ピカール・リンデレーフの定理

　関数列$v_n$を${\mathit{v}}_0={\mathit{u}}_0$および漸化式
$${\mathit{v}}_{n+1}={\mathit{u}}_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,{\mathit{v}}_n(s))ds$$
によって定め
$$\mathit{u}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathit{v}}_n$$
とおくと、これが件の方程式を満たすことを示す(この方法のことをピカールの逐次近似法と言う)。
　まず${\mathit{v}}_n$は$B_{\rho }$をはみ出ないことを確認しておく。そのことは$|t-t_0|\le \rho /M$より
$$\begin{array}{rl}\parallel {\mathit{v}}_{n+1}-{\mathit{u}}_0\parallel & =\Vert {\int }_{t_0}^{t}f(s,{\mathit{v}}_n(s))ds\Vert \\ & \le {\int }_{t_0}^{t}Mds=M|t-t_0|\le \rho \end{array}$$
と評価できることからわかる。
　次に${\mathit{v}}_n$は一様収束すること、特に
$$\parallel {\mathit{v}}_n-{\mathit{v}}_{n-1}\parallel \le \frac{M}{n!}{L}^{n-1}|t-t_0{|}^n$$
と評価できることを示す。これは$n=1$のときは明らかであり、数学的帰納法により
$$\begin{array}{rl}\parallel {\mathit{v}}_{n+1}-{\mathit{v}}_n\parallel & =\Vert {\int }_{t_0}^t(f(s,{\mathit{v}}_n(s))-f(s,{\mathit{v}}_{n-1}(s)))ds\Vert \\ & \le {\int }_{t_0}^{t}L\parallel {\mathit{v}}_n(s)-{\mathit{v}}_{n-1}(s)\parallel ds\\ & \le \frac{M}{n!}{L}^n{\int }_{t_0}^t|s-t_0{|}^{n}ds\\ & =\frac{M}{(n+1)!}{L}^n|t-t_0{|}^{n+1}\end{array}$$
とわかる。したがって${\mathit{v}}_n$は
$$\begin{array}{rl}\mathit{u}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathit{v}}_n\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}({\mathit{u}}_0+\sum _{k=0}^{n-1}({\mathit{v}}_{k+1}-{\mathit{v}}_k))\\ & ={\mathit{u}}_0+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}({\mathit{v}}_{n+1}-{\mathit{v}}_n)\end{array}$$
に一様収束することがわかる(cf. ワイエルシュトラスの$M$テスト)。
　特に一様収束性より
$$\begin{array}{rl}\Vert \mathit{u}-{\mathit{u}}_0-{\int }_{t_0}^{t}f(s,\mathit{u}(s))ds\Vert & \le \parallel \mathit{u}-{\mathit{v}}_{n+1}\parallel +\Vert {\int }_{t_0}^t(f(s,{\mathit{v}}_n(s))-f(s,\mathit{u}(s)))ds\Vert \\ & \le \parallel \mathit{u}-{\mathit{v}}_{n+1}\parallel +L{\int }_{t_0}^t\Vert {\mathit{v}}_n(s)-\mathit{u}(s)\Vert ds\\ & \to 0(n\to \mathrm{\infty })\end{array}$$
と評価できるので積分方程式
$$\mathit{u}={\mathit{u}}_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,\mathit{u}(s))ds$$
の解の存在性がわかる。

　$\mathit{u}={\mathit{u}}_1,{\mathit{u}}_2$が共に
$$\mathit{u}={\mathit{u}}_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,\mathit{v}(s))ds$$
を満たすとする。
　このとき任意の$n$に対し
$$\parallel {\mathit{u}}_1-{\mathit{u}}_2\parallel \le \frac{M}{n!}{L}^{n-1}|t-t_0{|}^n$$
と評価できることを示す。これは$n=1$のときは明らかであり、数学的帰納法により
$$\begin{array}{rl}\parallel {\mathit{u}}_1-{\mathit{u}}_1\parallel & =\Vert {\int }_{t_0}^t(f(s,{\mathit{u}}_1(s))-f(s,{\mathit{u}}_2(s)))ds\Vert \\ & \le {\int }_{t_0}^{t}L\parallel {\mathit{u}}_1(s)-{\mathit{u}}_2(s)\parallel ds\\ & \le \frac{M}{n!}{L}^n{\int }_{t_0}^t|s-t_0{|}^{n}ds\\ & =\frac{M}{(n+1)!}{L}^n|t-t_0{|}^{n+1}\end{array}$$
とわかる。
　したがって
$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{M}{n!}{L}^{n-1}|t-t_0{|}^n=0$$
に注意すると${\mathit{u}}_1={\mathit{u}}_2$を得る。

　大枠はピカールの定理と同様なので端折って説明する。
　ピカールの定理と同じく関数列${\mathit{v}}_n$を${\mathit{v}}_0={\mathit{u}}_0$および漸化式
$${\mathit{v}}_{n+1}={\mathit{u}}_0+{\int }_{t_0}^{t}f(s,{\mathit{v}}_n(s))ds$$
によって定める。
　このとき
$$\parallel {\mathit{v}}_1-{\mathit{v}}_0\parallel =\Vert {\int }_{t_0}^{t}f(s,{\mathit{u}}_0)ds\Vert \le M_0|t-t_0|$$
より数学的帰納法により
$$\begin{array}{rl}\parallel {\mathit{v}}_n-{\mathit{v}}_{n-1}\parallel & \le {\int }_{t_0}^{t}L\parallel {\mathit{v}}_{n-1}(s)-{\mathit{v}}_{n-2}(s)\parallel ds\\ & \le \frac{M_0}{n!}{L}^{n-1}|t-t_0{|}^n\end{array}$$
が成り立つ。
　これにより${\mathit{v}}_n$の一様収束性とその収束先$\mathit{u}$が件の積分方程式を満たすことはわかるのであとは$\parallel {\mathit{v}}_n-{\mathit{u}}_0\parallel <\rho$を示せばよい。そしてそのことについては
$$\begin{array}{rl}\parallel {\mathit{v}}_n-{\mathit{v}}_0\parallel & \le \sum _{k=1}^n\parallel {\mathit{v}}_k-{\mathit{v}}_{k-1}\parallel \\ & \le \frac{M_0}{L}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k!}{L}^k|t-t_0{|}^k\\ & \le \frac{M_0}{L}{e}^{L{r}^{″}}=\rho \end{array}$$
とわかる。