Apéryの加速法9-3：その他の計算例(3F2以上の場合)
はじめに
この記事では
前回の記事
に引き続きApéryの加速法に関する個人的な計算メモをまとめていきます。
今回の記事では
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}$$
という級数に対する計算例についてまとめていきます。
${}_3F_2$の場合
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}\\
=1+\frac{abc}{def}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)(n+f-1)}{(n+d)(n+e)(n+f)+(n+a)(n+b)(n+c)}$$
に対しBauer-Muir変換を考えてみたところ、常に$\deg d^{(k)}_n=0$が成り立つとすれば
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d+k)(n+e+k)(n+f+k)+(n+a-k)(n+b-k)(n+c-k)-2k(k+1)n-2s_k\\
r^{(k)}_n&=-(n+a-k-1)(n+b-k-1)(n+c-k-1)-(k+1)(n-1)^2+k(k+1)n-r_kn+r'_k
\end{align}
と求まることがわかった。
ただし$r_k,s_k$は
\begin{align}
(n+a)(n+b)(n+c)&=n^3+An^2+Bn+C\\
(n+d)(n+e)(n+f)&=n^3+Dn^2+En+F
\end{align}
とおいたとき、$r_{-1}=0$および
\begin{align}
r_k&=\frac{(4k+D-A-2)r_{k-1}+2k(D+A)+E-B}{4k+D-A}\\
s_k&=\sum^{k-1}_{l=0}r_l
\end{align}
によって定まるものとした。また$r'_k$の値や$\deg d^{(k)}_n=0$となる条件については調査中。
$a+d=b+e=c+f$の場合
色々と考えてみたところ
$$a+d=b+e=c+f$$
において$\deg d^{(k)}_n=0$が成り立つことがわかった(必要性については未調査)。
ちなみにこれは
\begin{align}
P(n)&=(n+a)(n+b)(n+c)\\
&=n^3+An^2+Bn+C\\
Q(n)&=(n+d)(n+e)(n+f)\\
&=n^3+Dn^2+En+F
\end{align}
とおいたとき
$$P(n-A/3)=-Q(-n-D/3)$$
が成り立つことと同値である。
$$a+d=b+e=c+f$$
であるとき
$$s=(d+e+f-a-b-c-1)/2$$
とおくと
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d)(n+e)(n+f)+(n+a)(n+b)(n+c)+2k(k+s)(2n+a+d)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b-k-1)(n+c-k-1)-(k+1)(k+a+d-b-c)(n+a)+\frac{(k+1)(k+a+d-b-c)(2k+e-b+1)(2k+f-c+1)}{2(2k+s+1)}\\
R^{(k)}_n&=(n+d-1)(n+e+k)(n+f+k)+(k+1)(k+a+d-b-c)(n+d-1)+\frac{(k+1)(k+a+d-b-c)(2k+e-b+1)(2k+f-c+1)}{2(2k+s+1)}\\
d^{(k)}_n&=\frac{(k+1)(k+s)(k+d-b)(k+e-c)(k+f-a)(2k+d-a+1)(2k+e-b+1)(2k+f-c+1)}{2(2k+s+1)^2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
ちなみに分母の$2k+s+1$という因子が消えることと
$$\a=d-a-1,\quad\b=e-b-1,\quad\g=f-c-1$$
とおいたとき
$$\a+\b+\g,\quad\a+\b-\g,\quad\a-\b+\g,\quad{}-\a+\b+\g$$
のいずれかが$0$となることは同値である。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{(k+s)_k}{4^k(\frac s2)_k(\frac{d-a+1}2)_k(d-b)_k(d-c)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{(k+s)_k}{4^k(\frac s2)_k(\frac{d-a+1}2)_k(d-b)_k(d-c)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(k+s)_j(-n-a)_j(n+d)_j}{(1)_j(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}
-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^j_{i=1}\frac{(\frac{d-a+1}2)_{i-1}(d-b)_{i-1}(d-c)_{i-1}}{2(s)_i(-n-a)_i(n+d)_i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(k+s)_j(-n-a)_j(n+d)_j}{(1)_j(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}
\end{align}
が成り立つ。
なおこれに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n,j)&=(-1)^j\frac{(a)_{n-j}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+j+1}(e)_n(f)_n}
\frac{(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}{2(s)_{j+1}}\\
G(n,j)&=(-1)^j\frac{(a)_{n-j+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+j+1}(e)_{n+1}(f)_{n+1}}
\frac{(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}{(s)_j}
\end{align}
である。
上の数列$u^{(k)}_n=A^{(k)}_n,B^{(k)}_n$は
\begin{align}
0={}
&(n+d)(n+e)(n+f)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(n+c)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-2k(k+s)(2n+a+d)u^{(k)}_n
\end{align}
という漸化式を満たす。
\begin{align} &\phantom{{}={}}(\tfrac{d-a+1}2)_k(d-b)_k(d-c)_k \sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(k+s)_j(-n-a)_j(n+d)_j}{(1)_j(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}\\ &=(\tfrac{e-b+1}2)_k(e-c)_k(e-a)_k \sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(k+s)_j(-n-b)_j(n+e)_j}{(1)_j(\frac{e-b+1}2)_j(e-c)_j(e-a)_j}\\ &=(\tfrac{f-c+1}2)_k(f-a)_k(f-b)_k \sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(k+s)_j(-n-c)_j(n+f)_j}{(1)_j(\frac{f-c+1}2)_j(f-a)_j(f-b)_j} \end{align}
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=\frac{(\frac{s+1}2)_k}{(\frac{d-a+1}2)_k(\frac{e-b+1}2)_k(\frac{f-c+1}2)_k(d-b)_k(e-c)_k(f-a)_k}\\
&\qquad{}\times\frac1{(d)_n(e)_n(f)_n}
\l(q^{(k)}_n\sum^\infty_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}-p^{(k)}_n\r)
\end{align}
とおいたとき
$$I^{(k)}_n
=\frac12\sum^\infty_{t=1}(2t+2n+d+a+k-1)\frac{(t)_k(t+2n+d+a)_k}{(t+n+\frac{d+a-1}2)_{k+1}}
\frac{(a)_{t+n}(b)_{t+n}(c)_{t+n}}{(d)_{t+n+k}(e)_{t+n+k}(f)_{t+n+k}}$$
が成り立つ。
なおこれは
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=\frac12\frac{(1)_k(2n+d+a+1)_{k+1}}{(n+\frac{d+a+1}2)_{k+1}}
\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+k+1}(e)_{n+k+1}(f)_{n+k+1}}\\
&\qquad{}\times{}_7F_6\l(\begin{matrix}
d+a+2n+k+1&\frac{d+a+2n+k+1}2+1&\frac{d+a+1}2+n&k+1&a+n+1&b+n+1&c+n+1\\
&\frac{d+a+2n+k+1}2&\frac{d+a+1}2+n+k+1&d+a+2n+1&d+n+k+1&e+n+k+1&f+n+k+1
\end{matrix}\ ;1\r)
\end{align}
と表せるため
Non-terminating Whippleの変換公式
などが適用できるわけだが、そこから三重積分表示が得られたりするのだろうか。
具体例
例えば$f=1$とすると以下の結果が得られる。
$$d=c-a+1,\quad e=c-b+1$$
において
$$s=(d+e-a-b-c)/2$$
とおいたとき
$$\FF abcde1^{-1}
=1-\frac{abc}{de+abc}\p
\K^\infty_{n=1}\frac{-n(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)}{(n+1)(n+d)(n+e)+(n+a)(n+b)(n+c)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-n(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+1)(n+d)(n+e)+(n+a)(n+b)(n+c)+2k(k+s)(2n+c+1)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a-k-1)(n+b-k-1)(n+c)-(k+1)(k+c-a-b+1)(n+c)+\frac{(k+1)(k+c-a-b+1)(2k+d-a+1)(2k+e-b+1)}{2(2k+s+1)}\\
R^{(k)}_n&=n(n+d+k)(n+e+k)+(k+1)(k+c-a-b+1)n+\frac{(k+1)(k+c-a-b+1)(2k+d-a+1)(2k+e-b+1)}{2(2k+s+1)}\\
d^{(k)}_n&=\frac{(k+1)(k+s)(k+c-b-a+1)(k+1-b)(k+1-a)(2k+d-a+1)(2k+e-b+1)(2k+2-c)}{2(2k+s+1)^2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成でき、これによって
\begin{align}
\FF abcde1^{-1}
&=\sum^k_{l=0}\frac{(-a)_l(-b)_l(-\frac c2)_l(s)_{l-1}}{(1)_l(\frac{d-a+1}2)_l(\frac{e-b+1}2)_l(c-b-a+1)_l}(2l+s-1)\\
&\qquad{}+\frac{2\frac{(-a)_{k+1}(-b)_{k+1}(-\frac c2)_{k+1}(s)_k}{(1)_k(\frac{d-a+1}2)_k(\frac{e-b+1}2)_k(c-b-a+1)_k}}{de+abc+2k(k+s)(c+1)}\p
\K^\infty_{n=1}\frac{-n(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)}
{(n+1)(n+d)(n+e)+(n+a)(n+b)(n+c)+2k(k+s)(2n+c+1)}
\end{align}
が得られる。
特に
Dixonの和公式
$$\FF abc{c-a+1}{c-b+1}1
=\frac{\G(c-a+1)\G(c-b+1)\G(\frac c2+1)\G(\frac c2-a-b+1)}{\G(\frac{d-a+1}2)\G(\frac{e-b+1}2)\G(c+1)\G(c-a-b+1)}$$
と合わせることで
Dougallの和公式(の系)
\begin{align}
&{}_5F_4\l(\begin{matrix}
s-1,&\frac{s+1}2,&-a,&-b,&-\tfrac c2\\
&\frac{s-1}2,&\frac{d-a+1}2,&\frac{e-b+1}2,&c-a-b+1
\end{matrix};1\r)\\
={}&\frac{\G(\frac{d-a+1}2)\G(\frac{e-b+1}2)\G(c+1)\G(c-a-b+1)}{\G(c-a+1)\G(c-b+1)\G(\frac c2+1)\G(\frac c2-a-b+1)}
\end{align}
を得る。
低速Apéry変換1
また次のような低速Apéry変換が構成できることもわかった。
$$a+d=b+e=c+f$$
であるとき
$$s=(d+e+f-a-b-c-1)/2$$
とおくと
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a+k)(n+b)(n+c)(n+d-k-1)(n+e-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d-k)(n+e)(n+f)+(n+a+k)(n+b)(n+c)+2sk(2n+a+d)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+k)((n+b-k-1)(n+c-k-1)+(k+1)(k+a+d-b-c))\\
R^{(k)}_n&=(n+d-k-1)((n+e+k)(n+f+k)+(k+1)(k+a+d-b-c))\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+a+d-b-c)(2k+e-b+1)(2k+f-c+1)(n+a+k)(n+d-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+d-k-2}{n+d-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-4)^{-n})$で収束する。
これに対応する漸化式は定理13の漸化式
\begin{align}
0={}
&(n+d)(n+e)(n+f)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(n+c)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-2k(k+s)(2n+a+d)u^{(k)}_n
\end{align}
において$(a,d)\mapsto(a+k,d-k)$としたものに等しいため以下を得る。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{e-b+1}2)_k(e-c)_k(e-a-k)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(d)_{n-k}(e)_n(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{e-b+1}2)_k(e-c)_k(e-a-k)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(d)_{n-k}(e)_n(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(s)_j(-n-b)_j(n+e)_j}{(1)_j(\frac{e-b+1}2)_j(e-c)_j(e-a-k)_j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}
-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^j_{i=1}\frac{(\frac{e-b+1}2)_{i-1}(e-c)_{i-1}(e-a)_{i-1}}{2(s)_i(-n-b)_i(n+e)_i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(s)_j(-n-b)_j(n+e)_j}{(1)_j(\frac{e-b+1}2)_j(e-c)_j(e-a-k)_j}
\end{align}
が成り立つ。
低速Apéry変換2🌀
同様に
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a-k)(n+b)(n+c)(n+d+k-1)(n+e-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d+k)(n+e)(n+f)+(n+a-k)(n+b)(n+c)\\
r^{(k)}_n&=-(n+d+k-1)(n^2+(a+b+c-d-2k-1)(n-d-k)+(a-k-1)(b+c)+bc)\\
R^{(k)}_n&=(n+a-k)(n^2+(d+e+f-a+2k-1)(n+d+k)-(d+k)(b+c)+bc)\\
d^{(k)}_n&=-2(k+s)(k+e-a)(k+f-a)(2k+d-a+1)(n+a-k)(n+d+k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-k-1}{n+a-k}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-4)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(s)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(d)_{n+k}(e)_n(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(s)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(d)_{n+k}(e)_n(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^k_{l=1}\frac{(\frac{d-a+1}2)_{l-1}(d-b)_{l-1}(d-c)_{l-1}}{2(s)_l(-n-a)_l(n+d)_l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
特殊な低速Apéry変換1
$$a+d=b+e=c+f$$
かつ$b=a+1/2$であるとき
$$s=(d+e+f-a-b-c-1)/2$$
とおくと
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k2)(n+a+\tfrac{k+1}2)(n+c)(n+d-\tfrac k2-1)(n+d-\tfrac{k+1}2-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d-\tfrac k2)(n+e-\tfrac k2)(n+f)+(n+a+\tfrac k2)(n+b+\tfrac k2)(n+c)
+2sk(2n+a+d)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k2)((n+b-\tfrac k2-1)(n+c-k-1)+(k+1)(k+2d-2c-1)/2)\\
R^{(k)}_n&=(n+d-\tfrac k2-1)((n+e+\tfrac k2)(n+f+k)+(k+1)(k+2d-2c-1)/2)\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+d-a)(k+2d-2c-1)(2k+f-c+1)(n+a+\tfrac k2)(n+d-\tfrac k2-1)/2\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+d-\tfrac k2-2}{n+d-\tfrac k2-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-27)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{f-c+1}2)_k(2f-2a-k-1)_{2k}}\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n+k}(2e)_{2n-k}(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{f-c+1}2)_k(2f-2a-k-1)_{2k}}\frac{q^{(k)}_n}{2^{-2n+k}(2e)_{2n-k}(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(s)_j(-n-c)_j(n+f)_j}{(1)_j(\frac{f-c+1}2)_j(f-a-\frac k2)_j(f-b-\frac k2)_j}\\
&=\sum^k_{j=0}4^j\frac{(-k)_j(s)_j(-n-c)_j(n+f)_j}{(1)_j(\frac{f-c+1}2)_j(2f-2a-k-1)_{2j}}
\end{align}
が成り立つ($A^{(k)}_n$については不明)。
特殊な低速Apéry変換2🌀
$$a+d=b+e=c+f$$
かつ$b=a-1/2$であるとき
$$s=(d+e+f-a-b-c-1)/2$$
とおくと
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a-\tfrac k2)(n+a-\tfrac{k+1}2)(n+c)(n+d+\tfrac k2-1)(n+d+\tfrac{k+1}2-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d+\tfrac k2)(n+e+\tfrac k2)(n+f)+(n+a-\tfrac k2)(n+b-\tfrac k2)(n+c)\\
r^{(k)}_n&=-(n+d+\tfrac k2-1)((n+a+b-d-\tfrac{3k}2-1)(n+c)+(k+d-a+1)(k+d-b))\\
R^{(k)}_n&=(n+a-\tfrac k2)((n+d+e-a+\tfrac{3k}2)(n+f-1)+(k+d-a+1)(k+d-b))\\
d^{(k)}_n&=-(k+s)(k+d-a+1)(k+d-b)(k+2d-2c)(n+a-\tfrac k2)(n+d+\tfrac k2-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-\tfrac k2-1}{n+a-\tfrac k2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-27)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(s)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n-k}(2d)_{2n+k}(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(s)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n-k}(2d)_{2n+k}(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}
-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^k_{l=1}\frac{(d-a+1)_{l-1}(d-b)_{l-1}(2d-2c)_{l-1}}{2(s)_l(-2n-2a)_l(2n+2d)_l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(2b)_{2n-k-1}(c)_n}{(2d)_{2n+k-1}(f)_{n-1}}
\c(-1)^k\frac{(d-a+1)_k(d-b)_k(2d-2c)_k}{2(s)_{k+1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{(2b)_{2n-k}(c)_n}{(2d)_{2n+k}(f)_n}
\c(-1)^k\frac{(d-a+1)_k(d-b)_k(2d-2c)_k}{(s)_k}
\end{align}
である。
特殊な低速Apéry変換3
\begin{align}
a&=b-\tfrac13=c-\tfrac23\\
d&=e+\tfrac13=f+\tfrac23\\
\end{align}
において
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k3)(n+a+\tfrac{k+1}3)(n+a+\tfrac{k+2}3)
(n+d-\tfrac k3-1)(n+d-\tfrac{k+1}3-1)(n+d-\tfrac{k+2}3-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d-\tfrac k3)(n+d-\tfrac{k+1}3)(n+d-\tfrac{k+2}3)
+(n+a+\tfrac k3)(n+a+\tfrac{k+1}3)(n+a+\tfrac{k+2}3)+3k(d-a-1)(2n+a+d)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k3)((n+a-\tfrac{2k+1}3)(n+a-\tfrac{2k+2}3)+(k+1)(k+3d-3a-3)/3)\\
R^{(k)}_n&=(n+d-\tfrac k3-1)((n+d+\tfrac{2k-1}3)(n+d+\tfrac{2k-2}3)+(k+1)(k+3d-3a-3)/3)\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+3d-3a-3)(4k+3d-3a-1)(4k+3d-3a+1)(n+a+\tfrac k3)(n+d-\tfrac k3-1)/27\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+d-\tfrac k3-2}{n+d-\tfrac k3-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-48)^{-n})$で収束する。
特殊な低速Apéry変換4🌀
\begin{align}
a&=b+\tfrac13=c+\tfrac23\\
d&=e-\tfrac13=f-\tfrac23\\
\end{align}
において
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a-\tfrac k3)(n+a-\tfrac{k+1}3)(n+a-\tfrac{k+2}3)
(n+d+\tfrac k3-1)(n+d+\tfrac{k+1}3-1)(n+d+\tfrac{k+2}3-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d+\tfrac k3)(n+d+\tfrac{k+1}3)(n+d+\tfrac{k+2}3)
+(n+a-\tfrac k3)(n+a-\tfrac{k+1}3)(n+a-\tfrac{k+2}3)\\
r^{(k)}_n&=-(n+d+\tfrac k3-1)((n+b-\tfrac k3)(n+a+c-d-k-1)+(2k+3d-3a+2)(2k+3d-3a+3)/9)\\
R^{(k)}_n&=(n+a-\tfrac k3)((n+e+\tfrac k3-1)(n+d+f-a+k)+(2k+3d-3a+2)(2k+3d-3a+3)/9)\\
d^{(k)}_n&=-(2k+3d-3a+1)^2(2k+3d-3a+2)(2k+3d-3a+3)(n+a-\tfrac k3)(n+d+\tfrac k3-1)/27\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-\tfrac k3-1}{n+a-\tfrac k3}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-48)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{3d-3a+1}2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{3^{-3n-k}(3d)_{3n+k}}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{3d-3a+1}2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{3^{-3n-k}(3d)_{3n+k}}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(3c)_{3m}}{(3d)_{3m}}
-\frac{(3c)_{3n+3}}{(3d)_{3n}}
\sum^k_{l=1}\frac{(3d-3c)_{2l-2}}{(-3n-3a)_l(3n+3d)_l}\frac1{3^l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(3c)_{3n-k-1}}{(3d)_{3n+k-2}}\c(-1)^k\frac{(3d-3c)_{2k}}{3^{k+1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{(3c)_{3n-k}}{(3d)_{3n+k}}\c(-1)^k\frac{(3d-3c)_{2k}}{3^k}
\end{align}
である。
${}_4F_3$の場合$(t=-1)$
いま${}_2F_1$のApéry双対が
$${}_4F_3\l(\begin{matrix}
s-1,&\frac{s+1}2,&-a,&-b\\
&\frac{s-1}2,&c-a,&c-b
\end{matrix};-1\r)$$
(ただし$s=c-a-b$とした)であったことに注意すると次のような結果が得られる。
$$a+d=b+e=c+f$$
において
\begin{align}
x&=a+d\\
P(n)&=\frac{(n+a)(n+b)(n+c)}{2n+x-1}\\
Q(n)&=\frac{(n+d)(n+e)(n+f)}{2n+x+1}
\end{align}
とおいたとき
$$\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}(2n+x-1)
=x-1-\frac{abc}{Q(0)}\p\K^\infty_{n=1}\frac{P(n)Q(n-1)}{Q(n)-P(n)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=P(n)Q(n-1)\\
a^{(k)}_{n+1}
&=Q(n)-P(n)+k(2n+x)\\
r^{(k)}_n
&=P(n)-(k+1)(n+a+b+c-x-k)\\
R^{(k)}_n
&=Q(n-1)+(k+1)(n+d+e+f-x+k-1)\\
d^{(k)}_n
&=(k+1)(k+e-a)(k+f-b)(k+d-c)
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
例えば$d=1$においては
\begin{align}
&{}_4F_3\l(\begin{matrix}
a,&b,&c,&\frac a2+1\\
&1+a-b,&1+a-c,&\frac a2
\end{matrix};-1\r)^{-1}\\
={}&\F{-b}{-c}{1+a-b-c}1
\end{align}
という双対関係が得られる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{(e-a)_k(f-a)_k}\frac{2^n(\frac{x+1}2)_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}p^{(k)}_n\\
B^{(k)}_n&=\frac1{(e-a)_k(f-a)_k}\frac{2^n(\frac{x+1}2)_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}q^{(k)}_n
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(-n-a)_j(n+d)_j}{(1)_j(e-a)_j(f-a)_j}
\l(\sum^n_{m=0}(-1)^m\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}(2m+x-1)
+(-1)^n\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^j_{i=1}\frac{(e-a)_{i-1}(f-a)_{i-1}}{(-n-a)_i(n+d)_i}\r)\\
B^{(k)}_n&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(-n-a)_j(n+d)_j}{(1)_j(e-a)_j(f-a)_j}
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n,j-1)&=(-1)^{n+j}\frac{(a)_{n-j+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+j}(e)_n(f)_n}
\times(e-a)_{j-1}(f-a)_{j-1}\\
G(n,j-1)&=(-1)^{n+j}\frac{(a)_{n-j+2}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+j}(e)_{n+1}(f)_{n+1}}
(2n+x+1)\times(e-a)_{j-1}(f-a)_{j-1}
\end{align}
である。
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=\frac1{(e-a)_k(f-b)_k(e-c)_k}\\
&\qquad{}\times\frac{2^n(\frac{x+1}2)_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\l(q^{(k)}_n\sum^\infty_{m=0}(-1)^m\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}(2m+x-1)-p^{(k)}_n\r)
\end{align}
とおいたとき
$$I^{(k)}_n
=\sum^\infty_{t=1}(-1)^{t+n}(t)_k(t+2n+x)_k
\frac{(a)_{t+n}(b)_{t+n}(c)_{t+n}}{(d)_{t+n+k}(e)_{t+n+k}(f)_{t+n+k}}(2t+2n+k+x-1)$$
が成り立つ。
またこれは
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=(-1)^{n+1}(1)_k(2n+x+1)_{k+1}
\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+k+1}(e)_{n+k+1}(f)_{n+k+1}}\\
&\qquad{}\times{}_6F_5\l(\begin{matrix}
x+2n+k+1&\frac{x+2n+k+1}2+1&k+1&a+n+1&b+n+1&c+n+1\\
&\frac{x+2n+k+1}2&x+2n+1&d+n+k+1&e+n+k+1&f+n+k+1
\end{matrix};-1\r)
\end{align}
と表せるので
Whippleの変換公式
\begin{align}
&{}_6F_5\l(\begin{matrix}
a&\frac a2+1&b&c&d&e\\
&\frac a2&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e
\end{matrix};-1\r)\\
={}&\frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}\FF{1+a-b-c}de{1+a-b}{1+a-c}1
\end{align}
を用いて${}_3F_2$に変換することで次のような二重積分表示を得ることができる。
\begin{align} I^{(k)}_n &=(-1)^{n+1}(1)_k\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+k+1}(e)_{n+k+1}(f)_n} \FF{e-a+k}{c+n+1}{k+1}{d+n+k+1}{e+n+k+1}1\\ &=(-1)^{n+1}\frac{(1)_k}{(e-a)_k(d-c)_k}\frac{(b)_{n+1}}{(f)_n}\\ &\qquad{}\times\frac{\G(d)}{\G(c)\G(d-c)}\frac{\G(e)}{\G(e-a)\G(a)}\\ &\qquad{}\times \int^1_0\int^1_0\frac{x^{n+c}(1-x)^{k+d-c-1}y^{k+e-a-1}(1-y)^{n+a}}{(1-xy)^{k+1}}dxdy \end{align}
低速Apéry変換1
\begin{align}
P_k(n)&=\frac{(n+a+k)(n+b)(n+c)}{2n+x-1}\\
Q_k(n)&=\frac{(n+d-k)(n+e)(n+f)}{2n+x+1}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=P_k(n)Q_k(n-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=Q_k(n)-P_k(n)+k(2n+x)\\
r^{(k)}_n&=P_k(n)-(k+1)(n+a+k)\\
R^{(k)}_n&=Q_k(n-1)+(k+1)(n+d-k-1)\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+f-b)(n+a+k)(n+d-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+d-k-2}{n+d-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
低速Apéry変換2🌀
\begin{align}
P_k(n)&=\frac{(n+a-k)(n+b)(n+c)}{2n+x-1}\\
Q_k(n)&=\frac{(n+d+k)(n+e)(n+f)}{2n+x+1}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=P_k(n)Q_k(n-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=Q_k(n)-P_k(n)\\
r^{(k)}_n&=P_k(n)-n-(k+d-b)(k+d-c)+(k+d-b-c)\\
R^{(k)}_n&=Q_k(n-1)+n-(k+e-b)(k+f-c)+(k+e+f-a-1)\\
d^{(k)}_n&=-(k+e-a)(k+f-a)(n+a-k)(n+d+k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-k-1}{n+a-k}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
特殊な場合
ところで
第六回の記事
では
$$\frac34\z(3)=\sum^\infty_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^3}
=\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(\frac12)_n}{(\frac12)_n}\frac1{n^3}$$
に対してもある種の反復Bauer-Muir変換が構成できていたが、その一般化として次のような結果が得られた。
$$a+e=b+f=c+g=d+h\quad(=x)$$
かつ
$$c=a+b-\frac{x-1}2,\quad d=x-\frac{a+b+1}2$$
において
$$\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n(c)_n(d)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}
=1-\frac{abcd}{efgh}\p\K^\infty_{n=1}
\frac{(n+a)(n+b)(n+c)(n+d)(n+e-1)(n+f-1)(n+g-1)(n+h-1)}{(n+e)(n+f)(n+g)(n+h)-(n+a)(n+b)(n+c)(n+d)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=(n+a)(n+b)(n+c)(n+d+k)(n+e-1)(n+f-1)(n+g-1)(n+h-k-1)\\
a^{(k)}_{n+1}
&=(n+e-k)(n+f-k)(n+g-k)(n+h)-(n+a+k)(n+b+k)(n+c+k)(n+d)-\tfrac12k(k+1)(2k+x-a-b)(2n+x)\\
&=\tfrac14(2k+x-a-b)(2n+x)(6n^2+3(2n+a+b+1)x-2a^2-2b^2-2ab-3a-3b-1)\\
r^{(k)}_n&=(n+d+k)(n+c-2k-2)((n+a-k-1)(n+b-k-1)+3(k+1)(k+x-a-b))\\
R^{(k)}_n&=(n+h-k-1)(n+g+2k+1)((n+e+k)(n+f+k)+3(k+1)(k+x-a-b))\\
d^{(k)}_n&=(k+1)(k+x-a-b)(4k+e-a+3)(4k+f-b+3)(2k+g-a+1)(2k+g-b+1)(n+d+k)(n+h-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+h-k-2}{n+h-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-64)^{-n})$で収束する。
例えば
$$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}a&x-a&\frac x2&\frac{x+1}2\\
x-a+1&a+1&\frac x2+1&\frac{x+1}2\end{pmatrix}$$
とすると
$$\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n(c)_n(d)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}
=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{a(x-a)x}{(n+a)(n+x-a)(2n+x)}$$
が成り立つ。
${}_5F_4$の場合
同様に${}_3F_2$のApéry双対が
$${}_5F_4\l(\begin{matrix}
s-1,&\frac{s+1}2,&-a,&-b,&-\tfrac c2\\
&\frac{s-1}2,&\frac{d-a+1}2,&\frac{e-b+1}2,&c-a-b+1
\end{matrix};-1\r)$$
(ただし$s=(d+e-a-b-c)/2$とした)であったことに注意して適当な一般化を考えることで次のような結果が得られた。
$$a+e=b+f=c+g=d+h$$
において
\begin{align}
x&=a+e\\
s&=(e+f+g+h-a-b-c-d-2)/2\\
P(n)&=\frac{(n+a)(n+b)(n+c)(n+d)}{2n+x-1}\\
Q(n)&=\frac{(n+e)(n+f)(n+g)(n+h)}{2n+x+1}
\end{align}
とおいたとき
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n(c)_n(d)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}(2n+x-1)
=x-1+\frac{abcd}{Q(0)}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-P(n)Q(n-1)}{Q(n)+P(n)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-P(n)Q(n-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=Q(n)+P(n)+k(k+s)(2n+x)\\
r^{(k)}_n
&=-Q(n-1)+(k+s)\l((n+a-k-1)(n+e-1)+\frac{(k+f-a)(k+g-a)(k+h-a)}{2k+s+1}\r)\\
R^{(k)}_n
&=P(n)+(k+s)\l((n+a)(n+e+k)+\frac{(k+f-a)(k+g-a)(k+h-a)}{2k+s+1}\r)\\
d^{(k)}_n
&=\frac{(k+1)(k+s)(k+f-a)(k+g-a)(k+h-a)(k+g-b)(k+h-b)(k+h-c)}{(2k+s+1)^2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
例えば$e=1$においては
\begin{align}
&{}_5F_4\l(\begin{matrix}
a,&b,&c,&d,&\frac a2+1\\
&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&\frac a2
\end{matrix};1\r)^{-1}\\
={}&{}_5F_4\l(\begin{matrix}
a-b-c-d,&-b,&-c,&-d,&\frac{a-b-c-d}2+1\\
&1+a-c-d,&1+a-d-b,&1+a-b-c,&\frac{a-b-c-d}2
\end{matrix};1\r)
\end{align}
という双対関係が得られる。また$a+b=c+d$とすると
\begin{align}
&{}_5F_4\l(\begin{matrix}
a,&b,&c,&d,&\frac a2+1\\
&1+a-b,&1+a-c,&1+a-d,&\frac a2
\end{matrix};1\r)^{-1}\\
={}&{}_3F_2\l(\begin{matrix}
-2b,&-c,&-d\\
&1+a-b-d,&1+a-b-c
\end{matrix};1\r)
\end{align}
が成り立つ。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{(k+s)_k}{2^k(\tfrac s2)_k(f-a)_k(g-a)_k(h-a)_k}
\frac{2^n(\frac{x+1}2)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}p^{(k)}_n\\
B^{(k)}_n&=\frac{(k+s)_k}{2^k(\tfrac s2)_k(f-a)_k(g-a)_k(h-a)_k}
\frac{2^n(\frac{x+1}2)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}q^{(k)}_n
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(k+s)_j(-n-a)_j(n+e)_j}{(1)_j(f-a)_j(g-a)_j(h-a)_j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m(d)_m}{(e)_m(f)_m(g)_m(h)_m}(2m+x-1)
-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}(d)_{n+1}}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}
\sum^j_{i=1}\frac{(f-a)_{i-1}(g-a)_{i-1}(h-a)_{i-1}}{(s)_i(-n-a)_i(n+e)_i}\r)\\
B^{(k)}_n&=\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(k+s)_j(-n-a)_j(n+e)_j}{(1)_j(f-a)_j(g-a)_j(h-a)_j}
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n,j-1)
&=(-1)^j\frac{(a)_{n-j+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}(d)_{n+1}}{(e)_{n+j}(f)_n(g)_n(h)_n}
\times\frac{(f-a)_{j-1}(g-a)_{j-1}(h-a)_{j-1}}{(s)_j}\\
G(n,j-1)
&=(-1)^j\frac{(a)_{n-j+2}(b)_{n+1}(c)_{n+1}(d)_{n+1}}{(e)_{n+j}(f)_{n+1}(g)_{n+1}(h)_{n+1}}
(2n+x+1)\times\frac{(f-a)_{j-1}(g-a)_{j-1}(h-a)_{j-1}}{(s)_{j-1}}\\
\end{align}
である。
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=\frac{2^k(\frac{s+1}2)_k}{(f-a)_k(g-a)_k(h-a)_k(g-b)_k(h-b)_k(h-c)_k}\\
&\qquad{}\times\frac{2^n(\frac{x+1}2)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}
\l(q^{(k)}_n\sum^\infty_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m(d)_m}{(e)_m(f)_m(g)_m(h)_m}(2m+x-1)-p^{(k)}_n\r)
\end{align}
とおいたとき
$$I^{(k)}_n
=\sum^\infty_{t=1}(t)_k(t+2n+x)_k
\frac{(a)_{t+n}(b)_{t+n}(c)_{t+n}(d)_{t+n}}{(e)_{t+n+k}(f)_{t+n+k}(g)_{t+n+k}(h)_{t+n+k}}(2t+2n+k+x-1)$$
が成り立つ。
またこれは
\begin{align}
I^{(k)}_n&=(1)_k(2n+x+1)_{k+1}
\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}(d)_{n+1}}{(e)_{n+k+1}(f)_{n+k+1}(g)_{n+k+1}(h)_{n+k+1}}\\
&\qquad{}\times{}_7F_6\l(\begin{matrix}
x+2n+k+1&\frac{x+2n+k+1}2+1&k+1&a+n+1&b+n+1&c+n+1&d+n+1\\
&\frac{x+2n+k+1}2&x+2n+1&e+n+k+1&f+n+k+1&g+n+k+1&h+n+k+1
\end{matrix}\ ;1\r)
\end{align}
とも表せる。
余談1
ちなみに$d=\frac{x-1}2\quad(h=\frac{x+1}2)$とすると
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n(c)_n(d)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}\frac{2n+x-1}{x-1}
=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n}$$
と${}_3F_2$の場合に退化する。
また
$$(z)_n=z(z+1)\cdots(z+n-1)\sim z^n\quad(z\to\infty)$$
に注意すると、$x$を固定し$d\to\infty$とすることで
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n(c)_n(d)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n(h)_n}(2n+x-1)
\to\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(e)_n(f)_n(g)_n}(2n+x-1)$$
と${}_4F_3$の場合にも退化させられる。実際これに対し
\begin{align}
\P(n)&=\frac{(n+a)(n+b)(n+c)}{2n+x-1}\\
\Q(n)&=\frac{(n+e)(n+f)(n+g)}{2n+x+1}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}/h^2&\to-\P(n)\Q(n-1)\\
a^{(k)}_{n+1}/h&\to\Q(n)-\P(n)+k(2n+x)\\
r^{(k)}_n/h
&\to-\Q(n-1)+(n+a-k-1)(n+e-1)+(k+f-a)(k+g-a)\\
&=\P(n)-(k+1)(n+a+b+c-x-k)\\
R^{(k)}_n/h
&\to-\P(n)+(n+a)(n+e+k)+(k+f-a)(k+g-a)\\
&=\Q(n-1)+(k+1)(n+e+f+g-x+k-1)\\
d^{(k)}_n/h^2
&\to(k+1)(k+f-a)(k+g-b)(k+e-c)
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が得られ
\begin{align}
A^{(k)}_n
&\to\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(-n-a)_j(n+e)_j}{(1)_j(g-a)_j(h-a)_j}
\l(\sum^n_{m=0}(-1)^m\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(e)_m(f)_m(g)_m}(2m+x-1)
+(-1)^m\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(e)_n(f)_n(g)_n}
\sum^j_{i=1}\frac{(f-a)_{i-1}(g-a)_{i-1}}{(-n-a)_i(n+e)_i}\r)\\
B^{(k)}_n&\to\sum^k_{j=0}\frac{(-k)_j(-n-a)_j(n+e)_j}{(1)_j(f-a)_j(g-a)_j}
\end{align}
も成り立つことがわかる。
さらに${}_4F_3$の場合のApéry双対が${}_2F_1$であったことを踏まえると、${}_5F_4$の場合は(${}_1F_0$の場合を除く)他の全ての場合を包含していると言える。
余談2
ちなみに
\begin{align}
S&=\sum^\infty_{n=0}\l(\frac1{(n+x)^2}-\frac1{(n+1-x)^2}\r)\\
&=(1-x)\sum^\infty_{n=0}\frac{2n+1}{(n+x)^2(n+1-x)^2}
\end{align}
という級数は
$$\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}x&x&1-x&1-x\\2-x&2-x&1+x&1+x\end{pmatrix}$$
の場合とみなせる。
例えばカタラン定数
$$\b(2)=\sum^\infty_{n=0}\l(\frac1{(4n+1)^2}-\frac1{(4n+3)^2}\r)$$
や
第六回の記事
の例16において考えた
$$L(\chi_3,2)=\sum^\infty_{n=0}\l(\frac1{(3n+1)^2}-\frac1{(3n+2)^2}\r)$$
という級数などが該当する。
低速Apéry変換1
\begin{align}
P_k(n)&=\frac{(n+a+k)(n+b)(n+c)(n+d)}{2n+x-1}\\
Q_k(n)&=\frac{(n+e-k)(n+f)(n+g)(n+h)}{2n+x+1}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-P_k(n)Q_k(n-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=Q_k(n)+P_k(n)+sk(2n+x)\\
r^{(k)}_n&=-Q_k(n-1)+s(n+a+k)(n+e-2k-2)-(k+a-f+1)(k+a-g+1)(k+a-h+1)\\
R^{(k)}_n&=P_k(n)+s(n+a+2k+1)(n+e-k-1)-(k+a-f+1)(k+a-g+1)(k+a-h+1)\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+g-b)(k+h-c)(k+f-d)(n+a+k)(n+e-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+e-k-2}{n+e-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
低速Apéry変換2🌀
\begin{align}
P_k(n)&=\frac{(n+a-k)(n+b)(n+c)(n+d)}{2n+x-1}\\
Q_k(n)&=\frac{(n+e+k)(n+f)(n+g)(n+h)}{2n+x+1}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-P_k(n)Q_k(n-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=Q_k(n)+P_k(n)\\
r^{(k)}_n&=-Q_k(n-1)+(k+s)(n+a-k-1)(n+e+k-1)\\
R^{(k)}_n&=P_k(n)+(k+s)(n+a-k)(n+e+k)\\
d^{(k)}_n&=-(k+s)(k+f-a)(k+g-a)(k+h-a)(n+a-k)(n+e+k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-k-1}{n+a-k}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
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