Verma-Jainの3次変換公式
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;q;x):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{x}
\end{align}
とする.
$\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}$とするとき,
\begin{align}
&W\left(a;d^{\frac 13},\omega d^{\frac 13},\omega^2d^{\frac 13},e^{\frac 13},\omega e^{\frac 13},\omega^2 e^{\frac 13},f^{\frac 13},\omega f^{\frac 13},\omega^2 f^{\frac 13};q;\frac{a^4q^4}{def}\right)\\
&=\frac{(a^3q^3,a^3q^3/de,a^3q^3/df,a^3q^3/ef;q^3)_{\infty}}{(a^3q^3/d,a^3q^3/e,a^3q^3/f,a^3q^3/def;q^3)_{\infty}}\\
&\qquad\Q65{d,e,f,aq,aq^2,aq^3}{def/a^3,(aq)^{\frac 32},-(aq)^{\frac 32},a^{\frac 32}q^3,-a^{\frac 32}q^3}{q^3;q^3}\\
&\qquad+\frac{(d,e,f,a^9q^9/d^2e^2f^2;q^3)_{\infty}(aq;q)_{\infty}}{(a^3q^3/d,a^3q^3/e,a^3q^3/f,def/a^3q^3;q^3)_{\infty}(a^4q^4/def;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q65{a^3q^3/de,a^3q^3/df,a^3q^3/ef,a^4q^4/def,a^4q^5/def,a^4q^6/def}{a^3q^6/def,(aq)^{\frac 92}/def,-(aq)^{\frac 92}/def,a^{\frac 92}q^6/def,-a^{\frac 92}q^6/def}{q^3;q^3}
\end{align}
Verma-Jainの展開公式(
前の記事
の定理2)において$q\mapsto q^3,a\mapsto a^3$としてから
\begin{align}
A_n:=\frac{(1-aq^{2n})(a;q)_n}{(1-a)(q;q)_n}(aq)^n
\end{align}
とすると,
\begin{align}
&W\left(a;d^{\frac 13},\omega d^{\frac 13},\omega^2d^{\frac 13},e^{\frac 13},\omega e^{\frac 13},\omega^2 e^{\frac 13},f^{\frac 13},\omega f^{\frac 13},\omega^2 f^{\frac 13};q;\frac{a^4q^4}{def}\right)\\
&=\frac{(a^3q^3,a^3q^3/de,a^3q^3/df,a^3q^3/ef;q^3)_{\infty}}{(a^3q^3/d,a^3q^3/e,a^3q^3/f,a^3q^3/def;q^3)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f;q^3)_n}{(q^3,a^3q^3,def/a^3;q^3)_n}q^{3n}\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{2k})(a;q)_k(q^{-3n};q^3)_k}{(1-a)(q;q)_k(a^3q^{3n+3};q^3)_k}(aq^{3n+1})^k\\
&\qquad+\frac{(d,e,f,a^6q^6/def;q^3)_{\infty}}{(a^3q^3/d,a^3q^3/e,a^3q^3/e,def/a^3q^3;q^3)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(a^3q^3/de,a^3q^3/df,a^3q^3/ef;q^3)_n}{(q^3,a^6q^6/def,a^3q^6/def;q^3)_n}q^{3n}\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2k})(a;q)_k(defq^{-3n-3}/a^3;q^3)_k}{(1-a)(q;q)_k(a^6q^{3n+6}/def;q^3)_k}\left(\frac{a^4q^{3n+4}}{def}\right)^k
\end{align}
となる. ここで, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{2k})(a;q)_k(q^{-3n};q^3)_k}{(1-a)(q;q)_k(a^3q^{3n+3};q^3)_k}(aq^{3n+1})^k\\
&=W(a;q^{-n},\omega q^{-n},\omega q^{-n};q;aq^{3n+1})\\
&=\frac{(aq,aq^{2n+1};q)_n}{(a\omega q^{n+1},a\omega^2 q^{n+1};q)_n}\\
&=\frac{(aq;q)_{3n}(a^3q^3;q^3)_n}{(a^3q^3;q^3)_{2n}}\\
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-aq^{2k})(a;q)_k(defq^{-3n-3}/a^3;q^3)_k}{(1-a)(q;q)_k(a^6q^{3n+6}/def;q^3)_k}\left(\frac{a^4q^{3n+4}}{def}\right)^k\\
&=W\left(a;(def)^{\frac 13}q^{-n-1}/a,(def)^{\frac 13}\omega q^{-n-1}/a,(def)^{\frac 13}\omega^2 q^{-n-1}/a;q;\frac{a^4q^{3n+4}}{def}\right)\\
&=\frac{(aq,a^3q^{2n+3}/(def)^{\frac 23},a^3\omega q^{2n+3}/(def)^{\frac 23},a^3\omega^2q^{2n+3}/(def)^{\frac 23};q)_{\infty}}{(a^2q^{n+2}/(def)^{\frac 13},a^2\omega q^{n+2}/(def)^{\frac 13},a^2\omega^2q^{n+2}/(def)^{\frac 13},a^4q^{3n+4}/def;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq;q)_{\infty}(a^9q^{6n+9}/d^2e^2f^2;q^3)_{\infty}}{(a^6q^{3n+6}/def;q^3)_{\infty}(a^4q^{3n+4}/def;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a^9q^9/d^2e^2f^2;q^3)_{\infty}(aq;q)_{\infty}}{(a^6q^6/def;q^3)_{\infty}(a^4q^4/def;q)_{\infty}}\frac{(a^6q^6/def;q^3)_n(a^4q^4/def;q)_{3n}}{(a^9q^9/d^2e^2f^2;q^3)_{2n}}
\end{align}
であるからこれらを代入して定理を得る.
特に$f=q^{-3N}$のとき,
\begin{align}
&W\left(a;d^{\frac 13},\omega d^{\frac 13},\omega^2d^{\frac 13},e^{\frac 13},\omega e^{\frac 13},\omega^2 e^{\frac 13},q^{-N},\omega q^{-N},\omega^2 q^{-N};q;\frac{a^4q^{3N+4}}{de}\right)\\
&=\frac{(a^3q^3,a^3q^3/de;q^3)_N}{(a^3q^3/d,a^3q^3/e;q^3)_N}\Q65{d,e,q^{-3N},aq,aq^2,aq^3}{deq^{-3N}/a^3,(aq)^{\frac 32},-(aq)^{\frac 32},a^{\frac 32}q^3,-a^{\frac 32}q^3}{q^3;q^3}
\end{align}
となる.
$\omega:=e^{\frac{2\pi i}3}$とするとき,
\begin{align}
&W\left(a;d,dq,dq^2,e,eq,eq^2,f,fq,fq^2;q^3;\frac{a^4q^3}{d^3e^3f^3}\right)\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot \Q65{d,e,f,a^{\frac 13},\omega a^{\frac 13},\omega^2 a^{\frac 13}}{def/a,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}\\
&\qquad+\frac{(d,e,f,a^3q^2/d^2e^2f^2;q)_{\infty}(aq^3;q^3)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,def/aq;q)_{\infty}(a^4q^3/d^3e^3f^3;q^3)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q65{aq/de,aq/df,aq/ef,a^{\frac 43}q/def,a^{\frac 43}\omega q/def,a^{\frac 43}\omega^2q/def}{aq^2/def,a^{\frac 32}q/def,-a^{\frac 32}q/def,(aq)^{\frac 32}/def,-(aq)^{\frac 32}/def}{q}
\end{align}
が成り立つ.
Verma-Jainの展開公式(
前の記事
の定理2)において
\begin{align}
A_n:=\begin{cases}
0\qquad n\not\equiv 0\pmod 3\\
\displaystyle\frac{(1-aq^{6k})(a;q^3)_k}{(1-a)(q^3;q^3)_k}a^k\qquad n=3k
\end{cases}
\end{align}
とすると,
\begin{align}
&W\left(a;d,dq,dq^2,e,eq,eq^2,f,fq,fq^2;q^3;\frac{a^4q^3}{(def)^3}\right)\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f;q)_n}{(q,aq,def/a;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{6k})(a;q^3)_k(q^{-n};q)_{3k}}{(1-a)(q^3;q^3)_k(aq^{n+1};q)_{3k}}(aq^{3n})^k\\
&\qquad+\frac{(d,e,f,a^2q^2/def;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,def/aq;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(aq/de,aq/df,aq/ef;q)_n}{(q,a^2q^2/def,aq^2/def;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{6k})(a;q^3)_k(defq^{-n-1}/a;q)_{3k}}{(1-a)(q^3;q^3)_k(a^2q^{n+2}/def;q)_{3k}}\left(\frac{a^4q^{3n+3}}{d^3e^3f^3}\right)^k
\end{align}
ここで, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{6k})(a;q^3)_k(q^{-n};q)_{3k}}{(1-a)(q^3;q^3)_k(aq^{n+1};q)_{3k}}(aq^{3n})^k\\
&=W(a;a,q^{-n},q^{1-n},q^{2-n};q^3;aq^{3n})\\
&=\frac{(aq,aq^{2n},aq^{2n+1},aq^{2n+2};q^3)}{(aq^{n+1},aq^{n+2},aq^{n+3},aq^{3n};q^3)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq^3;q^3)_{\infty}(aq^{2n};q)_{\infty}}{(aq^{3n};q^3)_{\infty}(aq^{n+1};q)_{\infty}}\\
&=\frac{(a;q^3)_n(aq;q)_n}{(a;q)_{2n}}\\
&\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{6k})(a;q^3)_k(defq^{-n-1}/a;q)_{3k}}{(1-a)(q^3;q^3)_k(a^2q^{n+2}/def;q)_{3k}}\left(\frac{a^4q^{3n+3}}{d^3e^3f^3}\right)^k\\
&=W\left(a;a,defq^{-n-1}/a,defq^{-n}/a,defq^{-n+1}/a;q^3;\frac{a^4q^{3n+3}}{d^3e^3f^3}\right)\\
&=\frac{(aq^3,a^3q^{2n+2}/d^2e^2f^2,a^3q^{2n+3}/d^2e^2f^2,a^3q^{2n+4}/d^2e^2f^2;q^3)_{\infty}}{(a^2q^{n+2}/def,a^2q^{n+3}/def,a^2q^{n+4}/def,a^4q^{3n+3}/d^3e^3f^3;q^3)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq^3;q^3)_{\infty}(a^3q^{2n+2}/d^2e^2f^2;q)_{\infty}}{(a^4q^{3n+3}/d^3e^3f^3;q^3)_{\infty}(a^2q^{n+2}/def;q)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq^3;q^3)_{\infty}(a^3q^{2}/d^2e^2f^2;q)_{\infty}}{(a^4q^3/d^3e^3f^3;q^3)_{\infty}(a^2q^2/def;q)_{\infty}}\frac{(a^2q^2/def;q)_n(a^4q^3/d^3e^3f^3;q^3)_n}{(a^3q^2/d^2e^2f^2;q)_{2n}}
\end{align}
であるからこれらを代入して定理を得る.
特に$f=q^{-N}$とすると,
\begin{align}
&W\left(a;d,dq,dq^2,e,eq,eq^2,q^{-N},q^{1-N},q^{2-N};q^3;\frac{a^4q^{3N+3}}{d^3e^3}\right)\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_N}{(aq/d,aq/e;q)_N}\Q65{d,e,q^{-N},a^{\frac 13},\omega a^{\frac 13},\omega^2 a^{\frac 13}}{deq^{-N}/a,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}
\end{align}
となる. さらに$e=a/d$とすると,
\begin{align}
&W\left(a;d,a/d,q^{-N},q^{1-N},q^{2-N};q^3;aq^{3N+3}\right)\\
&=\frac{(aq,q;q)_N}{(aq/d,dq;q)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(d,a/d,a^{\frac 13},\omega a^{\frac 13},\omega^2 a^{\frac 13};q)_n}{(q,\sqrt a,-\sqrt a,\sqrt{aq},-\sqrt{aq};q)_n}q^n
\end{align}
を得る.
古典極限
定理2の古典極限を考えると以下が得られる.
\begin{align} &\F{11}{10}{\frac a3,1+\frac a6,\frac d3,\frac{d+1}3,\frac{d+2}3,\frac e3,\frac{e+1}3,\frac{e+2}3,\frac f3,\frac{f+1}3,\frac{f+2}3}{\frac a6,\frac{3+a-d}3,\frac{2+a-d}3,\frac{1+a-d}3,\frac{3+a-e}3,\frac{2+a-e}3,\frac{1+a-e}3,\frac{3+a-f}3,\frac{2+a-f}3,\frac{1+a-f}3}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(1+a-d-e-f)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\ &\qquad\cdot \F43{d,e,f,\frac a3}{d+e+f-a,\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34}\\ &\qquad+\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(d+e+f-a-1)\Gamma\left(1+\frac{4a}3-d-e-f\right)}{\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(2+3a-2d-2e-2f)\Gamma\left(1+\frac a3\right)}\\ &\qquad\cdot\F43{1+a-d-e,1+a-d-f,1+a-e-f,1+\frac{4a}3-d-e-f}{2+a-d-e-f,1+\frac{3a}2-d-e-f,\frac{3+3a}2-d-e-f}{\frac 34} \end{align}
特に$f=-N$のとき,
\begin{align}
&\F{11}{10}{\frac a3,1+\frac a6,\frac d3,\frac{d+1}3,\frac{d+2}3,\frac e3,\frac{e+1}3,\frac{e+2}3,-\frac{N}3,\frac{1-N}3,\frac{2-N}3}{\frac a6,\frac{3+a-d}3,\frac{2+a-d}3,\frac{1+a-d}3,\frac{3+a-e}3,\frac{2+a-e}3,\frac{1+a-e}3,\frac{3+a+N}3,\frac{2+a+N}3,\frac{1+a+N}3}1\\
&=\frac{(1+a,1+a-d-e)_N}{(1+a-d,1+a-e)_N}\F43{d,e,-N,\frac a3}{d+e-N-a,\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34}\\
\end{align}
を得る. さらに$e=a-d$のとき,
\begin{align}
&\F76{\frac a3,1+\frac a6,\frac d3,\frac{a-d}3,-\frac{N}3,\frac{1-N}3,\frac{2-N}3}{\frac a6,\frac{3+a-d}3,\frac{3+d}3,\frac{3+a+N}3,\frac{2+a+N}3,\frac{1+a+N}3}1\\
&=\frac{N!(1+a)_N}{(1+a-d,1+d)_N}\sum_{n=0}^N\frac{(d,a-d,\frac a3)_n}{n!(\frac a2,\frac{a+1}2)_n}\left(\frac 34\right)^n\\
\end{align}
となる. ここで, $N\to\infty$とすると,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+d)}{\Gamma(1+a)}\F32{d,a-d,\frac a3}{\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34}\\
&=\F43{\frac a3,1+\frac a6,\frac d3,\frac{a-d}3}{\frac a6,\frac{3+a-d}3,\frac{3+d}3}{-1}\\
&=\frac{\Gamma\left(1+\frac{a-d}3\right)\Gamma\left(1+\frac d3\right)}{\Gamma\left(1+\frac a3\right)}
\end{align}
となるから以下を得る.
\begin{align} \F32{d,a-d,\frac a3}{\frac a2,\frac{a+1}2}{\frac 34}&=\frac{\Gamma(1+a)\Gamma\left(1+\frac{a-d}3\right)\Gamma\left(1+\frac d3\right)}{\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+d)\Gamma\left(1+\frac a3\right)} \end{align}
これは 前の記事 で示した定理3の一般化である.
