一般超幾何級数の変換公式まとめ

この記事では, $(x_1,\dots,x_r):=(x_1)_n\cdots(x_r)_n,\qquad (x)_0:=1,\quad (x)_n:=x(x+1)\cdots(x+n-1)$と表すこととして,
\begin{align} \F{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}{x}&=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_{r+1})_n}{n!(b_1,\dots,b_r)_n}x^n \end{align}
によって定義される一般超幾何級数の変換公式をまとめたいと思う(この記事では合流型の超幾何級数は扱わないことにする). 変数が2つ以下の変換公式は数が多くまとめきれないので, 3つ以上の変数を持つある程度一般的なものに限ってまとめようと思う. また, この記事では超幾何級数の積についても扱わないことにする. なお, 両辺に異なる$r$に関する${}_{r+1}F_r$が現れている場合にどちらにまとめるかに関しては, なんとなくの印象で決めることにする. 以下, $N$は非負整数を表すものとする.

${}_2F_1$

${}_2F_1$の変換公式については 子葉さんの記事 にまとめられているのでここでは扱わない.

${}_3F_2$

Thomae, Kummerの変換公式

\begin{align} \F32{a,b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(e)\Gamma(d+e-a-b-c)}{\Gamma(e-c)\Gamma(d+e-a-b)}\F32{d-a,d-b,c}{d,d+e-a-b}{1}\\ &=\frac{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(d+e-a-b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(d+e-a-b)\Gamma(d+e-a-c)}\F32{d-a,e-a,d+e-a-b-c}{d+e-a-b,d+e-a-c}{1} \end{align}

Whippleの変換公式 の系

\begin{align} \F32{a,b,-N}{d,e}{1}&=\frac{(e-a)_N}{(e)_N}\F32{a,d-b,-N}{d,1-N+a-e}1\\ &=\frac{(a,d+e-a-b)_N}{(d,e)_N}\F32{d-a,e-a,-N}{d+e-a-b,1-N-a}{1} \end{align}

Whippleの二次変換公式

\begin{align} \F32{a,b,c}{1+a-b,1+a-c}{x}&=(1-x)^{-a}\F32{1+a-b-c,\frac a2,\frac{a+1}2}{1+a-b,1+a-c}{-\frac{4x}{(1-x)^2}} \end{align}

Baileyの三次変換公式

$b+c=3a+\frac 32$のとき,
\begin{align} (1-x)^{-3a}\F32{a,a+\frac 13,a+\frac 23}{b,c}{-\frac{27x}{4(1-x)^3}}&=\F32{3a,\frac 12+b-c,\frac 12+c-b}{b,c}{\frac x4}\\ (1-x)^{-3a}\F32{a,a+\frac 13,a+\frac 23}{b,c}{\frac{27x^2}{4(1-x)^3}}&=\F32{3a,b-\frac 12,c-\frac 12}{2b-1,2c-1}{4x} \end{align}

二次変換公式

\begin{align} (1-x)^{-\frac 12-d-e}\F32{d-e+\frac 12,e-d+\frac 12,d+e+\frac 12}{d+1,e+1}{\frac{x^2}{4(x-1)}}=\F32{d+e+\frac 12,d+\frac 12,e+\frac 12}{2d+1,2e+1}{4x(1-x)} \end{align}

三項変換公式

\begin{align} \F32{a,b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(d+e-a-b-c)\Gamma(d)\Gamma(d-e)}{\Gamma(d-a)\Gamma(d-b)\Gamma(d-c)}\F32{e-a,e-b,e-c}{e,1+e-d}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(d+e-a-b-c)\Gamma(e)\Gamma(e-d)}{\Gamma(e-a)\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)}\F32{d-a,d-b,d-c}{d,1+d-e}1\\ &=\frac{\Gamma(d+e-a-b-c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(a-c)}{\Gamma(a)\Gamma(d-c)\Gamma(e-c)\Gamma(d+e-a-b)}\F32{c,d-a,e-a}{d+e-a-b,1+c-a}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(d+e-a-b-c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)\Gamma(d-a)\Gamma(e-a)\Gamma(d+e-a-c)}\F32{a,d-c,e-c}{d+e-b-c,1+a-c}1 \end{align}

三項変換公式

\begin{align} \F32{a,b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(e)\Gamma(e-b-c)}{\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)}\F32{d-a,b,c}{d,1+b+c-e}{1}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(b+c-e)\Gamma(d+e-a-b-c)}{\Gamma(d-a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d+e-b-c)}\F32{e-b,e-c,d+e-a-b-c}{d+e-b-c,1+e-b-c}1 \end{align}

三項変換公式

\begin{align} \F32{a,b,c}{d,e}1&=\frac{\Gamma(e)\Gamma(1+c-d)\Gamma(1-a)\Gamma(e-b-c)}{\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)\Gamma(1+c-a)\Gamma(1-d)}\F32{c,d-a,1+c-e}{1+c-a,1+b+c-e}{1}\\ &\qquad-\frac{\Gamma(d-1)\Gamma(e)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)\Gamma(1-a)\Gamma(e-b-c)\Gamma(1+b+c-e)}{\Gamma(1-d)\Gamma(1+e-d)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d-a)\Gamma(d+e-b-c-1)\Gamma(2+b+c-d-e)}\\ &\qquad\cdot\F32{1+a-d,1+b-d,1+c-d}{2-d,1+e-d}1\\ &=\frac{\Gamma(e)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)\Gamma(1-a)\Gamma(e-b-c)\Gamma(1+b+c-e)}{\Gamma(e-b)\Gamma(e-c)\Gamma(1+b-a)\Gamma(1+c-a)\Gamma(1-d)\Gamma(1+a+b+c-d-e)}\\ &\qquad\cdot\F32{1-a,d-a,e-a}{1+b-a,1+c-a}1\\ &\qquad-\frac{\Gamma(d-1)\Gamma(e)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+c-d)\Gamma(1-a)\Gamma(e-b-c)\Gamma(1+b+c-e)}{\Gamma(1-d)\Gamma(1+e-d)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d-a)\Gamma(d+e-b-c-1)\Gamma(2+b+c-d-e)}\\ &\qquad\cdot\F32{1+a-d,1+b-d,1+c-d}{2-d,1+e-d}1 \end{align}

${}_4F_3$

Whippleの変換公式

$1+a+b+c-N=d+e+f$のとき,
\begin{align} \F43{a,b,c,-N}{d,e,f}{1}&=\frac{(e-a,f-a)_N}{(e,f)_N}\F43{a,d-b,d-c,-N}{d,1-N+a-e,1-N+a-f}1\\ &=\frac{(a,d+e-a-b,d+e-a-c)_N}{(d,e,d+e-a-b-c)_N}\F43{d-a,e-a,d+e-a-b-c,-N}{d+e-a-b,d+e-a-c,1-N-a}{1} \end{align}

Chuの変換公式

\begin{align} \F43{-N,a-c+N,\frac c2,\frac{c+1}2}{1+a-e,\frac e2,\frac{e+1}2}1&=\frac{(1+a-c-e,e-c)_N}{(1+a-e,e)_N}\F32{-N,a-c+N,c}{c+e-a-N,e+N}1 \end{align}

Whippleのnearly-poised変換公式

\begin{align} \F43{a,b,c,-N}{1+a-b,1+a-c,w}{1}&=\frac{(w-a)_N}{(w)_N}\F54{1+a-b-c,\frac a2,\frac{1+a}2,1+a-w,-N}{1+a-b,1+a-c,\frac{1+a-w-N}2,\frac{2+a-w-N}2}1\\ \F43{-N,b,c,d}{1-N-b,1-N-c,w}{1}&=\frac{(w-d)_N}{(w)_N}\F54{d,1-N-b-c,1-N-w,-\frac{N}2,\frac{1-N}2}{1-N-b,1-N-c,\frac{1+d-w-N}2,\frac{2+d-w-N}2}1 \end{align}
系として
\begin{align} \F43{a,b,c,-N}{1+a-b,1+a-c,1+a+N}1&=\frac{(1+N)_N}{(1+a+N)_N}\F43{1+a-b-c,\frac a2,\frac{1+a}2,-N}{1+a-b,1+a-c,\frac 12-N}1\\ \F43{-N,b,c,d}{1-N-b,1-N-c,1-N-c}1&=\frac{(2d)_N}{(d)_N}\F43{1-N-b-c,d,-\frac{N}2,\frac{1-N}2}{1-N-b,1-N-c,d+\frac 12}1\\ \F43{a,1+\frac a2,b,-N}{\frac a2,1+a-b,w}1&=\frac{(w-a)_N}{(w)_N}\F43{\frac a2-b,\frac{a+1}2,1+a-w,-N}{1+a-b,\frac{1+a-w-N}2,1+\frac{a-w-N}2}1\\ \F32{a,b,-N}{1+a-b,w}{-1}&=\frac{(w-a)_N}{(w)_N}\F43{1+a-w,\frac a2,\frac{a+1}2,-N}{1+a-b,\frac{1-N+a-w}2,\frac{2-N+a-w}2}{1}\\ \F32{-N,c,d}{1-N-c,w}{1}&=\frac{(w-d)_N}{(w)_N}\F43{d,1-N-w,-\frac{N}2,\frac{1-N}2}{1-N-b,\frac{1+d-w-N}2,\frac{2+d-w-N}2}1 \end{align}

Baileyのnearly-poised変換公式( Verma-Jainの変換公式 の系)

\begin{align} &\F43{b,x,y,z}{1+a-x,1+a-y,1+a-z}{1}\\ &=\frac{\Gamma(1+a-x)\Gamma(1+a-y)\Gamma(1+a-z)\Gamma(1+a-x-y-z)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-x-y)\Gamma(1+a-x-z)\Gamma(1+a-y-z)}\F54{x,y,z,\frac{1+a-b}2,\frac{2+a-b}2}{x+y+z-a,1+a-b,\frac{1+a}2,\frac{2+a}2}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-x)\Gamma(1+a-y)\Gamma(1+a-z)\Gamma(x+y+z-a-1)\Gamma(1+a-b)\Gamma(3+3a-b-2x-2y-2z)}{\Gamma(x)\Gamma(y)\Gamma(z)\Gamma(2+2a-b-x-y-z)\Gamma(1+a)\Gamma(3+3a-2x-2y-2z)}\\ &\qquad\cdot\F54{1+a-x-y,1+a-x-z,1+a-y-z,\frac{3+3a-b}{2}-x-y-z,\frac{4+3a-b}{2}-x-y-z}{2+a-x-y-z,2+2a-b-x-y-z,\frac{3+3a}2-x-y-z,\frac{4+3a}2-x-y-z}1 \end{align}
特に,
\begin{align} \F43{b,x,y,-N}{1+a-x,1+a-y,1+a+N}{1}&=\frac{(1+a,1+a-x-y)_N}{(1+a-x,1+a-y)_N}\F54{x,y,-N,\frac{1+a-b}2,\frac{2+a-b}2}{x+y-N-a,1+a-b,\frac{1+a}2,\frac{2+a}2}1 \end{align}

Singhの二次変換公式

$a,b,c$のいずれかが$-N$と表されるとき,
\begin{align} \F32{2a,2b,c}{\frac 12+a+b,c+d}1&=\F43{a,b,c,d}{\frac 12+a+b,\frac{c+d}2,\frac{c+d+1}2}1 \end{align}

Nearly-poised 4F3の変換公式の三次類似

\begin{align} &\F43{a,b,\frac 12+a-b,-N}{2b,1+2a-2b,w}4\\ &=\frac{(w-a)_N}{(w)_N}\F65{1+a-w,\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,-\frac N2,\frac{1-N}2}{\frac12+b,1+a-b,\frac{1-N+a-w}3,\frac{2-N+a-w}3,\frac{3-N+a-w}3}1\\ &\F43{-N,b,\frac 12-N-b,d}{2b,1-2N-2b,w}4\\ &=\frac{(w-d)_N}{(w)_N}\F65{1-N-w,-\frac N3,\frac{1-N}3,\frac{2-N}3,\frac d2,\frac{d+1}2}{\frac12+b,1-N-b,\frac{1-N+d-w}3,\frac{2-N+d-w}3,\frac{3-N+d-w}3}1 \end{align}
系として,
\begin{align} \F32{a,\frac 12+a-b,-N}{2b,1+2a-2b}4&=\frac{(b-a)_N}{(b)_N}\F54{\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,-\frac N2,\frac{1-N}2}{\frac12+b,\frac{1-N+a-b}3,\frac{2-N+a-b}3,\frac{3-N+a-b}3}1\\ \F32{-N,b,\frac 12-N-b}{2b,w}4&=\frac{(w+2b-1)_{3N}}{(w)_N(w+2b-1)_{2N}}\F54{1-N-w,-\frac N3,\frac{1-N}3,\frac{2-N}3,\frac 12-N-b}{\frac12+b,\frac{2-2b-w}3-N,\frac{3-2b-w}3-N,\frac{4-2b-w}3-N}1\\ \F32{-N,b,\frac 12-N-b}{2b,b+\frac 12}4&=\frac{\left(3b-\frac 12\right)_{3N}}{\left(b+\frac 12\right)_N\left(3b-\frac 12\right)_{2N}}\F43{-\frac N3,\frac{1-N}3,\frac{2-N}3,\frac 12-N-b}{\frac12+b,\frac{5}6-N-b,\frac 76-N-b}1 \end{align}

Nearly-poised 4F3の変換公式の三次類似

\begin{align} &\F43{a,1+a-2b,2b-a,-N}{\frac 12+b,1+a-b,w}{\frac 14}\\ &=\frac{(w-a)_N}{(w)_N}\F65{\frac{1+a-w}2,\frac{2+a-w}2,\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,-N}{\frac 12+b,1+a-b,\frac{1-N+a-w}3,\frac{2-N+a-w}3,\frac{3-N+a-w}3}1\\ &\F43{-N,1-N-2b,2b+N,d}{\frac 12+b,1-N-b,w}{\frac 14}\\ &=\frac{(w-d)_N}{(w)_N}\F65{\frac{1-N-w}2,\frac{2-N-w}2,-\frac N3,\frac{1-N}3,\frac{2-N}3,d}{\frac 12+b,1-N-b,\frac{1-N+d-w}3,\frac{2-N+d-w}3,\frac{3-N+d-w}3}1 \end{align}

${}_5F_4$

Baileyのnearly-poised変換公式

\begin{align} &\F54{a,1+\frac a2,b,c,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,w}1\\ &=\frac{(w-a-1-N)(w-a)_{N-1}}{(w)_N}\F54{\frac{1+a}2,\frac{2+a}2,1+a-b-c,1+a-w,-N}{1+a-b,1+a-c,\frac{2+a-w-N}2,\frac{3+a-w-N}2}1 \end{align}

Baileyのnearly-poised変換公式

$w=1+2a-b-c-d$とするとき,
\begin{align} &\F54{a,b,c,d,-N}{1+a-b,1+a-c,1+a-d,2a-2w-N}{1}\\ &=\frac{(1+w-a,1+2w-a)_N}{(1+w,1+2w-2a)_N}\F98{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,\frac a2,\frac{a+1}2,1+2w-a+N,-N}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-\frac a2,\frac 12+w-\frac a2,a-w-N,1+w+N}1 \end{align}

Verma-Jainの変換公式

$w=1+2a-b-c-d,\quad f=2a-2w+e$とするとき,
\begin{align} &\F54{a,b,c,d,e}{1+a-b,1+a-c,1+a-d,f}1\\ &+\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(f-1)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+b-f)\Gamma(1+c-f)\Gamma(1+d-f)\Gamma(1+e-f)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(1-f)\Gamma(2+a-b-f)\Gamma(2+a-c-f)\Gamma(2+a-d-f)}\\ &\qquad\cdot\F54{1+a-f,1+b-f,1+c-f,1+d-f,1+e-f}{2-f,2+a-b-f,2+a-c-f,2+a-d-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+w)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+e-f)\Gamma(1+a-w-f)}{\Gamma(1+w-a)\Gamma(1+w-e)\Gamma(1+2w-a)\Gamma(1-f)}\\ &\qquad\F98{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,\frac a2,\frac{a+1}2,e,1+a-f}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-\frac a2,\frac 12+w-\frac a2,1+w-e,w-a+f}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+b-f)\Gamma(1+c-f)\Gamma(1+d-f)\Gamma(1+e-f)\Gamma(w+f-a-1)\Gamma(3+2a-w-2f)}{\Gamma(a)\Gamma(e)\Gamma(w+b-a)\Gamma(w+c-a)\Gamma(w+d-a)\Gamma(1-f)\Gamma(1+b+c-f)\Gamma(1+b+d-f)\Gamma(1+c+d-f)\Gamma(3+a-2f)}\\ &\qquad\cdot\F98{2+2a-w-2f,1+\frac{2+2a-w-2f}2,1+a-f,1+b-f,1+c-f,1+d-f,\frac{2+3a}2-w-f,\frac{3+3a}2-w-f,1+w-a}{\frac{2+2a-w-2f}2,2+a-w-f,2+2a-b-w-f,2+2a-c-w-f,2+2a-d-w-f,\frac{4+a}{2}-f,\frac{3+a}2-f,2+3a-2w-2f}1 \end{align}

${}_6F_5$

Whippleの変換公式

\begin{align} &\F65{a,1+\frac a2,b,c,d,e}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e}{-1}\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)}\F32{1+a-b-c,d,e}{1+a-b,1+a-c}1 \end{align}

Baileyのnearly-poised変換公式

$w=1+2a-b-c-d$とするとき,
\begin{align} &\F65{a,1+\frac a2,b,c,d,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,2+2a-2w-N}{1}\\ &=\frac{(w-a-1,2w-a-1)_N}{(1+w,2w-2a-1)_N}\frac{2w-a-1+2N}{2w-a-1}\F98{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,\frac{a+1}2,\frac{a+2}2,2w-a-1+N,-N}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,\frac 12+w-\frac a2,w-\frac a2,2+a-w-N,1+w+N}1 \end{align}

Baileyの変換公式の系

$w=1+2a-c-d-e, \frac 32+2a=b+c+d+e+f$とするとき,
\begin{align} &\F65{a,b,c,d,e,f}{1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}{1}\\ &\qquad+\frac{\Gamma\left(1+2b-a,a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f\right)}{2\Gamma(a,b-a,c,d,e,f)}\\ &\qquad\qquad\cdot\frac{\Gamma\left(b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a,b-\frac a2\right)}{\Gamma(1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f,1+b-\frac a2)}\\ &\qquad\qquad\qquad\cdot\F65{2b-a,b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a}{1+b-a,1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f}1\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac 12,1+w,b-w,1+a-f,b+f-a,b-\frac a2,b+\frac{1-a}2\right)}{2^a\Gamma\left(b-a,1+w-f,\frac 12+w-\frac a2,1+w-\frac a2,b+f-w,b+\frac a2-w,b+\frac{a+1}2-w\right)}\\ &\qquad\cdot \F98{w,1+\frac w2,b,w+c-a,w+d-a,w+e-a,f,\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac w2,1+w-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+w-f,1+w-\frac a2,\frac 12+w-\frac a2}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma\left(1+2b-w,w-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f\right)}{2\Gamma\left(a,b-a,f,1+b-f,1+b-\frac a2\right)}\\ &\qquad\qquad\cdot\frac{\Gamma(b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a,b-\frac a2)}{\Gamma(w+c-a,w+d-a,w+e-a,1+a+b-w-c,1+a+b-w-d,1+a+b-w-e)}\\ &\qquad\qquad\qquad\cdot\F98{2b-w,1+\frac{2b-w}2,b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-w,b+\frac a2-w,b+\frac{a+1}2-w}{\frac{2b-w}2,1+b-w,1+a+b-w-c,1+a+b-w-d,1+a+b+w-e,1+b-f,1+b-\frac a2,\frac 12+b-\frac a2}1 \end{align}

特に, $w=1+2a-b-c-d, \frac 32+2a+N=b+c+d+e$とするとき,
\begin{align} &\F65{a,b,c,d,e,-n}{1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N}1\\ &=\frac{(1+a,\frac 12)_N(1+2w-a)_{2N}}{(1+a)_{2N}\left(1+w,\frac 12+w-a\right)_N}\\ &\cdot\F98{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,e,\frac a2,\frac{a+1}2,-N}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e,1+w-\frac a2,\frac 12+w-\frac a2,1+w+N}1 \end{align}
$w=e+f-\frac 12, \frac 32-2n=b+c+d+e+f$とするとき,
\begin{align} &\F65{-N,b,c,d,e,f}{1-N-b,1-N-c,1-N-d,1-N-e,1-N-f}{1}\\ &=\frac{(e+f,2e,2f)_N}{(e,f,2e+2f)_N}\F98{w,1+\frac w2,w+b+N,w+c+N,w+d+N,e,f,-\frac N2,\frac{1-N}2}{\frac w2,1-N-b,1-N-c,1-N-d,1+w-e,1+w-f,1+w+\frac N2,\frac 12+w+\frac N2}1 \end{align}

${}_7F_6$

Whippleの変換公式

\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a+N}{1}\\ &=\frac{(1+a,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e)_N}\F43{1+a-b-c,d,e,-N}{1+a-b,1+a-c,d+e-N-a}1 \end{align}

Non-terminating Whippleの変換公式

\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\F43{1+a-b-c,d,e,f}{1+a-b,1+a-c,d+e+f-a}{1}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f)}{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-c-d-e-f)}\\ &\qquad\qquad\cdot \F43{2+2a-b-c-d-e-f,1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f}{2+2a-b-d-e-f,2+2a-c-d-e-f,2+a-d-e-f}1 \end{align}

Baileyの変換公式 の系

$w=1+2a-b-c-d$とするとき,
\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+w)\Gamma(1+w-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-e-f)\Gamma(1+w-e)\Gamma(1+w-f)}\\ &\cdot\F76{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,e,f}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e,1+w-f}{1} \end{align}
$v=2+3a-2b-c-d-e-f$とするとき,
\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &=\frac{\Gamma(b)\Gamma(1+a)\Gamma(2+2a-b-d-e-f)\Gamma(2+2a-b-c-e-f)\Gamma(2+2a-b-c-d-f)\Gamma(2+2a-b-c-d-e)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+v)\Gamma(2+2a-b-c-d-e-f)}\\ &\qquad\cdot\F76{v,1+\frac v2,v+b-a,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e,1+a-b-f}{\frac v2,1+a-b,2+2a-b-d-e-f,2+2a-b-c-e-f,2+2a-b-c-d-f,2+2a-b-c-d-e}1 \end{align}

Baileyの3項変換公式

\begin{align} &\F76{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-d-e-f)\Gamma(1-c)\Gamma(1+e+f-c)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)\Gamma(1+e-c)\Gamma(1+f-c)\Gamma(b-a)\Gamma(b+e+f-a)}\\ &\qquad\cdot\F76{e+f-c,1+\frac{e+f-c}2,1+a-b-c,1+a-c-d,e+f-a,e,f}{\frac{e+f-c}2,b+e+f-a,d+e+f-a,1+a-c,1+f-c,1+e-c}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-b-c)\Gamma(1+b-a)\Gamma(1+b-c)\Gamma(1+b-d)\Gamma(1+b-e)\Gamma(1+b-f)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma(2+a-d-e-f)\Gamma(1-c)\Gamma(1+2b-a)}{\Gamma(b+d+e+f-2a-1)\Gamma(2+2a-b-d-e-f)}\\ &\qquad\cdot\F76{2b-a,1+\frac{2b-a}2,b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a}{\frac{2b-a}2,1+b-a,1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f}1 \end{align}

Verma-Jainの二次変換公式 の系

\begin{align} \F76{\frac a2,1+\frac a4,\frac b2,\frac x2,\frac{1+x}2,\frac y2,\frac{1+y}2}{\frac a4,1+\frac{a-b}2,1+\frac{a-x}2,\frac{1+a-x}2,1+\frac{a-y}2,\frac{1+a-y}2}1&=\frac{\Gamma(1+a-x)\Gamma(1+a-y)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-x-y)}\F32{x,y,\frac{1+a-b}2}{1+a-b,\frac{1+a}2}1 \end{align}

${}_9F_8$

Baileyの変換公式

$w=1+2a-b-c-d, \quad2+3a=b+c+d+e+f+g-N$のとき,
\begin{align} &\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,-N}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a+N}1\\ &=\frac{(1+a,1+a-e-f,1+w-e,1+w-f)_N}{(1+a-e,1+a-f,1+w,1+w-e-f)_N}\\ &\qquad\cdot\F98{w,1+\frac w2,w+b-a,w+c-a,w+d-a,e,f,g,-N}{\frac w2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+w-e,1+w-f,1+w-g,1+w+N}1 \end{align}
$v=2+3a-2b-c-d-e-f,\quad 2+3a=b+c+d+e+f+g-N$のとき,
\begin{align} &\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,-n}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a+n}1\\ &=\frac{(b,1+a,2+2a-b-d-e-f,2+2a-b-c-e-f,2+2a-b-c-d-f,2+2a-b-c-d-e)_N}{(1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+v,2+2a-b-c-d-e-f)_N}\\ &\qquad\cdot\F98{v,1+\frac v2,v+b-a,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e,1+a-b-f,g,-N}{\frac v2,1+a-b,2+2a-b-d-e-f,2+2a-b-c-e-f,2+2a-b-c-d-f,2+2a-b-c-d-e,1+v-g,1+v+N}1 \end{align}

Baileyの4項変換公式

$w=1+2a-c-d-e, 2+3a=b+c+d+e+f+g+h$とするとき,
\begin{align} &\F98{a,1+\frac a2,b,c,d,e,f,g,h}{\frac a2,1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h}{1}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+2b-a,a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h)}{\Gamma(1+a,b-a,c,d,e,f,g,h)}\\ &\qquad\qquad\cdot\frac{\Gamma(b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f,1+b-g,1+b-h)}\\ &\qquad\qquad\qquad\cdot\F98{2b-a,1+\frac{2b-a}2,b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a,b+g-a,b+h-a}{\frac{2b-a}2,1+b-a,1+b-c,1+b-d,1+b-e,1+b-f,1+b-g,1+b-h}1\\ &=\frac{\Gamma(1+w,b-w,1+a-f,1+a-g,1+a-h,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(1+a,b-a,1+w-f,1+w-g,1+w-h,b+f-w,b+g-w,b+h-w)}\\ &\qquad\cdot \F98{w,1+\frac w2,b,w+c-a,w+d-a,w+e-a,f,g,h}{\frac w2,1+w-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+w-f,1+w-g,1+w-h}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+2b-w,w-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f,1+a-g,1+a-h)}{\Gamma(1+a,b-a,f,g,h,1+b-f,1+b-g,1+b-h)}\\ &\qquad\qquad\cdot\frac{\Gamma(b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-a,b+g-a,b+h-a)}{\Gamma(w+c-a,w+d-a,w+e-a,1+a+b-w-c,1+a+b-w-d,1+a+b-w-e)}\\ &\qquad\qquad\qquad\cdot\F98{2b-w,1+\frac{2b-w}2,b,b+c-a,b+d-a,b+e-a,b+f-w,b+g-w,b+h-w}{\frac{2b-w}2,1+b-w,1+a+b-w-c,1+a+b-w-d,1+a+b+w-e,1+b-f,1+b-g,1+b-h}1 \end{align}

Verma-Jainの二次変換公式

\begin{align} &\F98{\frac a2,1+\frac a4,\frac b2,\frac x2,\frac{1+x}2,\frac y2,\frac{1+y}2,\frac z2,\frac{1+z}2}{\frac a4,1+\frac{a-b}2,1+\frac{a-x}2,\frac{1+a-x}2,1+\frac{a-y}2,\frac{1+a-y}2,1+\frac{a-z}2,\frac{1+a-z}2}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-x)\Gamma(1+a-y)\Gamma(1+a-z)\Gamma(1+a-x-y-z)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-x-y)\Gamma(1+a-x-z)\Gamma(1+a-y-z)}\F43{x,y,z,\frac{1+a-b}2}{x+y+z-a,1+a-b,\frac{1+a}2}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma\left(1+\frac{a-b}2\right)\Gamma\left(\frac{3+3a-b}2-x-y-z\right)\Gamma(1+a-x)\Gamma(1+a-y)\Gamma(1+a-z)\Gamma(x+y+z-a)}{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma\left(\frac{3+3a}2-x-y-z\right)\Gamma(x)\Gamma(y)\Gamma(z)\Gamma(2+2a-b-x-y-z)}\\ &\qquad\cdot\F43{1+a-x-y,1+a-x-z,1+a-y-z,\frac{3+3a-b}2-x-y-z}{2+a-x-y-z,2+2a-b-x-y-z,\frac{3+3a}2-x-y-z}1 \end{align}
特に,
\begin{align} &\F98{\frac a2,1+\frac a4,\frac b2,\frac x2,\frac{1+x}2,\frac y2,\frac{1+y}2,-\frac N2,\frac{1-N}2}{\frac a4,1+\frac{a-b}2,1+\frac{a-x}2,\frac{1+a-x}2,1+\frac{a-y}2,\frac{1+a-y}2,1+\frac{a+N}2,\frac{1+a+N}2}1\\ &=\frac{(1+a,1+a-x-y)_N}{(1+a-x,1+a-y)_N}\F43{x,y,-N,\frac{1+a-b}2}{x+y-N-a,1+a-b,\frac{1+a}2}1 \end{align}

${}_{11}F_{10}$

Verma-Jainの三次変換公式

\begin{align} &\F{11}{10}{\frac a3,1+\frac a6,\frac d3,\frac{d+1}3,\frac{d+2}3,\frac e3,\frac{e+1}3,\frac{e+2}3,\frac f3,\frac{f+1}3,\frac{f+2}3}{\frac a6,\frac{3+a-d}3,\frac{2+a-d}3,\frac{1+a-d}3,\frac{3+a-e}3,\frac{2+a-e}3,\frac{1+a-e}3,\frac{3+a-f}3,\frac{2+a-f}3,\frac{1+a-f}3}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot \F43{d,e,f,\frac a3}{d+e+f-a,\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34}\\ &\qquad+\frac{3^{a-d-e-f}\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma\left(1+\frac{4a}3-d-e-f\right)}{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(2+3a-2d-2e-2f)\Gamma\left(1+\frac a3\right)}\\ &\qquad\cdot\F43{1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f,1+\frac{4a}3-d-e-f}{2+a-d-e-f,1+\frac{3a}2-d-e-f,\frac{3+3a}2-d-e-f}{\frac 34} \end{align}
特に
\begin{align} &\F{11}{10}{\frac a3,1+\frac a6,\frac d3,\frac{d+1}3,\frac{d+2}3,\frac e3,\frac{e+1}3,\frac{e+2}3,-\frac{N}3,\frac{1-N}3,\frac{2-N}3}{\frac a6,\frac{3+a-d}3,\frac{2+a-d}3,\frac{1+a-d}3,\frac{3+a-e}3,\frac{2+a-e}3,\frac{1+a-e}3,\frac{3+a+N}3,\frac{2+a+N}3,\frac{1+a+N}3}1\\ &=\frac{(1+a,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e)_N}\F43{d,e,-N,\frac a3}{d+e-N-a,\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34} \end{align}

その他

Chu-Zhangの変換公式

\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(b,c,d,e)_n}{(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e)_n}\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(c,d,e,1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e)_n}{(1+a-b)_{2n}(1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+2a-b-c-d-e)_n}\\ &\qquad\cdot\left(\frac{(1+2a-b-c-d+2n)(a-e+n)}{1+2a-b-c-d-e+n}+\frac{(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+n)(e+n)}{(1+a-b+2n)(1+2a-b-c-d-e+n)}\right)\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n(1+a-b-c,1+a-b-d,1+a-b-e,1+a-c-d,1+a-c-e,1+a-d-e)_n}{(1+2a-b-c-d-e)_{2n+2}(1+a-b,1+a-c,1+a-d,1+a-e)_n}\\ &\qquad\cdot\bigg((1+2a-b-c-d+2n)(2+2a-b-c-d-e+2n)(a-e+n)\\ &\qquad\qquad+(1+a-b-c+n)(1+a-b-d+n)(1+a-c-d+n)\bigg) \end{align}

あとがき

他にも書いておいた方が良さそうな公式があれば追記したいと思う.