ピカール・リンデレーフの定理

　関数列$v_n$を$\v_0=\u_0$および漸化式
$$\v_{n+1}=\u_0+\int^t_{t_0}f(s,\v_n(s))ds$$
によって定め
$$\u=\lim_{n\to\infty}\v_n$$
とおくと、これが件の方程式を満たすことを示す(この方法のことをピカールの逐次近似法と言う)。
　まず$\v_n$は$B_\rho$をはみ出ないことを確認しておく。そのことは$|t-t_0|\leq\rho/M$より
\begin{align} \|\v_{n+1}-\u_0\| &=\l\|\int^t_{t_0}f(s,\v_n(s))ds\r\|\\ &\leq\int^t_{t_0}Mds=M|t-t_0|\leq\rho \end{align}
と評価できることからわかる。
　次に$\v_n$は一様収束すること、特に
$$\|\v_n-\v_{n-1}\|\leq\frac M{n!}L^{n-1}|t-t_0|^n$$
と評価できることを示す。これは$n=1$のときは明らかであり、数学的帰納法により
\begin{align} \|\v_{n+1}-\v_n\| &=\l\|\int^t_{t_0}(f(s,\v_n(s))-f(s,\v_{n-1}(s)))ds\r\|\\ &\leq\int^t_{t_0}L\|\v_n(s)-\v_{n-1}(s)\|ds\\ &\leq\frac M{n!}L^n\int^t_{t_0}|s-t_0|^nds\\ &=\frac M{(n+1)!}L^n|t-t_0|^{n+1} \end{align}
とわかる。したがって$\v_n$は
\begin{align} \u &=\lim_{n\to\infty}\v_n\\ &=\lim_{n\to\infty}\l(\u_0+\sum^{n-1}_{k=0}(\v_{k+1}-\v_k)\r)\\ &=\u_0+\sum^\infty_{n=0}(\v_{n+1}-\v_n) \end{align}
に一様収束することがわかる(cf. ワイエルシュトラスの$M$テスト)。
　特に一様収束性より
\begin{align} \l\|\u-\u_0-\int^t_{t_0}f(s,\u(s))ds\r\| &\leq\|\u-\v_{n+1}\|+\l\|\int^t_{t_0}(f(s,\v_n(s))-f(s,\u(s)))ds\r\|\\ &\leq\|\u-\v_{n+1}\|+L\int^t_{t_0}\l\|\v_n(s)-\u(s)\r\|ds\\ &\to0\qquad(n\to\infty) \end{align}
と評価できるので積分方程式
$$\u=\u_0+\int^t_{t_0}f(s,\u(s))ds$$
の解の存在性がわかる。

　$\u=\u_1,\u_2$が共に
$$\u=\u_0+\int^t_{t_0}f(s,\v(s))ds$$
を満たすとする。
　このとき任意の$n$に対し
$$\|\u_1-\u_2\|\leq\frac M{n!}L^{n-1}|t-t_0|^n$$
と評価できることを示す。これは$n=1$のときは明らかであり、数学的帰納法により
\begin{align} \|\u_1-\u_1\| &=\l\|\int^t_{t_0}(f(s,\u_1(s))-f(s,\u_2(s)))ds\r\|\\ &\leq\int^t_{t_0}L\|\u_1(s)-\u_2(s)\|ds\\ &\leq\frac M{n!}L^n\int^t_{t_0}|s-t_0|^nds\\ &=\frac M{(n+1)!}L^n|t-t_0|^{n+1} \end{align}
とわかる。
　したがって
$$\lim_{n\to\infty}\frac M{n!}L^{n-1}|t-t_0|^n=0$$
に注意すると$\u_1=\u_2$を得る。

　大枠はピカールの定理と同様なので端折って説明する。
　ピカールの定理と同じく関数列$\v_n$を$\v_0=\u_0$および漸化式
$$\v_{n+1}=\u_0+\int^t_{t_0}f(s,\v_n(s))ds$$
によって定める。
　このとき
$$\|\v_1-\v_0\|=\l\|\int^t_{t_0}f(s,\u_0)ds\r\|\leq M_0|t-t_0|$$
より数学的帰納法により
\begin{align} \|\v_n-\v_{n-1}\| &\leq\int^t_{t_0}L\|\v_{n-1}(s)-\v_{n-2}(s)\|ds\\ &\leq\frac{M_0}{n!}L^{n-1}|t-t_0|^n \end{align}
が成り立つ。
　これにより$\v_n$の一様収束性とその収束先$\u$が件の積分方程式を満たすことはわかるのであとは$\|\v_n-\u_0\|<\rho$を示せばよい。そしてそのことについては
\begin{align} \|\v_n-\v_0\| &\leq\sum^n_{k=1}\|\v_k-\v_{k-1}\|\\ &\leq\frac{M_0}L\sum^n_{k=1}\frac1{k!}L^k|t-t_0|^k\\ &\leq\frac{M_0}Le^{Lr''}=\rho \end{align}
とわかる。