Apéryの加速法9-2：その他の計算例(2F1の場合)
はじめに
この記事では
前回の記事
に引き続きApéryの加速法に関する個人的な計算メモをまとめていきます。
今回の記事では
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}t^n\qquad(t=\pm1,\tfrac12)$$
という級数に対する計算例についてまとめていきます。
$t=1$の場合
\begin{align}
\FF1abcd1
&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}\\
&=1+\frac{ab}{cd}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)}{(n+c)(n+d)+(n+a)(n+b)}
\end{align}
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c)(n+d)+(n+a)(n+b)+k(k+c+d-a-b-1)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b)
+(k+1)\l(n-\frac14\l(2k+c+d-3a-3b+\frac{(a-b)^2-(c-d)^2}{2k+c+d-a-b}\r)\r)\\
R^{(k)}_n&=(n+c-1)(n+d-1)
+(k+1)\l(n+\frac14\l(2k+3c+3d-a-b-4-\frac{(a-b)^2-(c-d)^2}{2k+c+d-a-b}\r)\r)\\
d^{(k)}_n&=-\frac{(k+1)(k+c-a)(k+c-b)(k+d-a)(k+d-b)(k+c+d-a-b-1)}{(2k+c+d-a-b)^2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
なお$r^{(k)}_n,R^{(k)}_n$は
\begin{align}
r^{(k)}_n
&=-(n+a)(n+b-k-1)-\frac{(k+1)(k+c-b)(k+d-b)}{2k+c+d-a-b}\\
&=-(n+c-1)(n+a+b-c-k)-\frac{(k+c-a)(k+c-b)(k+c+d-a-b-1)}{2k+c+d-a-b}\\
R^{(k)}_n
&=(n+c-1)(n+d+k)+\frac{(k+1)(k+d-a)(k+d-b)}{2k+c+d-a-b}\\
&=(n+a)(n+c+d-a-1+k)+\frac{(k+c-a)(k+d-a)(k+c+d-a-b-1)}{2k+c+d-a-b}
\end{align}
などとも表せる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{(k+s)_k}{2^k(\frac s2)_k(c-a)_k(d-a)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{(k+s)_k}{2^k(\frac s2)_k(c-a)_k(d-a)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(c-a)_j(d-a)_j}\binom kj\binom{n+a}j
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}
\sum^j_{i=1}(-1)^i\frac{(c-a)_{i-1}(d-a)_{i-1}}{(1)_i(s)_i\binom{n+a}i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(c-a)_j(d-a)_j}\binom kj\binom{n+a}j
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n,j)&=(-1)^j\frac{(a)_{n-j}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\frac{(c-a)_j(d-a)_j}{(s)_{j+1}}\\
G(n,j)&=(-1)^j\frac{(a)_{n-j+1}(b)_{n+1}}{(c)_{n+1}(d)_{n+1}}\frac{(c-a)_j(d-a)_j}{(s)_j}
\end{align}
である。
また$a$が非負整数であるとき
\begin{align}
F(k,j)&=(-1)^{k+j}\frac{(1)_{k-j}(c-b)_k(d-b)_k}{(c-a)_k(d-a)_k}\frac{(c-a)_{j-1}(d-a)_{j-1}}{(s)_{k+j}}\\
G(k,j)&=(2k+c+d-a-b)\\
&\quad\times(-1)^{k+j}\frac{(1)_{k-j+1}(c-b)_k(d-b)_k}{(c-a)_{k+1}(d-a)_{k+1}}\frac{(c-a)_{j-1}(d-a)_{j-1}}{(s)_{k+j}}
\end{align}
というWZ-pairに関するポテンシャル
\begin{align}
c_{k,j}
&=\sum^{k-1}_{l=0}(-1)^l\frac{(1)_l(c-b)_l(d-b)_l}{(c-a)_{l+1}(d-a)_{l+1}(s)_{l+1}}(2l+s+1)\\
&\qquad{}-\frac{(1)_k(c-b)_k(d-b)_k}{(c-a)_k(d-a)_k(s)_k}\sum^j_{i=1}(-1)^{k+i}\frac{(c-a)_{i-1}(d-a)_{i-1}}{(1)_i(k+s)_i\binom ki}
\end{align}
を用いた表示も得られると思われるが、詳しくはまだ検証していない。
上の数列$u^{(k)}_n=A^{(k)}_n,B^{(k)}_n$は
\begin{align}
0={}
&(n+c)(n+d)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(k+c+d-a-b-1)u^{(k)}_n
\end{align}
という漸化式を満たす。
また漸化式の対称性から以下が成り立つ。
\begin{align} &\phantom{{}={}} (c-a)_k(d-a)_k\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(c-a)_j(d-a)_j}\binom kj\binom{n+a}j\\ &=(c-b)_k(d-b)_k\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(c-b)_j(d-b)_j}\binom kj\binom{n+b}j\\ &=(-1)^k(c-a)_k(c-b)_k\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(c-a)_j(c-b)_j}\binom kj\binom{-n-c}j\\ &=(-1)^k(d-a)_k(d-b)_k\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(d-a)_j(d-b)_j}\binom kj\binom{-n-d}j \end{align}
$$I^{(k)}_n=\frac{(-1)^k2^k(\frac{s+1}2)_k}{(c-a)_k(d-a)_k(c-b)_k(d-b)_k}\frac1{(c)_n(d)_n}
\l(q^{(k)}_n\sum^\infty_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}-p^{(k)}_n\r)$$
とおいたとき
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=\sum^\infty_{t=1}(t)_k\frac{(a)_{t+n}(b)_{t+n}}{(c)_{t+n+k}(d)_{t+n+k}}\\
&=\frac{(1)_k}{(c-a)_k(d-b)_k}\times\frac{\G(c)}{\G(a)\G(c-a)}\frac{\G(d)}{\G(b)\G(d-b)}\\
&\phantom{{}=\frac{(1)_k}{(c-a)_k(d-b)_k}}
\times\int^1_0\int^1_0\frac{x^{n+a}(1-x)^{k+c-a-1}y^{n+b}(1-y)^{k+d-b-1}}{(1-xy)^{k+1}}dxdy
\end{align}
が成り立つ。
ここでこの$I^{(k)}_n$は
$$I^{(k)}_n=(1)_k\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_{n+k+1}(d)_{n+k+1}}
\FF{a+n+1}{b+n+1}{k+1}{c+n+k+1}{d+n+k+1}1$$
と表せるわけだが、これに
Kummerの変換公式
$$\FF abpcd1
=\frac{\G(d)\G(c+d-a-b-p)}{\G(d-p)\G(c+d-a-b)}\FF{c-a}{c-b}p{c}{c+d-a-b}1$$
を適用することで次のような表示が得られた。
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(d)_n}\frac{(s)_k}{(c-a)_k(c-b)_k}
\sum^\infty_{t=1}(t)_k\frac{(c-a)_{t+k-1}(c-b)_{t+k-1}}{(c)_{t+n+k}(s)_{t+2k}}\\
&=\frac{(1)_k(s)_k}{(c-a)_k(c-b)_k(d-a)_k}\frac{(b)_{n+1}}{(d)_n}\\
&\qquad\times\frac{\G(c)}{\G(a)\G(c-a)}\frac{\G(s)}{\G(c-b)\G(d-a)}\\
&\qquad\times\int^1_0\int^1_0\frac{x^{k+c-a-1}(1-x)^{n+a}y^{k+c-b-1}(1-y)^{k+d-a-1}}{(1-xy)^{k+1}}dxdy
\end{align}
が成り立つ。
他にもThomaeの変換公式などを用いることで同様の表示が得られると思うが、書き下すのが面倒なので省略。
具体例
$d=1$の場合
例えば$d=1$とすると次のような結果が得られる。
$$\F abc1^{-1}=1-\frac{ab}{c+ab}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-n(n+a)(n+b)(n+c-1)}{(n+1)(n+c)+(n+a)(n+b)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-n(n+a)(n+b)(n+c-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+1)(n+c)+(n+a)(n+b)+k(k+c-a-b)\\
r^{(k)}_n&=-n(n+a+b-k-1)-\frac{(k+c-a)(k+c-b)(k+c-a-b)}{2k+c-a-b+1}\\
R^{(k)}_n&=n(n+c+k)+\frac{(k+1)(k+1-a)(k+1-b)}{2k+c-a-b+1}\\
d^{(k)}_n&=-\frac{(k+1)(k+1-a)(k+1-b)(k+c-a)(k+c-b)(k+c-a-b)}{(2k+c-a-b+1)^2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成でき、これによって
\begin{align}
\F abc1^{-1}
&=1-ab\sum^{k-1}_{l=0}(-1)^l\frac{(c-a)_l(c-b)_l(c-a-b)_l}{(1)_{l+1}(1-a)_{l+1}(1-b)_{l+1}}(2l+c-a-b+1)\\
&\quad{}-(-1)^k\frac{ab\frac{(c-a)_k(c-b)_k(c-a-b)_k}{(1)_k(1-a)_k(1-b)_k}}{c+ab+k(k+c-a-b)}\p
\K^\infty_{n=1}\frac{-n(n+a)(n+b)(n+c-1)}{(n+1)(n+c)+(n+a)(n+b)+k(k+c-a-b)}
\end{align}
を得る。
$b=0$の場合
また例えば$b=0$とすると次のような結果が得られる。
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{(a+1)_{n-1}(1)_{n-1}}{(c)_n(d)_n}
=\frac1{cd}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-n(n+a)(n+c-1)(n+d-1)}{(n+c)(n+d)+n(n+a)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-n(n+a)(n+c-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c)(n+d)+n(n+a)+k(k+c+d-a-1)\\
r^{(k)}_n
&=-n(n+a-k-1)-\frac{(k+1)(k+c-a)(k+d-a)}{2k+c+d-a}\\
R^{(k)}_n
&=n(n+c+d+k-1)+\frac{(k+c)(k+d)(k+c+d-a-1)}{2k+c+d-a}\\
d^{(k)}_n&=-\frac{(k+1)(k+c)(k+d)(k+c-a)(k+d-a)(k+c+d-a-1)}{(2k+c+d-a)^2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成でき、これによって
\begin{align}
\sum^\infty_{n=1}\frac{(a+1)_{n-1}(1)_{n-1}}{(c)_n(d)_n}
&=\sum^{k-1}_{l=0}(-1)^l\frac{(1)_l(c-a)_l(d-a)_l}{(c)_{l+1}(d)_{l+1}(c+d-a-1)_{l+1}}(2l+c+d-a)\\
&\quad+(-1)^k\frac{\frac{(1)_k(c-a)_k(d-a)_k}{(c)_k(d)_k(c+d-a-1)_k}}{cd+k(k+c+d-a-1)}\p
\K^\infty_{n=1}\frac{-n(n+a)(n+c-1)(n+d-1)}{(n+c)(n+d)+n(n+a)+k(k+c+d-a-1)}
\end{align}
を得る。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{2^k(\frac{s+1}2)_k}{(c)_k(d)_k(s)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{2^k(\frac{s+1}2)_k}{(c)_k(d)_k(s)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(c)_j(d)_j}\binom kj\binom nj
\l(\sum^n_{m=1}\frac{(a+1)_{m-1}(1)_{m-1}}{(c)_m(d)_m}-\frac{(a+1)_n(1)_n}{(c)_n(d)_n}
\sum^j_{i=1}(-1)^i\frac{(c)_{i-1}(d)_{i-1}}{(1)_i(s)_i\binom ni}\r)\\
&=\sum^n_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(c)_j(d)_j}\binom kj\binom nj
\l(\sum^{k-1}_{l=0}(-1)^l\frac{(1)_l(c-a)_l(d-a)_l}{(c)_{l+1}(d)_{l+1}(s)_{l+1}}(2l+s+1)
-\frac{(1)_k(c-a)_k(d-a)_k}{(c)_k(d)_k(s)_k}\sum^j_{i=1}(-1)^{k+i}\frac{(c)_{i-1}(d)_{i-1}}{(1)_i(k+s)_i\binom ki}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+s)_j}{(c)_j(d)_j}\binom kj\binom nj
\end{align}
が成り立つ。
$b=0,d=1$の場合
特に$b=0,d=1$の場合は次のような結果が得られる。
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{(a)_n}{(b)_n}\frac1n
=\frac ab\p\K^\infty_{n=1}\frac{-n^2(n+a)(n+b-1)}{(n+1)(n+b)+n(n+a)}$$
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-n^2(n+a)(n+b-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+1)(n+b)+n(n+a)+k(k+b-a)\\
r^{(k)}_n&=-n(n+a)+(k+1)n-\frac{(k+1)(k+1-a)(k+b-a)}{2k+b-a+1}\\
R^{(k)}_n&=n(n+b-1)+(k+1)n+\frac{(k+1)(k+b)(k+b-a)}{2k+b-a+1}\\
d^{(k)}_n&=-\frac{(k+1)^2(k+b-a)^2(k+b)(k+1-a)}{(2k+b-a+1)^2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成でき、これによって
$$\sum^\infty_{n=1}\frac{(a)_n}{(b)_n}\frac1n
=\sum^k_{l=1}(-1)^l\frac{(-a)_l}{(b)_l}\frac{2l+b-a-1}{l(l+b-a-1)}
+(-1)^{k+1}\frac{(-a)_{k+1}/(b)_k}{b+k(k+b-a)}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-n^2(n+a)(n+b-1)}{(n+1)(n+b)+n(n+a)+k(k+b-a)}$$
を得る。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{2^k(\frac{b-a+1}2)_k}{k!(b)_k(b-a)_k}\frac{p^{(k)}_n}{n!(b)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{2^k(\frac{b-a+1}2)_k}{k!(b)_k(b-a)_k}\frac{q^{(k)}_n}{n!(b)_n}\\
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(k+b-a)_j}{(b)_j}\binom kj\binom nj
\l(\sum^n_{m=1}\frac{(a)_m}{(b)_m}\frac1m-\frac{(a)_{n+1}}{(b)_n}
\sum^j_{i=1}(-1)^i\frac{(b)_{i-1}}{(b-a)_i}\frac1{i\binom ni}\r)\\
&=\sum^n_{j=0}\frac{(k+b-a)_j}{(b)_j}\binom kj\binom nj
\l(\sum^k_{l=1}(-1)^l\frac{(-a)_l}{(b)_l}\frac{2l+b-a-1}{l(l+b-a-1)}
+\frac{(-a)_{k+1}}{(b-1)_{k+1}}\sum^j_{i=1}(-1)^{k+i}\frac{(b-1)_i}{(k+b-a)_i}\frac1{i\binom ki}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(k+b-a)_j}{(b)_j}\binom kj\binom nj
\end{align}
が成り立つ。
低速Apéry変換
その1
また次のような低速Apéry変換が構成できることもわかった。
\begin{align}
\FF1abcd1
&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}\\
&=1+\frac{ab}{cd}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)}{(n+c)(n+d)+(n+a)(n+b)}
\end{align}
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a+k)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c)(n+d)+(n+a+k)(n+b)+k(c+d-a-b-1)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+k)(n+b-k-1)\\
R^{(k)}_n&=n^2+(k+c+d-1)n+k^2+(c+d-b)k+cd-b\\
d^{(k)}_n&=(k+1)(k+c-b)(k+d-b)(n+a+k)
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O(4^{-n})$で収束する。
またこれに対応する漸化式は定理1の漸化式
\begin{align}
0={}
&(n+c)(n+d)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(k+c+d-a-b-1)u^{(k)}_n
\end{align}
において$a\mapsto a+k$としたものに等しいことに注意すると以下の事実が従う。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{(c-b)_k(d-b)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{(c-b)_k(d-b)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(s)_j}{(c-b)_j(d-b)_j}\binom kj\binom{n+b}j
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}
\sum^j_{i=1}(-1)^i\frac{(c-b)_{i-1}(d-b)_{i-1}}{(1)_i(s)_i\binom{n+b}i}\r)\\
B^{(k)}_n&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(s)_j}{(c-b)_j(d-b)_j}\binom kj\binom{n+b}j
\end{align}
上の数列$u^{(k)}_n=A^{(k)}_n,B^{(k)}_n$は
\begin{align}
0={}
&(n+c)(n+d)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a+k)(n+b)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-(c+d-a-b-1)ku^{(k)}_n
\end{align}
および
\begin{align}
0={}
&(k+c-b)(k+d-b)(u^{(k+1)}_n-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-k(k+a+n)(u^{(k)}_n-u^{(k-1)}_n)\\
&\quad{}-(c+d-a-b-1)(n+b)u^{(k)}_n
\end{align}
という漸化式を満たす。
その2🌀
同様に
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a)(n+b)(n+c+k-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c+k)(n+d)+(n+a)(n+b)\\
r^{(k)}_n&=-(n+c+k-1)(n+a+b-c-k)\\
R^{(k)}_n&=n^2+(k+c+d-1)n+(k+c)(k+c+d-a-b-1)+ab\\
d^{(k)}_n&=(k+c-a)(k+c-b)(k+c+d-a-b-1)(n+c+k-1)
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成でき、特に
$$s=c+d-a-b-1$$
とおいたときそのApéry双対は
\begin{align}
\FF1abcd1
&=1+\frac{ab}{cs}\p\K^\infty_{k=1}\frac{-(k+c-a-1)(k+c-b-1)(k+s-1)(k+c-1)}{(k+s)(k+c)+(k+c-a-1)(k+c-b-1)}\\
&=1+ab\sum^\infty_{k=1}\frac{(c-a)_{k-1}(c-b)_{k-1}}{(c)_k(s)_k}
\end{align}
と級数展開できる。
またその対角Apéry変換は$O(4^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{p^{(k)}_n}{(1)_k(c)_{n+k}(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{q^{(k)}_n}{(1)_k(c)_{n+k}(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\sum^k_{j=0}(-1)^{k-j}\frac{(n+d)_j}{j!}\binom{n+d-s}{k-j}\sum^{n+j}_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}\\
B^{(k)}_n&=\sum^k_{j=0}(-1)^{k-j}\frac{(n+d)_j}{j!}\binom{n+d-s}{k-j}\\
&=(s)_k
\end{align}
が成り立つ。
また${}_1F_0$の場合と同様にこれに対応するWZ-pairについて考えてみたところ
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_{n+k}(d)_{n-1}}\frac{(c-a)_k(c-b)_k}{(s)_{k+1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_{n+k}(d)_n}\frac{(c-a)_k(c-b)_k}{(s)_k}
\end{align}
と求まり、これによって
\begin{align}
\frac{p^{(k)}_n}{q^{(k)}_n}
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}
+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\sum^k_{l=1}\frac{(c-a)_{l-1}(c-b)_{l-1}}{(c+n)_l(s)_l}\\
&=1+ab\sum^k_{l=1}\frac{(c-a)_{l-1}(c-b)_{l-1}}{(c)_l(s)_l}
+\frac{(c-a)_k(c-b)_k}{(c)_k(s)_k}\sum^n_{m=1}\frac{(a)_m(b)_m}{(c+k)_m(d)_m}
\end{align}
が成り立つことがわかる。
その3🌀
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a-k)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c)(n+d)+(n+a-k)(n+b)\\
r^{(k)}_n&=-n^2-(a+b-k-1)n-(k-a)(k+c+d-a-b)+b-cd\\
R^{(k)}_n&=(n+a-k)(n+c+d-a+k-1)\\
d^{(k)}_n&=-(k+c-a)(k+d-b)(k+c+d-a-b-1)(n+a-k)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-k-1}{n+a-k}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{p^{(k)}_n}{(s)_k(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{q^{(k)}_n}{(s)_k(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}
\sum^j_{i=1}(-1)^i\frac{(c-a)_{i-1}(d-a)_{i-1}}{(1)_i(s)_i\binom{n+a}i}\\
B^{(k)}_n&=1
\end{align}
が成り立つ。
その4
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a)(n+b)(n+c-k-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c-k)(n+d)+(n+a)(n+b)+k(c+d-a-b-1)\\
r^{(k)}_n&=-n^2-(a+b-k-1)n-(k+1)(k+d-a-b)-ab\\
R^{(k)}_n&=(n+c-k-1)(n+d+k)\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+d-a)(k+d-b)(n+c-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+c-k-2}{n+c-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{(c-a-k)_k(d-a)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(c)_{n-k}(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{(c-a-k)_k(d-a)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(c)_{n-k}(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(s)_j}{(c-a-k)_j(d-a)_j}\binom kj\binom{n+a}j
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}
\sum^j_{i=1}(-1)^i\frac{(c-a)_{i-1}(d-a)_{i-1}}{(1)_i(s)_i\binom{n+a}i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(s)_j}{(c-a-k)_j(d-a)_j}\binom kj\binom{n+a}j
\end{align}
が成り立つ。
特殊な低速Apéry変換
その1
$b=a+1/2$において
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a+\tfrac k2)(n+a+\tfrac{k+1}2)(n+c-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c+k)(n+d+k)+(n+a-\tfrac k2)(n+b-\tfrac k2)-k(k+1)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+\tfrac k2)(n+b-1-\tfrac k2)\\
R^{(k)}_n&=(n+c+k)(n+d+k)-(k+1)(n+b+\tfrac k2)\\
d^{(k)}_n&=(k+1)(k+2c-2a-1)(k+2d-2a-1)(n+a+\tfrac k2)/4
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((2/27)^n)$で収束する。
これに対応する漸化式は定理1の漸化式
\begin{align}
0={}
&(n+c)(n+d)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(k+c+d-a-b-1)u^{(k)}_n
\end{align}
において$(a,b)\mapsto(a+\tfrac k2,b+\tfrac k2)$としたものに等しいことに注意すると以下の事実が従う。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{4^k}{(2c-2a-k-1)_{2k}}\frac{p^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{4^k}{(2c-2a-k-1)_{2k}}\frac{q^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}(-1)^{k-j}\frac{(s)_j(n+c)_j}{(c-a-\frac k2)_j(c-b-\frac k2)_j}\binom kj\\
&=\sum^k_{j=0}(-1)^{k-j}4^j\frac{(s)_j(n+c)_j}{(2c-2a-k-1)_{2j}}\binom kj
\end{align}
が成り立つ($A^{(k)}_n$については不明)。
ちなみに
$$\F{\frac a2}{\frac{a+1}2}c1^{-1}
=1-\frac{a(a+1)}{4c+a(a+1)}\p
\K^\infty_{n=1}\frac{-4n(2n+a)(2n+a+1)(n+c-1)}{4(n+1)(n+c)+(2n+a)(2n+a+1)}$$
に対し上と同様の変換のApéry双対を考えることで
$$\F{\frac a2}{\frac{a+1}2}c1^{-1}=\F{-a}{a+1}{2c-a-1}{\frac12}$$
が成り立ち、これによって
$$\F{-a}{a+1}{2c-a-1}{\frac12}=\frac{\G(c-\frac a2)\G(c-\frac{a+1}2)}{\G(c)\G(c-a-\frac12)}$$
という公式が得られる。
その2🌀
$b=a-1/2$において
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a-\tfrac k2)(n+a-\tfrac{k+1}2)(n+c-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c)(n+d)+(n+a-\tfrac k2)(n+b-\tfrac k2)\\
r^{(k)}_n&=-(n+c-1)(n+d-1)+(k+c+d-a-b-1)(n+a-1-\tfrac k2)\\
R^{(k)}_n&=(n+a-\tfrac k2)(n+c+d-a-1+\tfrac k2)\\
d^{(k)}_n&=-(k+2c-2a)(k+2d-2a)(k+c+d-a-b-1)(n+a-\tfrac k2)/4\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-\tfrac k2-1}{n+a-\tfrac k2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-8)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{(s)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{(s)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}
\sum^k_{l=1}(-1)^{l-1}\frac{(2c-2a)_{l-1}(2d-2a)_{l-1}}{(1)_l(s)_l\binom{2n+2a}l}\frac1{2^l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{2^{-2n}(2a-1)_{2n-k-1}}{(c)_{n-1}(d)_{n-1}}\c
(-1)^k\frac{(2c-2a)_k(2d-2a)_k}{(s)_{k+1}}\frac1{2^{k-1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{2^{-2n}(2a-1)_{2n-k}}{(c)_n(d)_n}\c
(-1)^k\frac{(2c-2a)_k(2d-2a)_k}{(s)_k}\frac1{2^k}
\end{align}
である。
その3🌀
$d=c+1/2$において
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a)(n+b)(n+c+\tfrac k2-1)(n+c+\tfrac{k+1}2-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c+\tfrac k2)(n+d+\tfrac{k+1}2)+(n+a)(n+b)\\
r^{(k)}_n&=-(n+c+\tfrac k2-1)(n+a+b-c-\tfrac k2)\\
R^{(k)}_n&=(n+a)(n+b)+(k+c+d-a-b-1)(n+c+\tfrac k2)\\
d^{(k)}_n&=(k+2c-2a)(k+2c-2b)(k+c+d-a-b-1)(n+c+\tfrac k2-1)/4
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((2/27)^n)$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{(s)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n-k}(2c)_{2n+k}}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{(s)_k}\frac{q^{(k)}_n}{2^{-2n-k}(2c)_{2n+k}}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}
\sum^k_{l=1}\frac{(2c-2a)_{l-1}(2c-2b)_{l-1}}{(s)_l(2n+2c)_l}\frac1{2^l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(a)_n(b)_n}{2^{-2n}(2c)_{2n+k-1}}
\frac{(2c-2a)_k(2c-2b)_k}{(s)_{k+1}}\frac1{2^{k+1}}\\
G(n-1,k)&=\frac{(a)_n(b)_n}{2^{-2n}(2c)_{2n+k}}
\frac{(2c-2a)_k(2c-2b)_k}{(s)_k}\frac1{2^k}
\end{align}
である。
その4
$d=c-1/2$において
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a)(n+b)(n+c-\tfrac k2-1)(n+c-\tfrac{k+1}2-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c-\tfrac k2)(n+d-\tfrac k2)+(n+a)(n+b)+k(c+d-a-b-1)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a-k-1)(n+b-k-1)-(k+1)(n+d-\tfrac k2-1)\\
R^{(k)}_n&=(n+c-\tfrac k2-1)(n+d+\tfrac k2)\\
d^{(k)}_n&=(k+2c-2a)(k+2c-2b)(k+c+d-a-b-1)(n+c-\tfrac k2-1)/4\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+c-\tfrac k2-2}{n+c-\tfrac k2-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-8)^{-n})$で収束する。
これに対応する漸化式は定理1の漸化式
\begin{align}
0={}
&(n+c)(n+d)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(k+c+d-a-b-1)u^{(k)}_n
\end{align}
において$(c,d)\mapsto(c-\tfrac k2,d-\tfrac k2)$としたものに等しいことに注意すると以下の事実が従う。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
$$s=c+d-a-b-1$$
および
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{4^k}{(2c-2a-k-1)_{2k}}\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n+k}(2c)_{2n-k}}\\
B^{(k)}_n&=\frac{4^k}{(2c-2a-k-1)_{2k}}\frac{q^{(k)}_n}{2^{-2n+k}(2c)_{2n-k}}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(s)_j}{(c-a-\frac k2)_j(d-a-\frac k2)_j}\binom kj\binom{n+a}j\\
&=\sum^k_{j=0}4^j\frac{(1)_j(s)_j}{(2c-2a-k-1)_{2j}}\binom kj\binom{n+a}j
\end{align}
が成り立つ($A^{(k)}_n$については不明)。
その5
$a=c-1/2$において
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+c+\tfrac k2-1)(n+c+\tfrac{k+1}2-1)(n+b)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c+k)(n+d)+(n+a)(n+b)+k(k-1)/4\\
r^{(k)}_n&=-(n+c+\tfrac k2-1)(n+b-\tfrac{k+1}2)\\
R^{(k)}_n&=(n+c+k)(n+d-1)+(k+1)(k+c-b)/2\\
d^{(k)}_n&=(k+1)(k+c-b)(k+2d-2b-1)(n+c+\tfrac k2-1)/4
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((2/27)^n)$で収束する。
またこれに対応する漸化式
\begin{align}
0
={}&(n+c+k)(n+d)(u^{(2k)}_{n+1}-u^{(2k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a+k)(n+b)(u^{(2k)}_n-u^{(2k)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(k+d-b-\tfrac12)u^{(k)}_n\\
={}&(n+c+k+1)(n+d)(u^{(2k+1)}_{n+1}-u^{(2k+1)}_n)\\
&\quad{}-(n+a+k)(n+b)(u^{(2k+1)}_n-u^{(2k+1)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(k+d-b+\tfrac12)u^{(k)}_n
\end{align}
は適当な変形によって定理1の漸化式
\begin{align}
0={}
&(n+c)(n+d)(u^{(k)}_{n+1}-u^{(k)}_n)\\
&\quad{}-(n+a)(n+b)(u^{(k)}_n-u^{(k)}_{n-1})\\
&\quad{}-k(k+c+d-a-b-1)u^{(k)}_n
\end{align}
に帰着させることができ、これによって以下の事実が従う。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
B^{(2k)}_n&=\frac1{(k+c-b)_k(d-b)_k}\frac{q^{(2k)}_n}{(c)_{n+k}(d)_n}\\
B^{(2k+1)}_n&=\frac1{(k+c-b+1)_k(d-b)_k}\frac{q^{(2k+1)}_n}{(c)_{n+k+1}(d)_n}\\
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
B^{(2k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+d-b-\frac12)_j}{(k+c-b)_j(d-b)_j}\binom kj\binom{n+b}j\\
B^{(2k+1)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+d-b+\frac12)_j}{(k+c-b+1)_j(d-b)_j}\binom kj\binom{n+b}j
\end{align}
が成り立つ。
その6
$c=a+1/2$において
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-(n+a-\tfrac k2)(n+a-\tfrac{k+1}2)(n+b)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c)(n+d)+(n+a-k)(n+b)+k(k-1)/4\\
r^{(k)}_n&=-(n+a-k-1)(n+b)-(k+1)(k+d-a)/2\\
R^{(k)}_n&=(n+a-\tfrac k2)(n+d+\tfrac{k-1}2)\\
d^{(k)}_n&=-(k+1)(k+d-a)(k+2d-2b-1)(n+a-\tfrac k2)/4\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-\frac k2-1}{n+a-\frac k2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-8)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
B^{(2k)}_n&=\frac1{(c-b-k)_k(d-b)_k}\frac{q^{(2k)}_n}{(c)_{n-k}(d)_n}\\
B^{(2k+1)}_n&=\frac1{(c-b-k)_k(d-b)_k}\frac{q^{(2k+1)}_n}{(c)_{n-k}(d)_n}\\
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
B^{(2k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+d-b-\frac12)_j}{(c-b-k)_j(d-b)_j}\binom kj\binom{n+b}j\\
B^{(2k+1)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(k+d-b+\frac12)_j}{(c-b-k)_j(d-b)_j}\binom kj\binom{n+b}j
\end{align}
が成り立つ。
また上の6つの例の他にも$b^{(0)}_{n+1}$が
$$(n+x)(n+x+\tfrac13)(n+x+\tfrac23)$$
や
$$(n+x)(n+x+\tfrac14)(n+x+\tfrac24)(n+x+\tfrac34)$$
という因子を持つ場合にも同様の変換が得られると思うが、流石に各種の計算や場合分けが面倒なので省略。
$t\neq1$の場合について
ちなみに一般の場合
\begin{align}
\FF1abcdt
&=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}t^n\\
&=1+\frac{abt}{cd}\p\K^\infty_{n=1}\frac{-(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)t}{(n+c)(n+d)+(n+a)(n+b)t}
\end{align}
に対しBauer-Muir変換を考えてみたところ、$t\neq1$において
$$r_n=-t(n+a-1)(n+b-1)-(c+d-a-b)\frac t{1-t}$$
とおくと$\deg d_n\leq1$が成り立つことがわかった。
またこのとき
\begin{align}
(n+b)\mid r_n&\iff c+d-a-b=(t-1)(b-a+1)\\
(n+d-1)\mid r_n&\iff c+d-a-b=(t-1)(d-a)(d-b)\\
(n+b)\mid R_n&\iff c+d-a-b=(\tfrac1t-1)(b-c)(b-d)\\
(n+d-1)\mid R_n&\iff c+d-a-b=(t-1)(a+b-2c-1)
\end{align}
が成り立つ。
$t=-1$の場合
いま常に$\deg_n d^{(k)}_n=0$が成り立つような反復Bauer-Muir変換が構成できたとすると、それは
\begin{align}
b^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)t\\
a^{(k)}_n&=(n+c+k)(n+d+k)+(n+a-k)(n+b-k)t\\
r^{(k)}_n&=-t(n+a-k-1)(n+b-k-1)+(k+1)(2k+c+d-a-b)\frac t{t-1}
\end{align}
と求まることがわかった。
これに対し$d^{(k)}_n$の$n$の係数$C$は
$$C=\frac t{t-1}(k+1)\Big((t+1)k(4k+3(c+d-a-b)+2)+(k\ \text{に依らない項})\Big)$$
と求まるため、これが恒等的に$0$であるためには$t=-1$である必要があり、さらにこのとき
$$C=\frac{k+1}2\Big((c-d)^2-(a-b)^2\Big)$$
と求まるので、常に$\deg_n d^{(k)}_n=0$が成り立つためには$t=-1$かつ$(a-b)^2=(c-d)^2$であることが必要十分となることがわかる。
$a+c=b+d$であるとき
\begin{align}
\FF1abcd{-1}
&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}\\
&=1-\frac{ab}{cd}\p\K^\infty_{n=1}\frac{(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)}{(n+c)(n+d)-(n+a)(n+b)}
\end{align}
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c+k)(n+d+k)-(n+a-k)(n+b-k)\\
&=(2k+d-a)(2n+c+a)\\
r^{(k)}_n&=(n+a-k-1)(n+b-k-1)+(k+1)(k+d-a)\\
R^{(k)}_n&=(n+c+k)(n+d+k)+(k+1)(k+d-a)\\
d^{(k)}_n&=(k+1)(k+d-a)(2k+c-a+1)(2k+d-b+1)
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{2^{-k}}{(\frac{c-a+1}2)_k(d-a)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{2^{-k}}{(\frac{c-a+1}2)_k(d-a)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(n+c)_j}{(\frac{c-a+1}2)_j(d-a)_j}\binom kj\binom{n+a}j
\l(\sum^n_{m=0}(-1)^m\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}
+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\sum^j_{i=1}(-1)^{n+i}
\frac{(\tfrac{c-a+1}2)_{i-1}(d-a)_{i-1}}{2(1)_i(n+c)_i\binom{n+a}i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(n+c)_j}{(\frac{c-a+1}2)_j(d-a)_j}\binom kj\binom{n+a}j
\end{align}
が成り立つ。
なおこれに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n,j-1)&=(-1)^{n+j}\frac{(a)_{n-j+1}(b)_{n+1}}{(c)_{n+j}(d)_n}
\c\frac12(\tfrac{c-a+1}2)_{j-1}(d-a)_{j-1}\\
G(n,j-1)&=(-1)^{n+j}\frac{(a)_{n-j+2}(b)_{n+1}}{(c)_{n+j}(d)_{n+1}}
\c(\tfrac{c-a+1}2)_{j-1}(d-a)_{j-1}
\end{align}
である。
また$a$が非負整数であるときは
\begin{align}
F(k,j)&=(-1)^j\frac{(\frac{d-b+1}2)_k(1)_{k-j}}{(\frac{c-a+1}2)_k(d-a)_k}
\frac{(\frac{c-a+1}2)_{j-1}(d-a)_{j-1}}{(c-a)_j}\\
G(k,j)&=(-1)^j\frac{(\frac{d-b+1}2)_k(1)_{k-j+1}}{(\frac{c-a+1}2)_{k+1}(d-a)_{k+1}}
\frac{(\frac{c-a+1}2)_{j-1}(d-a)_{j-1}}{(c-a)_{j-1}}
\end{align}
というWZ-pairに関するポテンシャル
$$c_{k,j}
=\sum^{k-1}_{l=0}\frac{(\frac{d-b+1}2)_l(1)_l}{(\frac{c-a+1}2)_{l+1}(d-a)_{l+1}}
-\frac{(\frac{d-b+1}2)_k(1)_k}{(\frac{c-a+1}2)_k(d-a)_k}\sum^j_{i=1}(-1)^i
\frac{(\frac{c-a+1}2)_{i-1}(d-a)_{i-1}}{(1)_i(c-a)_i\binom ki}$$
を用いた表示も得られると思う。
上の数列$u^{(k)}_n=A^{(k)}_n,B^{(k)}_n$は
$$(n+c)(n+d)u^{(k)}_{n+1}-(2k+d-a)(2n+c+a)u^{(k)}_n-(n+a)(n+b)u^{(k)}_{n-1}=0$$
および
\begin{align}
0&=(k+d-a)(2k+c-a+1)(u^{(k+1)}_n-u^{(k)}_n)\\
&\qquad{}-k(2k+d-b-1)(u^{(k)}_n-u^{(k-1)}_n)\\
&\qquad{}-2(n+a)(n+c)u^{(k)}_n
\end{align}
という漸化式を満たす。
\begin{align} &\phantom{{}={}}(\tfrac{c-a+1}2)_k \sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(n+c)_j}{(\frac{c-a+1}2)_j(d-a)_j}\binom kj\binom{n+a}j\\ &=(\tfrac{d-b+1}2)_k \sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(n+d)_j}{(\frac{d-b+1}2)_j(c-b)_j}\binom kj\binom{n+b}j \end{align}
$$I^{(k)}_n
=\frac{2^{-k}}{(\frac{c-a+1}2)_k(\frac{d-b+1}2)_k(d-a)_k}\frac1{(c)_n(d)_n}
\l(q^{(k)}_n\sum^\infty_{m=0}(-1)^m\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}-p^{(k)}_n\r)$$
とおいたとき
$$I^{(k)}_n
=\frac12\sum^\infty_{t=1}(-1)^{t+n}(2t+2n+c+a+k-1)\frac{(t)_k(t+2n+c+a)_k}{(t+n+\frac{c+a-1}2)_{k+1}}
\frac{(a)_{t+n}(b)_{t+n}}{(c)_{t+n+k}(d)_{t+n+k}}$$
が成り立つ。
ちなみにこれは
\begin{align}
I^{(k)}_n
&=\frac{(-1)^{n+1}}2\frac{(1)_k(2n+c+a+1)_{k+1}}{(n+\frac{c+a+1}2)_{k+1}}
\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_{n+k+1}(d)_{n+k+1}}\\
&\qquad\times{}_6F_5\l(\begin{matrix}
c+a+2n+k+1
&\frac{c+a+2n+k+1}2+1&\frac{c+a+1}2+n&k+1&a+n+1&b+n+1\\
&\frac{c+a+2n+k+1}2&\frac{c+a+1}2+n+k+1&c+a+2n+1&c+n+k+1&d+n+k+1
\end{matrix};-1\r)
\end{align}
と表せるので
Whippleの変換公式
\begin{align}
&{}_6F_5\l(\begin{matrix}
a&\frac a2+1&b&c&d&e\\
&\frac a2&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e
\end{matrix};-1\r)\\
={}&\frac{\G(1+a-d)\G(1+a-e)}{\G(1+a)\G(1+a-d-e)}\FF{1+a-b-c}de{1+a-b}{1+a-c}1
\end{align}
によって${}_3F_2$に変換することで次のような二重積分表示が得られる。
\begin{align} I^{(k)}_n &=\frac{(-1)^{n+1}}2(1)_k \frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_{n+k+1}(d)_{n+k+1}} \FF{d-a+k}{\frac{c+a+1}2+n}{k+1}{c+n+k+1}{d+n+k+1}1\\ &=\frac{(-1)^{n+1}}2\frac{(1)_k}{(\frac{c-a+1}2)_k(d-a)_k} \frac{(b)_{n+1}}{(\frac{c+a+1}2)_n}\\ &\qquad\times \frac{\G(c)}{\G(\frac{c+a+1}2)\G(\frac{c-a+1}2)} \frac{\G(d)}{\G(d-a)\G(a)}\\ &\qquad\times \int^1_0\int^1_0\frac{x^{n+\frac{c+a-1}2}(1-x)^{k+\frac{c-a-1}2}y^{k+d-a-1}(1-y)^{n+a}}{(1-xy)^{k+1}}dxdy \end{align}
また変換の取り方を変えることで複数の同様の表示が得られると思うが、やはり書き下すのが面倒なので割愛。
具体例
例えば$d=1,c=b-a+1$の場合は次のような結果が得られる。
$$\F a{2b}{2b-a+1}{-1}^{-1}
=1+\frac{2ab}{(1-a)(2b+1)}
\p\K^\infty_{n=1}\frac{n(n+a)(n+2b)(n+2b-a)}{(n+1)(n+2b-a+1)-(n+a)(n+2b)}$$
に対し
\begin{align}
\FF1abcd{-1}
&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}\\
&=1-\frac{ab}{cd}\p\K^\infty_{n=1}\frac{(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)}{(n+c)(n+d)-(n+a)(n+b)}
\end{align}
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=ｎ(n+a)(n+2b)(n+2b-a)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(2k+1-a)(2n+2b+1)\\
r^{(k)}_n&=(n+a-k-1)(n+b-k-1)+(k+1)(k+c-a)\\
R^{(k)}_n&=n^2+2(k+b-a+1)n+2(k+1)(k+b-a+1)\\
d^{(k)}_n&=4(k+1)(k+1-a)(k+1-b)(k+b-a+1)
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成でき、これによって
$$\F a{2b}{2b-a+1}{-1}^{-1}
=\sum^k_{l=0}\frac{(-a)_l(-b)_l}{(1)_l(b-a+1)_l}
+\frac{2\frac{(-a)_{k+1}(-b)_{k+1}}{(1)_k(b-a+1)_k}}{(2k+1-a)(2b+1)}
\p\K^\infty_{n=1}\frac{n(n+a)(n+2b)(n+2b-a)}{(2k+1-a)(2n+2b+1)}$$
が得られる。
ちなみにこのApéry双対
$$\F a{2b}{2b-a+1}{-1}^{-1}=\F{-a}{-b}{b-a+1}1$$
と超幾何定理
$$\F abc1=\frac{\G(c)\G(c-a-b)}{\G(c-a)\G(c-b)}$$
からKummerの定理
$$\F a{2b}{2b-a+1}{-1}=\frac{\G(b+1)\G(2b-a+1)}{\G(2b+1)\G(b-a+1)}$$
が得られる。
低速Apéry変換1
また次のような低速Apéry変換が構成できることもわかった。
$a+c=b+d$であるとき
\begin{align}
\FF1abcd{-1}
&=\sum^\infty_{n=0}(-1)^n\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}\\
&=1-\frac{ab}{cd}\p\K^\infty_{n=1}\frac{(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)}{(n+c)(n+d)-(n+a)(n+b)}
\end{align}
に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=(n+a+k)(n+b)(n+c-k-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(k+d-a)(2n+c+a)\\
r^{(k)}_n&=(n+a+k)(n+b-2k-2)\\
R^{(k)}_n&=(n+c-k-1)(n+d+2k+1)\\
d^{(k)}_n&=-2(k+1)(2k+d-b+1)(n+a+k)(n+c-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+c-k-2}{n+c-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O(4^{-n})$で収束する。
これに対応する漸化式は定理4の漸化式
$$(n+c)(n+d)u^{(k)}_{n+1}-(2k+d-a)(2n+c+a)u^{(k)}_n-(n+a)(n+b)u^{(k)}_{n-1}=0$$
において$(a,c)\mapsto(a+k,c-k)$としたものに等しいことに注意すると以下の事実が従う。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{2^{-k}}{(\frac{d-b+1}2)_k(c-b-k)_k}\frac{p^{(k)}_n}{(c)_{n-k}(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{2^{-k}}{(\frac{d-b+1}2)_k(c-b-k)_k}\frac{q^{(k)}_n}{(c)_{n-k}(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(n+d)_j}{(\frac{d-b+1}2)_j(c-b-k)_j}\binom kj\binom{n+b}j
\l(\sum^n_{m=0}(-1)^m\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}
+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\sum^j_{i=1}(-1)^{n+i}
\frac{(\tfrac{d-b+1}2)_{i-1}(c-b)_{i-1}}{2(1)_i(n+d)_i\binom{n+b}i}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(1)_j(n+d)_j}{(\frac{d-b+1}2)_j(c-b-k)_j}\binom kj\binom{n+b}j
\end{align}
が成り立つ。
上の数列$u^{(k)}_n=A^{(k)}_n,B^{(k)}_n$は
$$(n+c-k)(n+d)u^{(k)}_{n+1}-(k+d-a)(2n+c+a)u^{(k)}_n-(n+a+k)(n+b)u^{(k)}_{n-1}=0$$
および
\begin{align}
0&=(k-d+a)(k-d+a+1)(2k+d-b+1)(u^{(k+1)}_n-u^{(k)}_n)\\
&\qquad{}-2k(k+A+n)(k-c-n)(u^{(k)}_n-u^{(k-1)}_n)\\
&\qquad{}-2(d-a)(n+b)(n+d)u^{(k)}_n
\end{align}
という漸化式を満たす。
低速Apéry変換2🌀
同様に
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=(n+a-k)(n+b)(n+c+k-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(k+d-a)(2n+c+a)\\
r^{(k)}_n&=(n+c+k-1)(n+a+b-c-2k-1)\\
R^{(k)}_n&=(n+a-k)(n+c+d-a+2k)\\
d^{(k)}_n&=-2(k+d-a)(2k+c-a+1)(n+a-k)(n+c+k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-k-1}{n+a-k}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O(4^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{p^{(k)}_n}{2^k(c)_{n+k}(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{q^{(k)}_n}{2^k(c)_{n+k}(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}(-1)^m\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}
\sum^k_{l=1}(-1)^{n+l}\frac{(\tfrac{c-a+1}2)_{l-1}(d-a)_{l-1}}{2(1)_l(n+c)_l\binom{n+a}l}\\
B^{(k)}_n&=1
\end{align}
が成り立つ。
特殊な低速Apéry変換1
$$b=a+\tfrac12,\quad d=c-\tfrac12$$
において
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=(n+a+\tfrac k2)(n+a+\tfrac{k+1}2)(n+c-\tfrac k2-1)(n+c-\tfrac{k+1}2-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(k+d-a)(2n+c+a)\\
r^{(k)}_n&=(n+a+\tfrac k2)(n+a-\tfrac{3k+3}2)\\
R^{(k)}_n&=(n+c-\tfrac k2-1)(n+c+\tfrac{3k+1}2)\\
d^{(k)}_n&=-2(k+1)(k+c-a)(n+a+\tfrac k2)(n+c-\tfrac k2-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+c-\tfrac k2-2}{n+c-\tfrac k2-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((2/27)^n)$で収束する。
特殊な低速Apéry変換2🌀
$$b=a-\tfrac12,\quad d=c+\tfrac12$$
において
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=(n+a-\tfrac k2)(n+a-\tfrac{k+1}2)(n+c+\tfrac k2-1)(n+c+\tfrac{k+1}2-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=(n+c+\tfrac k2)(n+c+\tfrac{k+1}2)-(n+a-\tfrac k2)(n+a-\tfrac{k+1}2)\\
r^{(k)}_n&=(n+c+\tfrac k2-1)(n+2a-c-\tfrac{3k+3}2)\\
R^{(k)}_n&=(n+a-\tfrac k2)(n+2c-a+\tfrac{3k+1}2)\\
d^{(k)}_n&=-2(k+c-a+\tfrac12)(k+c-a+1)(n+a-\tfrac k2)(n+c+\tfrac k2-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-\tfrac k2-1}{n+a-\tfrac k2}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((2/27)^n)$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{p^{(k)}_n}{2^{-2n}(2c)_{2n+k}}\\
B^{(k)}_n&=\frac{q^{(k)}_n}{2^{-2n}(2c)_{2n+k}}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}(-1)^m\frac{(2b)_{2m}}{(2c)_{2m}}+(-1)^n\frac{(2b)_{2n+2}}{(2c)_{2n}}
\sum^k_{l=1}(-1)^l\frac{(2c-2a+1)_{2l-2}}{(1)_l(2n+2c)_l\binom{2n+2a}l}\frac1{2^l}\\
B^{(k)}_n&=1
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n-1,k)&=(-1)^n\frac{(2b)_{2n-k-1}}{(2c)_{2n+k-1}}\c(-1)^k\frac{(2c-2a+1)_{2k}}{2^{k+1}}\\
G(n-1,k)&=(-1)^n\frac{(2b)_{2n-k}}{(2c)_{2n+k}}\c(-1)^k\frac{(2c-2a+1)_{2k}}{2^k}
\end{align}
である。
$t=1/2$の場合
ところで$t=1$の場合の特殊な低速Apéry変換(その1,3)のApéry双対から
$$\F a{1-a}{2c-a}{\frac12}$$
という級数が現れるわけだが、一般に$d=(a+b+1)/2$において
$$\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n(d)_n}\frac1{2^n}
=1+\frac{ab}{2cd}
\p\K^\infty_{n=1}\frac{-2(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)}{2(n+c)(n+d)+(n+a)(n+b)}$$
に対しいくつかの変換が構成できることがわかった。
まず最適な$r_n$を選ぶことで次のような変換が構成できる。
上の連分数に対し
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-2(n+a)(n+b)(n+c-1)(n+d-k-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=2(n+c)(n+d)+(n+a)(n+b)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a-k-1)(n+b-k-1)-(k+1)(3k+2(c+d-a-b))\\
R^{(k)}_n&=2(n+d-k-1)(n+c+2k+1)\\
d^{(k)}_n&=-4(k+1)(2k+c-a+1)(2k+c-b+1)(n+d-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+d-k-2}{n+d-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((-8)^{-n})$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{(\frac{c-a+1}2)_k(\frac{c-b+1}2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_{n-k}}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{(\frac{c-a+1}2)_k(\frac{c-b+1}2)_k}\frac{q^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_{n-k}}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}(-4)^{k-j}\binom kj\frac{(n+c)_{2j}}{(\frac{c-a+1}2)_j(\frac{c-b+1}2)_j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}\frac1{2^m}
+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\frac1{2^n}
\sum^j_{i=1}4^{i-1}\frac{(\frac{c-a+1}2)_{i-1}(\frac{c-b+1}2)_{i-1}}{(n+c)_{2i}}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}(-4)^{k-j}\binom kj\frac{(n+c)_{2j}}{(\frac{c-a+1}2)_j(\frac{c-b+1}2)_j}
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n,j-1)
&=\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_{n+2j}(d)_n}\frac1{2^n}
\c4^j(\tfrac{c-a+1}2)_{j-1}(\tfrac{c-b+1}2)_{j-1}\\
G(n,j-1)
&=\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_{n+2j-1}(d)_{n+1}}\frac1{2^{n+1}}
\c4^j(\tfrac{c-a+1}2)_{j-1}(\tfrac{c-b+1}2)_{j-1}\\
\end{align}
である。
また次のような表示も成り立つようだ。
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{4^k(\frac{c-a+1}2)_k(1)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_{n-k}}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{4^k(\frac{c-a+1}2)_k(1)_k}\frac{q^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_{n-k}}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(\frac12)_j(n+d-k)_{k-j}}{(\frac{c-a+1}2)_j(1)_{k-j}}\binom{n+a}{2j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}\frac1{2^m}
-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_{n+1}}\frac1{2^n}
\sum^j_{i=1}\frac{(-1)^i}4\frac{(\frac{c-a+1}2)_{i-1}\binom{n+d}i}{(\frac12)_i\binom{n+a}{2i}}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(\frac12)_j(n+d-k)_{k-j}}{(\frac{c-a+1}2)_j(1)_{k-j}}\binom{n+a}{2j}
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n,j-1)
&=\frac{(a)_{n-2j+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_{n-j+1}}\frac1{2^n}\c(-4)^j(\tfrac{c-a+1}2)_{j-1}\\
G(n,j-1)
&=\frac{(a)_{n-2j+3}(b)_{n+1}}{(c)_{n+1}(d)_{n-j+2}}\frac1{2^{n+1}}\c(-4)^j(\tfrac{c-a+1}2)_{j-1}
\end{align}
である。
上の数列$u^{(k)}_n=A^{(k)}_n,B^{(k)}_n$は
$$2(n+c)(n+d-k)u^{(k)}_{n+1}-(2(n+c)(n+d)+(n+a)(n+b))u^{(k)}_n+(n+a)(n+b)u^{(k)}_{n-1}=0$$
という漸化式を満たす。
低速Apéry変換1
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-2(n+a+2k)(n+b)(n+c-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=2(n+c)(n+d+k)+(n+a+2k)(n+b)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+2k)(n+b-2k-2)\\
R^{(k)}_n&=2(n+c+k)(n+d+k)+(k+1)(2k+a-b+1)\\
d^{(k)}_n&=2(k+1)(2k+c-b+1)(n+a+2k)(n+a+2k+1)
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((2/27)^n)$で収束する。
これに対応する漸化式は定理7において$a\mapsto a+2k$としたものに等しいため、以下の事実が得られる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{(\frac{c-a+1}2-k)_k(\frac{c-b+1}2)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{(\frac{c-a+1}2-k)_k(\frac{c-b+1}2)_k}\frac{q^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}(-4)^{k-j}\binom kj\frac{(n+c)_{2j}}{(\frac{c-a+1}2-k)_j(\frac{c-b+1}2)_j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}\frac1{2^m}
+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\frac1{2^n}
\sum^j_{i=1}4^{i-1}\frac{(\frac{c-a+1}2)_{i-1}(\frac{c-b+1}2)_{i-1}}{(n+c)_{2i}}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}(-4)^{k-j}\binom kj\frac{(n+c)_{2j}}{(\frac{c-a+1}2-k)_j(\frac{c-b+1}2)_j}
\end{align}
が成り立つ。
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac1{4^k(\frac{c-b+1}2)_k(1)_k}\frac{p^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac1{4^k(\frac{c-b+1}2)_k(1)_k}\frac{q^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(\frac12)_j(n+d)_{k-j}}{(\frac{c-b+1}2)_j(1)_{k-j}}\binom{n+b}{2j}
\l(\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}\frac1{2^m}
-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_{n+1}}\frac1{2^n}
\sum^j_{i=1}\frac{(-1)^i}4\frac{(\frac{c-b+1}2)_{i-1}\binom{n+d}i}{(\frac12)_i\binom{n+b}{2i}}\r)\\
B^{(k)}_n
&=\sum^k_{j=0}\frac{(\frac12)_j(n+d)_{k-j}}{(\frac{c-b+1}2)_j(1)_{k-j}}\binom{n+b}{2j}
\end{align}
が成り立つ。
低速Apéry変換2🌀
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-2(n+a)(n+b)(n+c+2k-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=2(n+c+2k)(n+d)+(n+a)(n+b)\\
r^{(k)}_n&=-(n+c+2k-1)(n+a+b-c-2k-1)\\
R^{(k)}_n&=2(n+c+2k)(n+d)+(2k+c-a+1)(2k+c-b+1)\\
d^{(k)}_n&=(2k+c-a+1)(2k+c-b+1)(n+c+2k-1)(n+c+2k)
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
またその対角Apéry変換は$O((2/27)^n)$で収束する。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{p^{(k)}_n}{2^n(c)_{n+2k}(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{q^{(k)}_n}{2^n(c)_{n+2k}(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}\frac1{2^m}
+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\frac1{2^n}
\sum^k_{l=1}4^{l-1}\frac{(\frac{c-a+1}2)_{l-1}(\frac{c-b+1}2)_{l-1}}{(n+c)_{2l}}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
低速Apéry変換3
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-2(n+a+k)(n+b+k)(n+c-k-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=2(n+c-k)(n+d+k)+(n+a+k)(n+b+k)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+k)(n+b+k)\\
R^{(k)}_n&=2(n+c-k-1)(n+d+k)\\
d^{(k)}_n&=-2(k+1)(n+a+k)(n+b+k)(n+c-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+c-k-2}{n+c-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
低速Apéry変換4🌀
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-2(n+a+k)(n+b-k)(n+c+k-1)(n+d-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=2(n+c-k)(n+d)+(n+a+k)(n+b-k)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a+k)(n+c+k-1)\\
R^{(k)}_n&=(n+b-k)(2n+2k+c+a)\\
d^{(k)}_n&=-(2k+c-b+1)(n+a+k)(n+b-k)(n+c+k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+b-k-1}{n+b-k}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{p^{(k)}_n}{2^n(c)_{n+k}(d)_n}\\
B^{(k)}_n&=\frac{q^{(k)}_n}{2^n(c)_{n+k}(d)_n}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}\frac1{2^m}
+\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_n}\frac1{2^n}\sum^k_{l=1}(-2)^{l-1}\frac{(\frac{c-b+1}2)_{l-1}(n+a)_l}{(1)_l(n+c)_l\binom{n+b}l}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
これに対応するWZ-pairは
\begin{align}
F(n-1,k)&=\frac{(a)_{n+k}(b)_{n-k-1}}{(c)_{n+k}(d)_{n-1}}\frac1{2^{n-1}}\c(-2)^k(\tfrac{c-b+1}2)_k\\
G(n-1,k)&=\frac{(a)_{n+k}(b)_{n-k}}{(c)_{n+k}(d)_n}\frac1{2^n}\c(-2)^k(\tfrac{c-b+1}2)_k
\end{align}
である。
低速Apéry変換5
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-2(n+a)(n+b)(n+c-2k-1)(n+d-k-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=2(n+c-2k)(n+d)+(n+a)(n+b)\\
r^{(k)}_n&=-(n+a)(n+b)-2(k+1)(n+c-2k-2)\\
R^{(k)}_n&=2(n+c-2k-1)(n+d-k-1)\\
d^{(k)}_n&=-2(k+1)(n+c-2k-1)(n+c-2k-2)(n+d-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+c-2k-3}{n+c-2k-1}\frac{n+d-k-2}{n+d-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
低速Apéry変換6🌀
\begin{align}
b^{(k)}_{n+1}&=-2(n+a-2k)(n+b)(n+c-1)(n+d-k-1)\\
a^{(k)}_{n+1}&=2(n+c)(n+d-k)+(n+a-2k)(n+b)\\
r^{(k)}_n&=-2(n+c-1)(n+d-k-1)+(n+a-2k-2)(n+a-2k-1)\\
R^{(k)}_n&=2(n+a-2k)(n+d-k-1)\\
d^{(k)}_n&=-(2k+c-a+1)(n+a-2k)(n+a-2k-1)(n+d-k-1)\\
t^{(k)}_n&=\frac{n+a-2k-2}{n+a-2k}\frac{n+d-k-2}{n+d-k-1}
\end{align}
という反復Bauer-Muir変換が構成できる。
上の反復Bauer-Muir変換$p^{(k)}_n,q^{(k)}_n$に対し
\begin{align}
A^{(k)}_n&=\frac{p^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_{n-k}}\\
B^{(k)}_n&=\frac{q^{(k)}_n}{2^n(c)_n(d)_{n-k}}
\end{align}
とおいたとき
\begin{align}
A^{(k)}_n
&=\sum^n_{m=0}\frac{(a)_m(b)_m}{(c)_m(d)_m}\frac1{2^m}
-\frac{(a)_{n+1}(b)_{n+1}}{(c)_n(d)_{n+1}}\frac1{2^n}
\sum^k_{l=1}\frac{(-1)^l}4\frac{(\frac{c-a+1}2)_{l-1}\binom{n+d}l}{(\frac12)_l\binom{n+a}{2l}}\\
B^{(k)}_n
&=1
\end{align}
が成り立つ。
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