雑記：線形微分方程式

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はじめに

　この記事では線形微分方程式の基本事項について雑にまとめていきます。

問題設定

　線形微分方程式とは未知関数 $x (t)$ とその導関数 $x^{'}, x^{″}, \dots$ についての線型方程式
$A_{n} (t) x^{(n)} + A_{n - 1} (t) x^{(n - 1)} + \dots + A_{1} (t) x^{'} + A_{0} (t) x = f (t)$
のことを言います。
　より一般に線形微分方程式はベクトル値関数 $u (t) (t \in I)$ についての線型方程式
$u^{'} = A (t) u + b (t) (u, b \in C^{n}, A \in M_{n} (C))$
の形に帰着されます(下で $A$ のジョルダン標準形を考えたりするので各関数の終域を $C$ -線形空間としていますが、それぞれ $R$ に置き換えても特に問題ありません)。
　実際例えば上の $n$ 階線形微分方程式は、簡単のため $A_{n} (t) = 1$ とし
$u = {(\begin{matrix} x^{(n - 1)} & \dots & x^{'} & x \end{matrix})}^{T}$
とおくことで
$u^{'} = (\begin{matrix} - A_{n - 1} (t) & \dots & - A_{1} (t) & - A_{0} (t) \\ 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & 0 \end{matrix}) u + (\begin{matrix} f (t) \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix})$
という微分方程式に書き換えることができます(逆にこれを満たすような $u$ は第 $n$ 成分を $x$ とおくことで
$u = {(\begin{matrix} x^{(n - 1)} & \dots & x^{'} & x \end{matrix})}^{T}$
と表せることにも注意しましょう)。

行列の指数関数

　まず定数係数の線形微分方程式を考える上で重要となる行列の指数関数というものについて解説しておきます。

　正方行列 $A$ に対して $\exp A$ を
$\exp A = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A^{n}}{n!}$
によって定める。

基本性質

　 $A, B$ が $A B = B A$ を満たすとき
$\exp (A + B) = (\exp A) (\exp B)$
が成り立つ。特に
$(\exp A)^{- 1} = \exp (- A)$
が成り立つ。

　積の可換性から二項定理
$(A + B)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) A^{k} B^{n - k}$
が成り立つので
$\begin{aligned} \exp (A + B) & = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) A^{k} B^{n - k}) \frac{1}{n!} \\ = (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A^{n}}{n!}) (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B^{n}}{n!}) \\ = (\exp A) (\exp B) \end{aligned}$
を得る。

　上の変形は冪級数の積
$(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} \frac{t^{n}}{n!}) (\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n} \frac{t^{n}}{n!}) = \sum_{n = 0}^{\infty} (\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a_{k} b_{n - k}) \frac{t^{n}}{n!}$
と比較するとわかりやすい。

$\det (\exp A) = \exp (tr A)$
が成り立つ。

　 $A$ のジョルダン標準形を $J = P^{- 1} A P$ とおき、その対角成分(つまり $A$ の固有値)を $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}$ とすると
$\exp J = P^{- 1} (\exp A) P$
は $e^{λ_{1}}, e^{λ_{2}}, \dots, e^{λ_{n}}$ を対角成分とする上三角行列となるので
$\begin{aligned} \det (\exp A) & = \det (\exp J) \\ = e^{λ_{1}} \cdot e^{λ_{2}} \dots e^{λ_{n}} \\ = e^{λ_{1} + λ_{2} + \dots + λ_{n}} \\ = e^{tr A} \end{aligned}$
を得る。

計算方法

　行列 $A$ をジョルダン標準形 $P J P^{- 1}$ に表したとき
$\exp A = P (\exp J) P^{- 1}$
が成り立つので各ジョルダン細胞に対し $\exp$ を計算すれば $\exp A$ を求めることができます。

$\exp (\begin{matrix} λ & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & λ \end{matrix}) = e^{λ} (\begin{matrix} 1 & 1 & \frac{1}{2} & \dots & \frac{1}{(n - 2)!} & \frac{1}{(n - 1)!} \\ 0 & 1 & 1 & \dots & \frac{1}{(n - 3)!} & \frac{1}{(n - 2)!} \\ 0 & 0 & 1 & \dots & \frac{1}{(n - 4)!} & \frac{1}{(n - 3)!} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix})$

　ジョルダン細胞 $J \in M_{n} (C)$ を対角成分 $λ I$ と冪零因子 $N$ に分けたとき、 $λ I$ と $N$ の積は可換なので $N^{n} = 0$ に注意すると
$\begin{aligned} \exp J & = \exp (λ I + N) \\ = \exp (λ I) \exp N \\ = e^{λ} \sum_{m = 0}^{n - 1} \frac{N^{k}}{k!} \end{aligned}$
を得る。

　ついで $\exp (A t)$ も計算しておきましょう。

$\exp ((\begin{matrix} λ & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & λ \end{matrix}) t) = e^{λ t} (\begin{matrix} 1 & t & \frac{t^{2}}{2} & \dots & \frac{t^{n - 2}}{(n - 2)!} & \frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!} \\ 0 & 1 & t & \dots & \frac{t^{n - 3}}{(n - 3)!} & \frac{t^{n - 2}}{(n - 2)!} \\ 0 & 0 & 1 & \dots & \frac{t^{n - 4}}{(n - 4)!} & \frac{t^{n - 3}}{(n - 3)!} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & t \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix})$

$\begin{aligned} \exp (J t) & = \exp (λ t I) \exp (t N) \\ = e^{λ t} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{t^{k}}{k!} N^{k} \end{aligned}$
とわかる。

定数係数の場合

　まず係数 $A (t)$ が $t$ に依らない場合の方程式
$u^{'} = A u + b (t)$
を考えましょう。
　これを解くにあたっては次の事実が重要となります。

　 $W = \exp (A t)$ は
$W^{'} = A W = W A$
を満たす。

$(\exp (A t))^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} A^{n} \frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!}$
に注意するとわかる(項別微分の正当性については省略)。

　この事実によって
$W^{- 1} (u^{'} - A u) = (W^{- 1} u)^{'}$
と変形できるので件の方程式
$u^{'} = A u + b (t)$
は
$(W^{- 1} u)^{'} = W^{- 1} b (t)$
という微分方程式に帰着でき、これを解くことで
$u = \exp (A t) \int \exp (- A t) b (t) d t$
という一般解が得られます。
　また必要に応じて $W = \exp (A (t - t_{0}))$ と平行移動することで次のような結果が得られます。

　 $b (t) \in C^{n}$ を区間 $I \subset R$ において連続な関数とする。
　このとき任意の $t_{0} \in I, u_{0} \in C^{n}$ に対し微分方程式
$u^{'} = A u + b (t)$
の解 $u$ であって初期値 $u (t_{0}) = u_{0}$ を満たすようなものが一意に存在し、特にその解は
$u = \exp (A (t - t_{0})) (\int_{t_{0}}^{t} \exp (- A (s - t_{0})) b (s) d s + u_{0})$
と求まる。

　ちなみにこのことから同次方程式
$u^{'} = A u$
の解
$u = \exp (A t) u_{0} (u_{0} \in R^{n} は任意)$
のなす線形空間 $V$ は $n$ 次元となることがわかります。
　実際 $\exp (A t)$ は正則であったことに注意すると例えば
$u_{i} = \exp (A t) e_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$
は $V$ の基底を成すことになります。

一般の場合

定数係数の場合との違い

　一般の場合も定数係数の場合と同じように
$B (t) = \int_{a}^{t} A (s) d s$
および $W = \exp B (t)$ とおくと
$W^{'} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B^{n - 1}}{(n - 1)!} B^{'} = W A$
とできそうな気がしますが、残念ながらこれは成り立ちません。実際、行列値関数において積の微分は
$(A_{1} A_{2})^{'} = A_{1}^{'} A_{2} + A_{1} A_{2}^{'}$
となるので累乗の微分は
$(B^{n})^{'} = \sum_{k = 0}^{n - 1} B^{k} B^{'} B^{n - k - 1}$
となります。
　定数係数のときは $B = A t$ と $B^{'} = A$ の積が可換であったため $(B^{n})^{'} = n B^{n - 1} B^{'}$ つまり
$(\exp B (t))^{'} = \exp (B (t)) A$
が成り立っていたのでした。
　このように一般の場合において明示的に解を求めることは難しいですが、同次形の方程式
$u^{'} = A (t) u$
の基本解を構成できれば非同次形の方程式
$u^{'} = A (t) u + b (t)$
の解も求めることはできます。

基本解系

　いま同次方程式
$u^{'} = A (t) u$
の解として
$u = u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$
が得られたとき、これらが線形独立であるかどうかを判定する方法としてロンスキアンというものがあります。

　関数 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} \in C^{n}$ に対し
$W (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}) = (\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & \dots & u_{n} \end{matrix})$
と定まる関数のことをロンスキー行列と言い、その行列式
$W (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}) = \det (\begin{matrix} u_{1} & u_{2} & \dots & u_{n} \end{matrix})$
のことをロンスキアンと言う。

　通常ロンスキー行列と言えば $n$ 階線形微分方程式
$u = {(\begin{matrix} x & x^{'} & \dots & x^{(n - 1)} \end{matrix})}^{T}$
の場合に定まるもの
$W (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{'} & x_{2}^{'} & \dots & x_{n}^{'} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{1}^{(n - 1)} & x_{2}^{(n - 1)} & \dots & x_{n}^{(n - 1)} \end{matrix})$
のことを言いますが、ここではより一般の方程式
$u^{'} = A (t) u$
の解を横に並べたものについてもロンスキー行列と言うことにします。

　 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ が同次方程式
$u^{'} = A (t) u$
の解であるときそのロンスキアン $W (t)$ は
$W (t) = \exp (\int_{t_{0}}^{t} tr A (s) d s) W (t_{0})$
を満たす。特に
$\begin{aligned} u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} が線形独立 & ⟺ 常に W (t) \neq 0 \\ u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n} が線形従属 & ⟺ 常に W (t) = 0 \end{aligned}$
が成り立つ。

　 $W^{'} = tr (A (t)) W$ を示せばよい。
　いま $u_{j}$ の取り方からそのロンスキー行列は
$W^{'} = A (t) W$
を満たす。ここで $A (t)$ の $(i, j)$ 成分を $A_{i, j}$ 、ロンスキー行列の第 $i$ 行を $v_{i}$ とおくとこれは
$v_{i}^{'} = \sum_{j = 1}^{n} A_{i, j} v_{j} (i = 1, 2, \dots, n)$
と言い換えられることに注意する。
　したがって
$\begin{aligned} W^{'} & = \det (\begin{array}{c} v_{1}^{'} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{array}) + \det (\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2}^{'} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{array}) + \dots + \det (\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n}^{'} \end{array}) \\ = \det (\begin{array}{c} A_{1, 1} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{array}) + \det (\begin{array}{c} v_{1} \\ A_{2, 2} v_{2} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{array}) + \dots + \det (\begin{array}{c} v_{1} \\ v_{2} \\ ⋮ \\ A_{n, n} v_{n} \end{array}) \\ = tr (A (t)) W \end{aligned}$
を得る。

　この記事にて紹介したように同次方程式
$u^{'} = A (t) u$
は( $A (t)$ が連続ならば)必ず $n$ 個の線形独立な解 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}$ を持ち、そのような関数の組のことを基本解系と言います。
　いま、ある基本解系のなすロンスキー行列を $W (t)$ とおくとこれは可逆であり
$0 = (W W^{- 1})^{'} = W^{'} W^{- 1} + W (W^{- 1})^{'}$
より
$\begin{aligned} (W^{- 1})^{'} & = - W^{- 1} W^{'} W^{- 1} \\ = - W^{- 1} (A (t) W) W^{- 1} \\ = - W^{- 1} A (t) \end{aligned}$
が成り立つので
$W^{- 1} (u - A (t) u^{'}) = (W^{- 1} u)^{'}$
と変形できます。
　したがって件の方程式
$u^{'} = A (t) u + b (t)$
は
$(W^{- 1} u)^{'} = W^{- 1} b (t)$
という微分方程式に帰着され、これを解くことで
$u = W (t) \int W (t)^{- 1} b (t) d t$
という一般解が得られます。

定数係数の $n$ 階線形微分方程式

　最後に定数係数の $n$ 階線形微分方程式
$x^{(n)} + a_{n - 1} x^{(n - 1)} + \dots + a_{1} x^{'} + a_{0} x = 0$
の性質について簡単に紹介しておきましょう。

$B_{n} = (\begin{matrix} - b_{1} & \dots & - b_{n - 1} & - b_{n} \\ 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & 0 \end{matrix})$
の固有多項式は
$\det (λ I - B_{n}) = λ^{n} + b_{1} λ^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} λ + b_{n}$
と求まる。

$\det (λ I - B_{n}) = | \begin{matrix} λ + b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n - 1} & b_{n} \\ - 1 & λ & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & - 1 & λ \end{matrix} |$
を第 $n$ 列について余因子展開することで
$\det (λ I - B_{n}) = \det (λ I - B_{n - 1}) λ + b_{n}$
が成り立つことに注意するとわかる。

$A = (\begin{matrix} - a_{n - 1} & \dots & - a_{1} & - a_{0} \\ 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & 0 \end{matrix})$
の固有値 $λ$ に対し固有空間 $Ker (A - λ I)$ の次元は $1$ となる。特に $A$ のジョルダン標準形において $λ$ に関するジョルダン細胞は一つだけである。

　 $A$ の固有値 $λ$ に関する固有ベクトル $p$ に対しその第 $n$ 成分を $a$ とおくと $A p = λ p$ の各成分を比較することで
$p = a {(\begin{matrix} λ^{n - 1} & \dots & λ & 1 \end{matrix})}^{T}$
が成り立つことからわかる。

　この補題と命題4から以下の事実が得られます。

　微分方程式
$x^{(n)} + a_{n - 1} x^{(n - 1)} + \dots + a_{1} x^{'} + a_{0} x = 0 \dots (★)$
の特性方程式が
$\begin{aligned} 0 & = λ^{n} + a_{n - 1} λ^{n - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} \\ = (λ - λ_{1})^{e_{1}} (λ - λ_{2})^{e_{2}} \dots (λ - λ_{m})^{e_{m}} \end{aligned}$
と因数分解されるとき、 $(★)$ の解は
$x = t^{j} e^{λ_{k} t} (0 \leq j \leq e_{k} - 1)$
の線型結合によって尽くされる。

　なお $x (t) \in R$ の範囲で考えると、 $(★)$ の基本解系として
$x = t^{j} e^{μ_{k} t} \cos (ν_{k} t), t^{j} e^{μ_{k} t} \sin (ν_{k} t) (λ_{k} = μ_{k} + i ν_{k})$
が取れます。

おまけ：線形漸化式

　ちなみに一般に線形演算子 $L$ に対して、 $x$ に関する定数係数の方程式
$(L^{n} + a_{n - 1} L^{n - 1} + \dots + a_{1} L + a_{0}) x = 0$
を考えたときにも
$u = (\begin{matrix} L^{n - 1} x \\ L^{n - 2} x \\ ⋮ \\ x \end{matrix}), A = (\begin{matrix} - a_{n - 1} & \dots & - a_{1} & - a_{0} \\ 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & \dots & 1 & 0 \end{matrix})$
とおき
$L u = A u$
という方程式に帰着させることでいい感じになることがあります。
　上では微分演算子 $L = \frac{d}{d t}$ について議論してきましたが $L = S$ を数列 $x_{n}$ に対する前進作用素 $S x_{n} = x_{n + 1}$ とすると $l$ 項間漸化式
$x_{n + l} + a_{l - 1} x_{n + l - 1} + \dots + a_{1} x_{n + 1} + a_{0} x_{n} = 0$
は一項間漸化式
$S u_{n} = u_{n + 1} = A u_{n}$
に帰着されます。これは単純に
$u_{n} = A^{n} u_{0}$
と解けるので以下の主張が得られます。

　漸化式
$x_{n + l} + a_{l - 1} x_{n + l - 1} + \dots + a_{1} x_{n + 1} + a_{0} x_{n} = 0 \dots (★)$
の特性方程式が
$\begin{aligned} 0 & = λ^{l} + a_{l - 1} λ^{l - 1} + \dots + a_{1} λ + a_{0} \\ = (λ - λ_{1})^{e_{1}} (λ - λ_{2})^{e_{2}} \dots (λ - λ_{m})^{e_{m}} \end{aligned}$
と因数分解されるとき、 $(★)$ の解は
$x_{n} = n^{j} λ_{k}^{n} (0 \leq j \leq e_{k} - 1)$
の線型結合によって尽くされる。

　ジョルダン細胞 $J = λ I + N \in M_{e} (C)$ に対し
$J^{n} = \sum_{j = 0}^{e - 1} (\binom{n}{j}) λ^{n - j} N^{j}$
が成り立つこと、および
$(\binom{n}{j}) = \frac{n (n - 1) \dots (n - j + 1)}{j!}$
は $n$ についての多項式であることに注意するとわかる。

投稿日：2024年2月24日

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子葉

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主に複素解析、代数学、数論を学んでおります。私の経験上、その証明が簡単に探しても見つからない、英語の文献を漁らないと載ってない、なんて定理の解説を主にやっていきます。同じ経験をしている人の助けになれば。最近は自分用のノートになっている節があります。

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雑記：線形微分方程式

はじめに
問題設定
行列の指数関数
基本性質
計算方法
定数係数の場合
一般の場合
定数係数の場合との違い
基本解系
定数係数の $n$ 階線形微分方程式
おまけ：線形漸化式

雑記：線形微分方程式

はじめに

問題設定

行列の指数関数

基本性質

計算方法

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一般の場合

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定数係数のn階線形微分方程式

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