Apéryの加速法9-3：その他の計算例(3F2の場合)
はじめに
この記事では
前回の記事
に引き続きApéryの加速法に関する個人的な計算メモをまとめていきます。
今回の記事では
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}$$
という級数に対する計算例についてまとめていきます。
${}_3F_2$の場合
\begin{align}
{}_4F_3\l(\begin{matrix}
1,a,b,c\\d,e,f
\end{matrix};1\r)
&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n(c)_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}\\
&=1+\frac{abc}{def}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)(n+f-1)}{(n+d)(n+e)(n+f)+(n+a)(n+b)(n+c)}
\end{align}
に対しBauer-Muir変換を考えてみたところ、常に$\deg d^{(k)}_n=0$が成り立つとすれば
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d+k)(n+e+k)(n+f+k)+(n+a-k)(n+b-k)(n+c-k)-2k(k+1)n-2s_k\\
r^{(k)}_n&=-(n+a-k-1)(n+b-k-1)(n+c-k-1)-(k+1)(n-1)^2+k(k+1)n-r_kn+r'_k
\end{align}
と求まることがわかった。
ただし$r_k,s_k$は
\begin{align}
(n+a)(n+b)(n+c)&=n^3+An^2+Bn+C\\
(n+d)(n+e)(n+f)&=n^3+Dn^2+En+F
\end{align}
とおいたとき、$r_{-1}=0$および
\begin{align}
r_k&=\frac{(4k+D-A-2)r_{k-1}+2k(D+A)+E-B}{4k+D-A}\\
s_k&=\sum^{k-1}_{l=0}r_l
\end{align}
によって定まるものとした。また$r'_k$の値や$\deg d^{(k)}_n=0$となる条件については調査中。
$a+d=b+e=c+f$の場合
色々と考えてみたところ
$$a+d=b+e=c+f$$
において$\deg d^{(k)}_n=0$が成り立つことがわかった(必要性については未調査)。
ちなみにこれは
\begin{align}
P(n)&=(n+a)(n+b)(n+c)\\
&=n^3+An^2+Bn+C\\
Q(n)&=(n+d)(n+e)(n+f)\\
&=n^3+Dn^2+En+F
\end{align}
とおいたとき
$$P(n-A/3)=-Q(-n-D/3)$$
が成り立つことと同値である。
$$a+d=b+e=c+f$$
であるとき
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b)(n+c)(n+d-1)(n+e-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d)(n+e)(n+f)+(n+a)(n+b)(n+c)+k(2k+d+e+f-a-b-c-1)(2n+a+d)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b-k-1)(n+c-k-1)-(k+1)(k+a+d-b-c)(n+a)+\frac{(k+1)(k+a+d-b-c)(2k+e-b+1)(2k+f-c+1)}{4k+d+e+f-a-b-c+1}\\
R^{(k)}_n&=(n+d-1)(n+e+k)(n+f+k)+(k+1)(k+a+d-b-c)(n+d-1)+\frac{(k+1)(k+a+d-b-c)(2k+e-b+1)(2k+f-c+1)}{4k+d+e+f-a-b-c+1}\\
d^{(k)}_n&=\frac{(k+1)(k+d-b)(k+e-c)(k+f-a)(2k+d-a+1)(2k+e-b+1)(2k+f-c+1)(2k+d+e+f-a-b-c-1)}{(4k+d+e+f-a-b-c+1)^2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=d+e+f-a-b-c-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{(k+\frac s2)_k}{4^k(\frac s4)_k(\frac{d-a+1}2)_k(d-b)_k(d-c)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{(k+\frac s2)_k}{4^k(\frac s4)_k(\frac{d-a+1}2)_k(d-b)_k(d-c)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+\frac s2)_j(n+d)_j}{(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}\binom kj\binom{n+a}j
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^j_{i=1}(-1)^i\frac{(\frac{d-a+1}2)_{i-1}(d-b)_{i-1}(d-c)_{i-1}}{2(1)_i(\frac s2)_i(n+d)_i\binom{n+a}i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+\frac s2)_j(n+d)_j}{(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}\binom kj\binom{n+a}j
\end{align}
が成り立つ。
なおこれに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n,j)&=(-1)^j\frac{(a)_{n-j}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+j+1}(e)_n(f)_n}
\frac{(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}{2(\frac s2)_{j+1}}\\
G(n,j)&=(-1)^j\frac{(a)_{n-j+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+j+1}(e)_{n+1}(f)_{n+1}}
\frac{(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}{(\frac s2)_j}
\end{align}
である。
上の数列$u^{(k)}_n=A^{(k)}_n,B^{(k)}_n$は
\begin{align}
0={}
&(n+d)(n+e)(n+f)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(n+c)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(2k+s)(2n+a+d)u^{(k)}_n
\end{align}
という漸化式を満たす。
\begin{align} &\phantom{{}={}}(\tfrac{d-a+1}2)_k(d-b)_k(d-c)_k \sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+\frac s2)_j(n+d)_j}{(\frac{d-a+1}2)_j(d-b)_j(d-c)_j}\binom kj\binom{n+a}j\\ &=(\tfrac{e-b+1}2)_k(e-c)_k(e-a)_k \sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+\frac s2)_j(n+e)_j}{(\frac{e-b+1}2)_j(e-c)_j(e-a)_j}\binom kj\binom{n+b}j\\ &=(\tfrac{f-c+1}2)_k(f-a)_k(f-b)_k \sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+\frac s2)_j(n+f)_j}{(\frac{f-c+1}2)_j(f-a)_j(f-b)_j}\binom kj\binom{n+c}j \end{align}
また
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=\frac{(\frac{s+2}4)_k}{(\frac{d-a+1}2)_k(\frac{e-b+1}2)_k(\frac{f-c+1}2)_k(d-b)_k(e-c)_k(f-a)_k}\\
&\qquad{}\times\frac1{(d)_n(e)_n(f)_n}\l(q^{(k)}_n\sum^\infty_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}-p^{(k)}_n\r)
\end{align}
とおいたとき
$$I^{(k)}_n\overset?=\frac12\sum^\infty_{t=1}(2t+2n+d+a+k-1)\frac{(t)_k(t+2n+d+a)_k}{(t+n+\frac{d+a-1}2)_{k+1}}
\frac{(a)_{t+n}(b)_{t+n}(c)_{t+n}}{(d)_{t+n+k}(e)_{t+n+k}(f)_{t+n+k}}$$
あたりが成り立つと思われるが、Maximaの計算が終わらなかったため未検証。
ちなみにこの右辺は
\begin{align}
I^{(k)}_n
&\overset?=\frac12\frac{(1)_k(2n+d+a+1)_{k+1}}{(n+\frac{d+a+1}2)_{k+1}}
\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_{n+k+1}(e)_{n+k+1}(f)_{n+k+1}}\\
&\qquad\times{}_7F_6\l(\begin{matrix}
d+a+2n+k+1&\frac{d+a+2n+k+1}2+1&\frac{d+a+1}2+n&k+1&a+n+1&b+n+1&c+n+1\\
&\frac{d+a+2n+k+1}2&\frac{d+a+1}2+n+k+1&d+a+2n+1&d+n+k+1&e+n+k+1&f+n+k+1
\end{matrix}\ ;1\r)
\end{align}
と表せるので
Non-terminating Whippleの変換公式
などが適用できるわけだが、そこから三重積分表示が得られたりするのだろうか。
低速Apéry変換1
また次のような低速Apéry変換が構成できることもわかった。
$$a+d=b+e=c+f$$
であるとき
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a+k)(n+b)(n+c)(n+d-k-1)(n+e-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d-k)(n+e)(n+f)+(n+a+k)(n+b)(n+c)+k(d+e+f-a-b-c-1)(2n+a+d)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+k)((n+b-k-1)(n+c-k-1)+(k+1)(k+a+d-b-c))\\
R^{(k)}_n&=(n+d-k-1)((n+e+k)(n+f+k)+(k+1)(k+a+d-b-c))\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+a+d-b-c)(2k+e-b+1)(2k+f-c+1)(n+a+k)(n+d-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+d-k-2}{n+d-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-4)^{-n})$で収束する。
これに対応する漸化式は定理13の漸化式
\begin{align}
0={}
&(n+d)(n+e)(n+f)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(n+c)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(2k+d+e+f-a-b-c-1)(2n+a+d)u^{(k)}_n
\end{align}
において$(a,d)\mapsto(a+k,d-k)$としたものに等しいため以下を得る。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=d+e+f-a-b-c-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{e-b+1}2)_k(e-c)_k(e-a-k)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(d)_{n-k}(e)_n(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{e-b+1}2)_k(e-c)_k(e-a-k)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(d)_{n-k}(e)_n(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(\frac s2)_j(n+e)_j}{(\frac{e-b+1}2)_j(e-c)_j(e-a-k)_j}\binom kj\binom{n+b}j
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^j_{i=1}(-1)^i\frac{(\frac{e-b+1}2)_{i-1}(e-c)_{i-1}(e-a)_{i-1}}{2(1)_i(\frac s2)_i(n+e)_i\binom{n+b}i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(\frac s2)_j(n+e)_j}{(\frac{e-b+1}2)_j(e-c)_j(e-a-k)_j}\binom kj\binom{n+b}j
\end{align}
が成り立つ。
低速Apéry変換2🌀
同様に
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a-k)(n+b)(n+c)(n+d+k-1)(n+e-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d+k)(n+e)(n+f)+(n+a-k)(n+b)(n+c)\\
r^{(k)}_n&=-(n+d+k-1)(n^2+(a+b+c-d-2k-1)(n-d-k)+(a-k-1)(b+c)+bc)\\
R^{(k)}_n&=(n+a-k)(n^2+(d+e+f-a+2k-1)(n+d+k)-(d+k)(b+c)+bc)\\
d^{(k)}_n&=-(k+e-a)(k+f-a)(2k+d-a+1)(2k+d+e+f-a-b-c-1)(n+a-k)(n+d+k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-k-1}{n+a-k}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-4)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=d+e+f-a-b-c-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac s2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(d)_{n+k}(e)_n(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac s2)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(d)_{n+k}(e)_n(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^k_{l=1}(-1)^l\frac{(\frac{d-a+1}2)_{l-1}(d-b)_{l-1}(d-c)_{l-1}}{2(1)_l(\frac s2)_l(n+d)_l\binom{n+a}l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
特殊な低速Apéry変換1
$$a+d=b+e=c+f$$
かつ$b=a+1/2$であるとき
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k2)(n+a+\tfrac{k+1}2)(n+c)(n+d-\tfrac k2-1)(n+d-\tfrac{k+1}2-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d-\tfrac k2)(n+e-\tfrac k2)(n+f)+(n+a+\tfrac k2)(n+b+\tfrac k2)(n+c)
+k(d+e+f-a-b-c-1)(2n+a+d)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k2)((n+b-\tfrac k2-1)(n+c-k-1)+(k+1)(k+2d-2c-1)/2)\\
R^{(k)}_n&=(n+d-\tfrac k2-1)((n+e+\tfrac k2)(n+f+k)+(k+1)(k+2d-2c-1)/2)\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+d-a)(k+2d-2c-1)(2k+f-c+1)(n+a+\tfrac k2)(n+d-\tfrac k2-1)/2\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+d-\tfrac k2-2}{n+d-\tfrac k2-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-27)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=d+e+f-a-b-c-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{f-c+1}2)_k(2f-2a-k-1)_{2k}}\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n+k}(2e)_{2n-k}(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{f-c+1}2)_k(2f-2a-k-1)_{2k}}\frac{q^{(k)}_n}{2^{-2n+k}(2e)_{2n-k}(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(\frac s2)_j(n+f)_j}{(\frac{f-c+1}2)_j(f-a-\frac k2)_j(f-b-\frac k2)_j}\binom kj\binom{n+c}j\\
&=\sum^k_{j=0}4^j\frac{(1)_j(\frac s2)_j(n+f)_j}{(\frac{f-c+1}2)_j(2f-2a-k-1)_{2j}}\binom kj\binom{n+c}j
\end{align}
が成り立つ($A^{(k)}_n$については不明)。
特殊な低速Apéry変換2🌀
$$a+d=b+e=c+f$$
かつ$b=a-1/2$であるとき
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a-\tfrac k2)(n+a-\tfrac{k+1}2)(n+c)(n+d+\tfrac k2-1)(n+d+\tfrac{k+1}2-1)(n+f-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d+\tfrac k2)(n+e+\tfrac k2)(n+f)+(n+a-\tfrac k2)(n+b-\tfrac k2)(n+c)\\
r^{(k)}_n&=-(n+d+\tfrac k2-1)((n+a+b-d-\tfrac{3k}2-1)(n+c)+(k+d-a+1)(k+d-b))\\
R^{(k)}_n&=(n+a-\tfrac k2)((n+d+e-a+\tfrac{3k}2)(n+f-1)+(k+d-a+1)(k+d-b))\\
d^{(k)}_n&=-(k+d-a+1)(k+d-b)(k+2d-2c)(2k+d+e+f-a-b-c-1)(n+a-\tfrac k2)(n+d+\tfrac k2-1)/2\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-\tfrac k2-1}{n+a-\tfrac k2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-27)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=d+e+f-a-b-c-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac s2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n-k}(2d)_{2n+k}(f)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac s2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n-k}(2d)_{2n+k}(f)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m(c)_m}{(d)_m(e)_m(f)_m}
-2\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}(c)_{n+1}}{(d)_n(e)_n(f)_n}
\sum^k_{l=1}(-1)^l\frac{(d-a+1)_{l-1}(d-b)_{l-1}(2d-2c)_{l-1}}{(1)_l(\frac s2)_l(2n+2d)_l\binom{2n+2a}l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(2b)_{2n-k-1}(c)_n}{(2d)_{2n+k-1}(f)_{n-1}}
\c(-1)^k\frac{(d-a+1)_k(d-b)_k(2d-2c)_k}{2(\frac s2)_{k+1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{(2b)_{2n-k}(c)_n}{(2d)_{2n+k}(f)_n}
\c(-1)^k\frac{(d-a+1)_k(d-b)_k(2d-2c)_k}{(\frac s2)_k}
\end{align}
である。
特殊な低速Apéry変換3
\begin{align}
a&=b-\tfrac13=c-\tfrac23\\
d&=e+\tfrac13=f+\tfrac23\\
\end{align}
において
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k3)(n+a+\tfrac{k+1}3)(n+a+\tfrac{k+2}3)
(n+d-\tfrac k3-1)(n+d-\tfrac{k+1}3-1)(n+d-\tfrac{k+2}3-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d-\tfrac k3)(n+d-\tfrac{k+1}3)(n+d-\tfrac{k+2}3)
+(n+a+\tfrac k3)(n+a+\tfrac{k+1}3)(n+a+\tfrac{k+2}3)+3k(d-a-1)(2n+a+d)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k3)((n+a-\tfrac{2k+1}3)(n+a-\tfrac{2k+2}3)+(k+1)(k+3d-3a-3)/3)\\
R^{(k)}_n&=(n+d-\tfrac k3-1)((n+d+\tfrac{2k-1}3)(n+d+\tfrac{2k-2}3)+(k+1)(k+3d-3a-3)/3)\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+3d-3a-3)(4k+3d-3a-1)(4k+3d-3a+1)(n+a+\tfrac k3)(n+d-\tfrac k3-1)/27\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+d-\tfrac k3-2}{n+d-\tfrac k3-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-48)^{-n})$で収束する。
特殊な低速Apéry変換4🌀
\begin{align}
a&=b+\tfrac13=c+\tfrac23\\
d&=e-\tfrac13=f-\tfrac23\\
\end{align}
において
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a-\tfrac k3)(n+a-\tfrac{k+1}3)(n+a-\tfrac{k+2}3)
(n+d+\tfrac k3-1)(n+d+\tfrac{k+1}3-1)(n+d+\tfrac{k+2}3-1)\\
a^{(k)}_n&=(n+d+\tfrac k3)(n+d+\tfrac{k+1}3)(n+d+\tfrac{k+2}3)
+(n+a-\tfrac k3)(n+a-\tfrac{k+1}3)(n+a-\tfrac{k+2}3)\\
r^{(k)}_n&=-(n+d+\tfrac k3-1)((n+b-\tfrac k3)(n+a+c-d-k-1)+(2k+3d-3a+2)(2k+3d-3a+3)/9)\\
R^{(k)}_n&=(n+a-\tfrac k3)((n+e+\tfrac k3-1)(n+d+f-a+k)+(2k+3d-3a+2)(2k+3d-3a+3)/9)\\
d^{(k)}_n&=-(2k+3d-3a+1)^2(2k+3d-3a+2)(2k+3d-3a+3)(n+a-\tfrac k3)(n+d+\tfrac k3-1)/27\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-\tfrac k3-1}{n+a-\tfrac k3}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-48)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{3d-3a+1}2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{3^{-3n-k}(3d)_{3n+k}}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{2^k(\frac{3d-3a+1}2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{3^{-3n-k}(3d)_{3n+k}}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(3c)_{3m}}{(3d)_{3m}}
-\frac{(3c)_{3n+3}}{(3d)_{3n}}
\sum^k_{l=1}(-1)^l\frac{(3d-3c)_{2l-2}}{(1)_l(3n+3d)_l\binom{3n+3a}l}\frac1{3^l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(3c)_{3n-k-1}}{(3d)_{3n+k-2}}\c(-1)^k\frac{(3d-3c)_{2k}}{3^{k+1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{(3c)_{3n-k}}{(3d)_{3n+k}}\c(-1)^k\frac{(3d-3c)_{2k}}{3^k}
\end{align}
である。
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