Verma-Jainによるq超幾何級数の展開公式
前の記事
でWatsonの変換公式を示す際に用いた式は以下のようなものだった.
\begin{align}
\Q{r+4}{r+3}{a,b,c,a_1,\dots,a_r,q^{-n}}{aq/b,aq/c,b_1,\dots,b_{r+1}}x&=\sum_{k=0}^n\frac{(aq/bc,a_1,\dots,a_r,q^{-n};q)_k}{(q,aq/b,aq/c,b_1,\dots,b_{r+1};q)_k}q^{-\binom k2}\left(-\frac{bcx}{aq}\right)^k\\
&\qquad\cdot\Q{r+2}{r+1}{aq^{2k},a_1q^k,\dots,a_rq^k,q^{k-n}}{b_1q^k,\dots,b_{r+1}q^k}{\frac{bcx}{aq^{k+1}}}
\end{align}
この展開公式にはterminatingの場合にしか使えないというデメリットがある. 実際, 内側の和がterminatingではないとき，
\begin{align}
\Q{r+2}{r+1}{aq^{2k},a_1q^k,\dots,a_rq^k,a_{r+1}q^{k}}{b_1q^k,\dots,b_{r+1}q^k}{\frac{bcx}{aq^{k+1}}}
\end{align}
という形になるが, これは$k$が大きくなると$\displaystyle\left|\frac{bcx}{aq^{k+1}}\right|>1$となって発散してしまう. しかし, non-terminatingの場合にも使える以下の展開公式がVerma-Jainによって示されている.
\begin{align}
&W\left(a;b_1,\dots,b_{2r},d,e,f;\frac{(aq)^{r+1}}{b_1\cdots b_{2r}def}\right)\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f;q)_n}{(q,aq,def/a;q)_n}q^nW\left(a;b_1,\dots,b_{2r},q^{-n};\frac{(aq)^r}{b_1\cdots b_{2r}}q^n\right)\\
&\qquad+\frac{(d,e,f,a^2q^2/def;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,def/aq;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(aq/de,aq/df,aq/ef;q)_n}{(q,a^2q^2/def,aq^2/def;q)_n}q^nW\left(a;b_1,\dots,b_{2r},defq^{-n-1}/a;\frac{(aq)^{r+1}}{b_1\cdots b_{2r}def}q^n\right)
\end{align}
ここで,
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;z):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{z}
\end{align}
である.
定理1の式の形はVerma-Jainの論文における形とは少し違うが, 本質的に同じものである. 前の記事 でnon-terminating Watsonの変換公式に直接的な証明を与えたが, 上の公式はそれと全く同様の方針で示すことができる.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f;q)_n}{(q,aq,def/a;q)_n}q^nW\left(a;b_1,\dots,b_{2r},q^{-n};\frac{(aq)^r}{b_1\cdots b_{2r}}q^n\right)\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{2k})(a,b_1,\dots,b_{2r};q)_k}{(1-a)(q,aq/b_1,\dots,aq/b_{2r};q)_k}\left(-\frac{(aq)^r}{b_1\cdots b_{2r}}\right)^kq^{\binom k2}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f;q)_n}{(def/a;q)_n(aq;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}q^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{2k})(a,b_1,\dots,b_{2r},d,e,f;q)_k}{(1-a)(q,aq/b_1,\dots,aq/b_{2r},def/a;q)_k(aq;q)_{2k}}\left(-\frac{(aq)^r}{b_1\cdots b_{2r}}q\right)^kq^{\binom k2}\\
&\qquad\cdot\Q32{dq^k,eq^k,fq^k}{defq^k/a,aq^{2k+1}}{q}\\
\end{align}
ここで,
non-terminating $q$-Saalschützの和公式
より,
\begin{align}
&\Q32{dq^k,eq^k,fq^k}{defq^k/a,aq^{2k+1}}{q}\\
&=\frac{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}\frac{(aq;q)_{2k}(def/a;q)_k}{(aq/d,aq/e,aq/f;q)_k}\left(-\frac{a}{def}\right)^kq^{-\binom k2}\\
&\qquad-\frac{(aq/def,d,e,f,a^2q^2/def;q)_{\infty}}{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef,def/aq;q)_{\infty}}\frac{(aq;q)_{2k}(def/a,def/aq;q)_k}{(d,e,f,a^2q^2/def;q)_k}\left(-\frac{a}{def}\right)^kq^{-\binom k2}\Q32{aq/de,aq/df,aq/ef}{a^2q^{k+2}/def,aq^{2-k}/def}q
\end{align}
となるので, これを代入すると
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f;q)_n}{(q,aq,def/a;q)_n}q^nW\left(a;b_1,\dots,b_{2r},q^{-n};\frac{(aq)^r}{b_1\cdots b_{2r}}q^n\right)\\
&=\frac{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}W\left(a;b_1,\dots,b_{2r},d,e,f;\frac{(aq)^{r+1}}{b_1\cdots b_{2r}def}\right)\\
&\qquad-\frac{(aq/def,d,e,f,a^2q^2/def;q)_{\infty}}{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef,def/aq;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{2k})(a,b_1,\dots,b_{2r},def/aq;q)_k}{(1-a)(q,aq/b_1,\dots,aq/b_{2r},a^2q^2/def;q)_k}\left(\frac{(aq)^{r+1}}{b_1\cdots b_{2r}def}\right)^k\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(aq/de,aq/df,aq/ef;q)_n}{(q,a^2q^{k+2}/def,aq^{2-k}/def;q)_n}q^n
\end{align}
となる. ここで, 第ニ項は
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(1-aq^{2k})(a,b_1,\dots,b_{2r},def/aq;q)_k}{(1-a)(q,aq/b_1,\dots,aq/b_{2r},a^2q^2/def;q)_k}\left(\frac{(aq)^{r+1}}{b_1\cdots b_{2r}def}\right)^k\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(aq/de,aq/df,aq/ef;q)_n}{(q,a^2q^{k+2}/def,aq^{2-k}/def;q)_n}q^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(aq/de,aq/df,aq/ef;q)_n}{(q,aq^2/def,a^2q^2/def;q)_n}q^nW\left(a;b_1,\dots,b_{2r},defq^{-n-1}/a;\frac{(aq)^{r+1}}{b_1\cdots b_{2r}def}q^n\right)
\end{align}と書き換えられるのでこれを代入して
\begin{align}
&W\left(a;b_1,\dots,b_{2r},d,e,f;\frac{(aq)^{r+1}}{b_1\cdots b_{2r}def}\right)\\
\end{align}
に関して整理すれば定理を得る.
定理1において, $r=0$として右辺の${}_4\phi_3$を望遠鏡和で総和すると, Rogersの和公式が得られる. これは 前の記事 で示したことである. また定理1において, $r=1$として右辺の${}_6\phi_5$をRogersの和公式で総和すると non-terminating Watsonの変換公式 を得る. これは 前の記事 における証明である.
定理1において特に, $f=q^{-N}$とすると以下の系を得る.
非負整数$N$に対して,
\begin{align}
&W\left(a;b_1,\dots,b_{2r},d,e,q^{-N};\frac{(aq)^{r+1}}{b_1\cdots b_{2r}de}q^N\right)\\
&=\frac{(aq,aq/de;q)_{N}}{(aq/d,aq/e;q)_{N}}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,q^{-N};q)_n}{(q,aq,deq^{-N}/a;q)_n}q^nW\left(a;b_1,\dots,b_{2r},q^{-n};\frac{(aq)^r}{b_1\cdots b_{2r}}q^n\right)
\end{align}
が成り立つ.
より一般的な場合
定理1はその証明からも分かるように
\begin{align}
\frac{(1-aq^{2k})(a,b_1,\dots,b_{2r};q)_k}{(1-a)(q,aq/b_1,\dots,aq/b_{2r};q)_k}\left(\frac{(aq)^r}{b_1\cdots b_{2r}}\right)^k
\end{align}
部分を一般的な数列に置き換えても成り立つことが分かる. つまり以下が成り立つ.
数列$A_n$に対し,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f;q)_n}{(aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}\left(\frac{aq}{def}\right)^nA_n\\
&=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(d,e,f;q)_n}{(q,aq,def/a;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n};q)_k}{(aq^{n+1};q)_k}q^{nk}A_k\\
&\qquad+\frac{(d,e,f,a^2q^2/def;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,def/aq;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(aq/de,aq/df,aq/ef;q)_n}{(q,a^2q^2/def,aq^2/def;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(defq^{-n-1}/a;q)_k}{(a^2q^{n+2}/def;q)_k}\left(\frac{aq^{n+1}}{def}\right)^kA_k
\end{align}
が成り立つ. ただし, 両辺の各項は絶対収束するものとする.
これは前の2つの記事( Verma-Jainによるnon-terminating nearly-poisedの変換公式 , Verma-Jainによるnon-terminating nearly-poisedの変換公式2 )で示した公式の証明に本質的に用いられているものである.
