アペリーの定理とWZ method

はじめに

　この記事では WZ method の応用としてApéryの数列
\begin{align} a_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2c_{n,k}\\ b_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ \bigg(c_{n,k}&=\sum^n_{m=1}\frac1{m^3}+\sum^k_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom nm\binom{n+m}m}\bigg) \end{align}
に関する謎について考察していきます。

Apéryの定理

　 WZ methodの記事 ではApéryの定理

の証明に使われた公式
$$\z(3)=\frac52\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}n}$$
がWZ methodによって導出できることを紹介しました。
　しかしApéryの定理の証明にはこれ以外にもWZ的な現象が深く関わっています。

Apéryの手法

　まずApéryの手法について簡単に紹介しておきましょう。
　発想としては$\z(3)$に急速に収束する有理数列$p_n/q_n$を構成することで次の補題を適用することにあります。

　まあこのような有理数列$p_n/q_n$を簡単に構成できれば苦労はしません。それが未だにできていないから我々は数々の定数の無理性を確かめられずにいるわけです。
　しかしApéryは冒頭で紹介した奇妙な数列
\begin{align} a_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2c_{n,k}\\ b_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2\\ \bigg(c_{n,k}&=\sum^n_{m=1}\frac1{m^3}+\sum^k_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom nm\binom{n+m}m}\bigg) \end{align}
を持ち出すことにより$\b=\z(3)$に対しそれを成し遂げました。以下でこの数列によって$\z(3)$の無理性を示せることを見ていきましょう。

　ちなみに$b_n$の初期値については$b_1=5$の代わりに$b_{-1}=0$によって特徴付けることもあります。

　ここで$b_n$は常に整数であるのに対し$a_n$は整数とは限らないことに注意し、$D_na_n$が整数となるような数列$D_n$を取ると
$$0< D_nb_n\z(3)-D_na_n<6\z(3)\frac{D_n}{b_n}$$
と評価できるので補題2を適用するためには
$$\lim_{n\to\infty}\frac{D_n}{b_n}=0$$
が成り立つことを示さなければなりません。が、このあたりの議論についてはこの記事の本題から反れるので詳細については折り畳みにて解説しておきます。

$\z(2)$の無理性

　また興味深いことに同様の数列
\begin{align} a'_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}kc'_{n,k}\\ b'_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k\\ \bigg(c'_{n,k}&=\sum^n_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{m^2}+\sum^k_{m=1}\frac{(-1)^{m+n-1}}{2m^2\binom nm\binom{n+m}m}\bigg) \end{align}
を用いることで
$$\eta(2)=\sum^\infty_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{m^2}=\frac12\z(2)\quad\l(=\frac{\pi^2}{12}\r)$$
の無理性についても同じ議論で示すことができます。
　やることは上と同じなので対応する補題の内容だけ紹介しておきます。

Apéry数列の謎

　見ての通りApéryの手法には多くの謎が秘められています。例えば簡単に思い浮かぶもので言えば

といった疑問が挙げられます。
　これらの現象には一体どのような一般論が眠っているのか、あるいは限られた場合にしか成り立たない特殊な現象なのかが非常に気になるところではありますが、残念ながらまだその全てが解明されているわけではなさそうです。
　しかし上二つの現象についてはある程度確かなことがわかっているので今回の記事ではそのことについて簡単に考察していこうと思います。

カゾラーティアン

　まず簡単に解決できる問題である
$$a_nb_{n-1}-a_{n-1}b_n=\frac6{n^2}$$
という等式について考察していきましょう。
　素朴な方法としては$a_n,b_n$が同じ漸化式
\begin{align} (n+1)^3a_{n+1}-(2n+1)(17n^2+17n+5)a_n+n^3a_{n-1}&=0\\ (n+1)^3b_{n+1}-(2n+1)(17n^2+17n+5)b_n+n^3b_{n-1}&=0 \end{align}
を満たすことからこの両辺にそれぞれ$b_n,a_n$を掛けて差を取ることで
$$(n+1)^3w_{n+1}-n^3w_n=0\qquad(w_n=a_nb_{n-1}-a_{n-1}b_n)$$
がわかるので
$$w_{n+1}=\frac{n^3}{(n+1)^3}w_n=\frac{w_1}{(n+1)^3}=\frac6{(n+1)^3}$$
と示せます。
　正直この問題についてはこれで十分なのですが、少し味気ないのでもう少し一般的な主張を紹介しておきましょう(かなり余談なので読み飛ばしてもらっても構いません)。

　なお$d+1$項間漸化式は、簡単のため$p_d(n)=1$とし
$$\u(n)=\begin{pmatrix} u(n)&u(n+1)&\cdots&u(n+d-1) \end{pmatrix}^T$$
とおくと
$$\u(n+1)=\begin{pmatrix} 0&1&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1\\ -p_0(n)&-p_1(n)&\cdots&-p_{d-1}(n) \end{pmatrix}\u(n)$$
という一項間漸化式に帰着できるのでもう少し一般に次のような行列式をCasoratianと言うことにします。

　このとき以下が成り立ちます。

　ちなみにCasoratianは線形微分方程式におけるWronskianの類似物であり、Wronskianの関係式
$$W(t)=\exp\l(\int^t_0\operatorname{tr}A(s)ds\r)W(0)$$
と比較すると面白いですね。
　またこれを$d+1$項間漸化式に関する話に引き戻すと以下が成り立ちます。

　例えば$\z(2)$の無理性証明に出てきた数列$a'_n,b'_n$は
$$(n+1)^2u_{n+1}-(11n^2+11n+3)u_n-n^2u_{n-1}=0$$
という漸化式を満たしていたため$w'_n=a'_nb'_{n-1}-a'_{n-1}b'_n$は
$$w'_{n+1}=-\frac{n^2}{(n+1)^2}w_n=(-1)^n\frac{w_1}{(n+1)^2}=(-1)^n\frac5{2(n+1)^2}$$
と求まっていたわけです。

漸化式とポテンシャル

　次に今回の記事の本題である、なぜ
\begin{align} a_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2c_{n,k}& a'_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}kc'_{n,k}\\ b_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2& b'_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k\\ \bigg(c_{n,k}&=\sum^n_{m=1}\frac1{m^3}+\sum^k_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom nm\binom{n+m}m}\bigg)& \bigg(c'_{n,k}&=\sum^n_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{m^2}+\sum^k_{m=1}\frac{(-1)^{m+n-1}}{2m^2\binom nm\binom{n+m}m}\bigg) \end{align}
によって定まる数列$a_n,b_n$や$a'_n,b'_n$が同じ漸化式を満たすのか、ということについて考察していきましょう。

ポテンシャル

　ここで WZ methodの記事 において
$$\z(3)=\frac52\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}n}$$
の証明に出てきたWZ-pair
\begin{align} H(n,k)&=\frac{(-1)^{k-1}}{\binom nk\binom{n+k}k}\\ F(n,k)&=\frac1{2(k+1)^3}H(n,k+1)\\ G(n,k)&=\frac{n-k}{(k+1)^2(n+1)^2}H(n,k+1) \end{align}
を思い出しましょう。これを用いると上の$c_{n,k}$は
$$c_{n,k}=\sum^n_{m=1}G(m-1,0)+\sum^k_{m=1}F(n,m-1)$$
と表せます($c'_{n,k}$も$\z(2)$に関するWZ-pairを用いて同様に表せます)。
　またグリッド上の経路
\begin{align} C:{} &(0,0)\to(1,0)\to\cdots\to(n,0)\\ &\to(n,1)\to(n,2)\to\cdots\to(n,k) \end{align}
を考えるとこれはWZ form
$$\o=F(n,k)\d k+G(n,k)\d n$$
の経路和分
$$c_{n,k}=\sum_C\o$$
として表せます。
　このように$c_{n,k}$はいわゆる"渦なし"差分形式の$(0,0)$から$(n,k)$までの経路和分となっており、これはベクトル解析で言うところのポテンシャルに類似するものであることがわかります。

$a(n),b(n)$の満たす漸化式

　さて$c_{n,k}$にポテンシャルという名前が付いたことにより次のような一般的な問いを立てることができます。

　そしてこの問題はZeilbergerによって次のような解答が与えられました。

　そして適当な条件下でこの等式
\begin{align} R(n,N)b(n,k)&=B(n,k+1)-B(n,k)\\ S(n,N)R(n,N)(b(n,k)c(n,k))&=A(n,k+1)-A(n,k) \end{align}
をそれぞれ$k$について足し合わせることで
$$R(n,N)b(n)=0,\quad S(n,N)R(n,N)a(n)=0$$
という$a(n),b(n)$についての漸化式が得られることとなります。
　特にこのことから$a(n),b(n)$は同じ漸化式
$$S(n,N)R(n,N)a(n)=S(n,N)R(n,N)b(n)=0$$
を満たすこともわかります。

残された謎

　これによりApéryの数列
\begin{align} a_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2c_{n,k}& a'_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}kc'_{n,k}\\ b_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k^2& b'_n&=\sum^n_{k=0}\binom nk^2\binom{n+k}k\\ \bigg(c_{n,k}&=\sum^n_{m=1}\frac1{m^3}+\sum^k_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{2m^3\binom nm\binom{n+m}m}\bigg)& \bigg(c'_{n,k}&=\sum^n_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}{m^2}+\sum^k_{m=1}\frac{(-1)^{m+n-1}}{2m^2\binom nm\binom{n+m}m}\bigg) \end{align}
が同じ漸化式を満たすことはある程度必然であることがわかりました。
　しかし依然として不思議なのが$a_n,b_n$が"丁度"同じ漸化式を満たす、つまり上の定理における$S(n,N)$として$S(n,N)=1$が取れる、あるいは同じことですが上の証明における$H(n,k)$が$k$についてGosper総和可能となる、ということにあります。与えられたポテンシャル$c(n,k)$に対して都合のいい$b(n,k)$が存在するのか、あるいは与えられた$b(n,k)$に対して都合のいいポテンシャル$c(n,k)$が存在するのか、はたまた上の例が特殊なだけで一般論なんて存在しないのか。やはりまだまだ疑問は尽きませんね。

おわりに

　以上がApéryの定理の証明とその手法の背景に関する考察でした。
　今回の記事では個人的に疑問であった「なぜ$a_n,b_n$のような奇妙な数列が同じ漸化式を満たすのか」という問題に一つの解答が与えられて満足していますが(ちなみにCasoratianの項は思い付きで書いたおまけです)、上でも言及したようにApéryの手法にはまだまだ興味深い謎が数多く残されています。皆さんも興味があればApéryの手法について考察してみたり、他の定数の無理性証明への応用を考えてみてはいかがでしょうか。
　とりあえず今回はこんなところで。では。

おまけ：$\log2$の無理性

　上でも登場したZeilbergerの文献にApéryの手法による$\log2$の無理性証明が載っていたので簡単に紹介しておこうと思います。

　あとの議論は
$$\log2=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}n$$
に注意すればわかる(と思う)ので省略します。
　ちなみに$a_n$は実は
$$a_n=\sum^n_{k=0}\binom nk\binom{n+k}k\sum^k_{m=1}\frac{(-1)^{m-1}}m$$
と表せる、つまり以下の事実が成り立つことが示せます。