1b_0^2}{a_0b_1-a_1b_0+\dfrac{a_0a_2b_1^2}{a_1b_2-a_2b_1+\dfrac{a_1a_3b_2^2}{a_2b_3-a_3b_2+\cd}}}}\\
\end{align}
この記事
の例6の式を通分することで
\begin{align}
\frac\pi2
&=1+\dfrac1{\frac11+\dfrac1{\frac12+\dfrac1{\frac13+\cd}}}\\
&=1+\dfrac1{1+\dfrac{1\c2}{1+\dfrac{2\c3}{1+\dfrac{3\c4}{1+\cd}}}}
\end{align}
が成り立つ。
$$\frac\pi4=\sum^\infty_{n=0}\frac{(-1)^n}{2n+1}$$
を連分数に表すことで
$$\frac\pi4=\dfrac1{1+\dfrac{1^2}{2+\dfrac{3^2}{2+\dfrac{5^2}{2+\cd}}}}$$
が成り立つ。
$s_n=(1+a_{n-1})a_n/a_{n-1}$とおくと
$$\prod^\infty_{n=0}(1+a_n)
=1+\dfrac{a_0}{1-\dfrac{s_1}{1+s_1-\dfrac{s_2}{1+s_2-\dfrac{s_3}{1+s_3-\cd}}}}$$
$$c_n=\prod^{n-1}_{k=0}(1+a_k)$$
について公式5を考えることでわかる。
\begin{align} \prod^\infty_{n=0}(1+a_nx) &=1+\frac{a_0x}1\m\frac{(1+a_0x)a_1}{a_0+a_1+a_0a_1x} \p\K^\infty_{n=2}\frac{-(1+a_{n-1})a_{n-2}a_n}{a_{n-1}+a_n+a_{n-1}a_nx}\\ \prod^\infty_{n=0}\l(1+\frac{a_n}{b_n}x\r) &=1+\frac{a_0x}{b_0}\m\frac{(b_0+a_0x)b_0a_1}{a_0b_1+a_1b_0+a_0a_1x} \p\K^\infty_{n=2}\frac{-(b_{n-1}+a_{n-1}x)a_{n-2}b_{n-1}a_n}{a_{n-1}b_n+a_nb_{n-2}+a_{n-1}a_nx} \end{align}
$$\frac{\sin\pi x}{\pi x}=\prod^\infty_{n=1}\l(1-\frac{x^2}{n^2}\r)$$
を連分数に表すことで
\begin{align}
\frac{\sin\pi x}{\pi x}
=1-\frac x1
&\p\frac{1(1-x)}x\p\frac{1(1+x)}{1-x}\p\frac{2(2-x)}x\p\frac{2(2+x)}{1-x}\\
&\p\frac{3(3-x)}x\p\frac{3(3+x)}{1-x}\p\frac{4(4-x)}x\p\frac{4(4+x)}{1-x}\p\cc
\end{align}
が成り立つ。
特に$x=1/2$とし逆数を取ることで
$$\frac\pi2=\dfrac1{1-\dfrac1{2+\dfrac{1\c2}{1+\dfrac{2\c3}{1+\dfrac{3\c4}{1+\cd}}}}}$$
が成り立ち、これに公式3を用いることで再び例5の式
$$\frac\pi2=1+\dfrac1{1+\dfrac{1\c2}{1+\dfrac{2\c3}{1+\dfrac{3\c4}{1+\cd}}}}$$
が得られる。
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