連分数1：漸化式と収束性

$$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}$$
とおいたとき
$$f_A(f_B(x)) =\dfrac{a\frac{ex+f}{gx+h}+b}{c\frac{ex+f}{gx+h}+d} =\frac{(ae+bg)x+(af+bh)}{(ce+dg)x+(cf+dh)}=f_{AB}(x)$$
とわかる。
　または
$$A\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix} =(cx+d)\begin{pmatrix}f_A(x)\\1\end{pmatrix}$$
に注意すると、適当な多項式$F_1,F_2$が存在して
$$AB\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix} =F_1(x)\begin{pmatrix}f_{AB}(x)\\1\end{pmatrix} =F_2(x)\begin{pmatrix}f_A(f_B(x))\\1\end{pmatrix}$$
が成り立つことからもわかる。

$$f_0(x)=a_0+x,\quad f_n(x)=\frac{b_n}{a_n+x}\quad(n\geq1)$$
とおいたとき
$$a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n+x} =(f_0\circ f_1\circ f_2\circ\cdots\circ f_n)(x)$$
が成り立つことに注意して
$$\begin{pmatrix}p'_n&p_n\\q'_n&q_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&a_0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&b_1\\1&a_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&b_2\\1&a_2\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}0&b_n\\1&a_n\end{pmatrix}$$
とおくと補題3より
$$\frac{p'_nx+p_n}{q'_nx+q_n} =a_0+\frac{b_1}{a_1}\p\frac{b_2}{a_2}\p\cc\p\frac{b_n}{a_n+x}$$
が成り立つ。
　また
$$\begin{pmatrix}p'_n&p_n\\q'_n&q_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p'_{n-1}&p_{n-1}\\q'_{n-1}&q_{n-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&b_n\\1&a_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} p_{n-1}&a_np_{n-1}+b_np'_{n-1}\\q_{n-1}&a_nq_{n-1}+b_nq'_{n-1} \end{pmatrix}$$
に注意すると$p'_n=p_{n-1},\ q'_n=q_{n-1}$および
\begin{align} p_n&=a_np_{n-1}+b_np_{n-2}\\ q_n&=a_nq_{n-1}+b_nq_{n-2} \end{align}
を得る。

$$r_n=p_nx+q_n$$
とおくと
$$r_n=a_nr_{n-1}+b_nr_{n-2}$$
が成り立つので
\begin{align} \frac{r_n}{r_{n-1}} &=a_n+\frac{b_n}{\frac{r_{n-1}}{r_{n-2}}}\\ &=a_n+\frac{b_n}{a_{n-1}}\p\frac{b_{n-1}}{\frac{r_{n-2}}{r_{n-3}}}\\ &=a_n+\frac{b_n}{a_{n-1}}\p\cc\p\frac{b_2}{a_1}\p\frac{b_1}{a_0}\p\frac1{\frac{r_{-1}}{r_{-2}}}\\ &=a_n+\frac{b_n}{a_{n-1}}\p\cc\p\frac{b_2}{a_1}\p\frac{b_1}{a_0}\p\frac1x \end{align}
を得る。

　$p_n,q_n$の満たす漸化式
\begin{align} p_n&=a_np_{n-1}+b_np_{n-2}\\ q_n&=a_nq_{n-1}+b_nq_{n-2} \end{align}
にそれぞれ$q_{n-1},p_{n-1}$を掛けて差を取ることで
$$p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=-b_n(p_{n-1}q_{n-2}-p_{n-2}q_{n-1})$$
がわかるので
$$p_0q_{-1}-p_{-1}q_0=-1$$
に注意すると
$$p_nq_{n-1}-p_{n-1}q_n=(-1)^{n-1}\prod^n_{k=1}b_k$$
を得る。
　また$p_n,q_n$の満たす漸化式にそれぞれ$q_{n-2},p_{n-2}$を掛けて差を取ることで
\begin{align} p_nq_{n-2}-p_{n-2}q_n &=a_n(p_{n-1}q_{n-2}-p_{n-2}q_{n-1})\\ &=a_n\c(-1)^n\prod^{n-1}_{k=1}b_k \end{align}
を得る。

　命題4より
$$\begin{pmatrix}p_{n-1}&p_n\\q_{n-1}&q_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&a_0\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&b_1\\1&a_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&b_2\\1&a_2\end{pmatrix}\cdots \begin{pmatrix}0&b_n\\1&a_n\end{pmatrix}$$
が成り立っていたので、この行列式を取ることで
$$p_{n-1}q_n-p_nq_{n-1}=(-1)^n\prod^n_{k=1}b_k$$
を得る。また
$$\begin{pmatrix}p_{n-2}&p_n\\q_{n-2}&q_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p_{n-2}&p_{n-1}\\q_{n-2}&q_{n-1}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&b_n\\0&a_n\end{pmatrix}$$
の行列式を取ることで
$$p_{n-2}q_n-p_nq_{n-2}=a_n\c(-1)^{n-1}\prod^{n-1}_{k=1}b_k$$
もわかる。

　前半の主張については仮定より$q_n>0$が成り立つことに注意して
\begin{align} \frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} &=(-1)^{n-1}\frac1{q_nq_{n-1}}\prod^n_{k=1}b_k\\ \frac{p_n}{q_n}-\frac{p_{n-2}}{q_{n-2}} &=(-1)^{n\phantom{-1}}\frac{a_n}{q_nq_{n-2}}\prod^{n-1}_{k=1}b_k \end{align}
の正負を考えることでわかる。
　また後半の主張については単調収束定理からわかる。

　上の不等式から任意の$m\leq x\leq M$に対し
$$\l|\frac{p_{n+2}}{q_{n+2}}-\frac{p_n}{q_n}\r| \leq\l|x-\frac{p_n}{q_n}\r| \leq\l|\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\frac{p_n}{q_n}\r|$$
が成り立つことと
$$\lim_{n\to\infty}\frac1{q_nq_{n-1}}\prod^n_{k=1}b_k= \lim_{n\to\infty}\l|\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}-\frac{p_n}{q_n}\r| =M-m$$
に注意するとわかる。

　まず
$$|q_n|\leq\prod^n_{k=1}(1+|a_k|)$$
が成り立つことを示す。$n=-1,0$のときは$q_{-1}=0,\ q_0=1$より明らか。
　また数学的帰納法により
\begin{align} |q_n| &\leq|a_n|\c|q_{n-1}|+|q_{n-2}|\\ &\leq|a_n|\prod^{n-1}_{k=1}(1+|a_k|)+\prod^{n-2}_{k=1}(1+|a_k|)\\ &\leq|a_n|\prod^{n-1}_{k=1}(1+|a_k|)+\prod^{n-1}_{k=1}(1+|a_k|)\\ &=\prod^n_{k=0}(1+|a_k|) \end{align}
を得る。
　いま
$$\frac{p_n}{q_n}=a_0+\sum^n_{k=1}\frac{(-1)^{k-1}}{q_kq_{k-1}}$$
が収束するためには$|q_nq_{n-1}|\to\infty$が必要であり、特に
\begin{align} |q_nq_{n-1}| &\leq\prod^n_{k=1}(1+|a_k|)^2\\ &\leq\prod^n_{k=1}(e^{|a_k|})^2=\exp\l(2\sum^n_{k=1}|a_k|\r) \end{align}
と評価できることから
$$\sum^\infty_{n=0}|a_n|=\infty$$
でなければならないことがわかる。

　$p_n/q_n$が収束するとき$\sum^\infty_{n=0}a_n=\infty$が成り立つことは既に示したので、その逆を言えばよい。
　特に定理8に注意すると$\sum^\infty_{n=0}a_n=\infty$において$q_nq_{n-1}\to\infty$となることを示せばよい。
　いま$q_n=a_nq_{n-1}+q_{n-2}\geq q_{n-2}$より
$$q_{2n}\geq q_0=1,\quad q_{2n+1}\geq q_1=a_1$$
特に
$$q_{2n}\geq a_{2n}a_1+q_{2n-2},\quad q_{2n+1}\geq a_{2n+1}+q_{2n-1}$$
が成り立つことに注意すると
$$q_{2n}\geq1+a_1\sum^n_{k=1}a_{2k},\quad q_{2n+1}\geq\sum^n_{k=1}a_{2k+1}$$
わかる。特に$q_{2n},q_{2n+1}$のどちらかは発散するので$q_nq_{n-1}\to\infty$を得る。