Verma-Jainによるnon-terminating nearly-poisedの変換公式2
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;q;z):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{q;z}
\end{align}
とする.
前の記事
と同様の方針で, 以下の変換公式を示すことができる.
\begin{align} &W\left(a;b,x,xq,y,yq,z,zq;q^2;\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,aq/z,aq/xyz;q)_{\infty}}\Q54{x,y,z,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{xyz/a,aq/b,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}\\ &\qquad+\frac{(a^3q^3/x^2y^2z^2,aq^2;q^2)_{\infty}}{(aq^2/b,a^3q^3/bx^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}\frac{(x,y,z,a^2q^2/bxyz;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,aq/z,xyz/aq;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q54{aq/xy,aq/yz,aq/xz,\sqrt{a^3q^3/bx^2y^2z^2},-\sqrt{a^3q^3/bx^2y^2z^2}}{aq^2/xyz,a^2q^2/bxyz,\sqrt{a^3q^3/x^2y^2z^2},-\sqrt{a^3q^3/x^2y^2z^2}}{q} \end{align}
Non-terminating $q$-Saalschützの和公式
\begin{align}
&\frac{(aq,aq/fg,aq/fh,aq/gh;q)_{\infty}}{(f,g,h,aq/fgh;q)_{\infty}}\Q32{f,g,h}{aq,fgh/a}q\\
&\qquad+\frac{(a^2q^2/fgh;q)_{\infty}}{(fgh/aq;q)_{\infty}}\Q32{aq/fg,aq/fh,aq/gh}{aq^2/fgh,a^2q^2/fgh}q=\frac{(aq/f,aq/g,aq/h;q)_{\infty}}{(f,g,h;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a\mapsto aq^{4r},f\mapsto xq^{2r}, g\mapsto yq^{2r},h\mapsto zq^{2r}$とすると,
\begin{align}
&\frac{(aq^{4r+1},aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(xq^{2r},yq^{2r},zq^{2r},aq^{1-2r}/xyz;q)_{\infty}}\Q32{xq^{2r},yq^{2r},zq^{2r}}{aq^{4r+1},xyzq^{2r}/a}q\\
&\qquad+\frac{(a^2q^{2r+2}/xyz;q)_{\infty}}{(xyzq^{2r-1}/a;q)_{\infty}}\Q32{aq/xy,aq/xz,aq/yz}{aq^{2-2r}/xyz,a^2q^{2r+2}/xyz}q=\frac{(aq^{2r+1}/x,aq^{2r+1}/y,aq^{2r+1}/z;q)_{\infty}}{(xq^{2r},yq^{2r},zq^{2r};q)_{\infty}}
\end{align}
この両辺に
\begin{align}
\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)^r
\end{align}
を掛けて足し合わせると右辺は
\begin{align}
\frac{(aq/x,aq/y,aq/z;q)_{\infty}}{(x,y,z;q)_{\infty}}W\left(a;b,x,xq,y,yq,z,zq;q^2;\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)
\end{align}
となる. 左辺は
\begin{align}
&\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)^r\frac{(aq^{4r+1},aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(xq^{2r},yq^{2r},zq^{2r},aq^{1-2r}/xyz;q)_{\infty}}\Q32{xq^{2r},yq^{2r},zq^{2r}}{aq^{4r+1},xyzq^{2r}/a}q\\
&\qquad+\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)^r\frac{(a^2q^{2r+2}/xyz;q)_{\infty}}{(xyzq^{2r-1}/a;q)_{\infty}}\Q32{aq/xy,aq/xz,aq/yz}{aq^{2-2r}/xyz,a^2q^{2r+2}/xyz}q
\end{align}
であり, この第一項は
\begin{align}
&\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)^r\frac{(aq^{4r+1},aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(xq^{2r},yq^{2r},zq^{2r},aq^{1-2r}/xyz;q)_{\infty}}\Q32{xq^{2r},yq^{2r},zq^{2r}}{aq^{4r+1},xyzq^{2r}/a}q\\
&=\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(x,y,z,aq/xyz;q)_{\infty}}\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{aq^{2r+2}}{b}\right)^r\frac{(x,y,z;q)_{2r}}{(xyz/a;q)_{2r}(aq;q)_{4r}}\sum_{0\leq k}\frac{(xq^{2r},yq^{2r},zq^{2r};q)_k}{(q,aq^{4r+1},xyzq^{2r}/a;q)_k}q^k\\
&=\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(x,y,z,aq/xyz;q)_{\infty}}\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{aq^{2r+2}}{b}\right)^r\sum_{0\leq k}\frac{(x,y,z;q)_{k+2r}}{(q;q)_k(aq;q)_{k+4r}(xyz/a;q)_{k+2r}}q^k\\
&=\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(x,y,z,aq/xyz;q)_{\infty}}\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{aq^{2r}}{b}\right)^r\sum_{0\leq k}\frac{(x,y,z;q)_{k}}{(q;q)_{k-2r}(aq;q)_{k+2r}(xyz/a;q)_{k}}q^k\\
&=\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(x,y,z,aq/xyz;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(x,y,z;q)_{k}}{(q,aq,xyz/a;q)_{k}}q^k\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r(q^{-k};q)_{2r}}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r(aq^{k+1};q)_{2r}}\left(\frac{aq^{2k+1}}{b}\right)^r
\end{align}
となる. ここで,
Rogersの和公式
より,
\begin{align}
\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r(q^{-k};q)_{2r}}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r(aq^{k+1};q)_{2r}}\left(\frac{aq^{2k+1}}{b}\right)^r&=\Q65{a,\sqrt{a}q^2,-\sqrt{a}q^2,b,q^{-k},q^{1-k}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq^2/b,aq^{k+2},aq^{k+1}}{q^2;\frac{aq^{2k+1}}b}\\
&=\frac{(aq^2,aq^{k+2}/b,aq^{k+1}/b,aq^{2k+1};q^2)_{\infty}}{(aq^2/b,aq^{k+2},aq^{k+1},aq^{2k+1}/b;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(aq;q)_k(aq/b;q^2)_{k}}{(aq/b;q)_k(aq;q^2)_{k}}
\end{align}
であるからこれを代入して
\begin{align}
&\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(x,y,z,aq/xyz;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(x,y,z;q)_{k}}{(q,aq,xyz/a;q)_{k}}q^k\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r(q^{-k};q)_{2r}}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r(aq^{k+1};q)_{2r}}\left(\frac{aq^{2k+1}}{b}\right)^r\\
&=\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(x,y,z,aq/xyz;q)_{\infty}}\Q54{x,y,z,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{xyz/a,aq/b,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}
\end{align}
先ほどの第二項は
\begin{align}
&\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)^r\frac{(a^2q^{2r+2}/xyz;q)_{\infty}}{(xyzq^{2r-1}/a;q)_{\infty}}\Q32{aq/xy,aq/xz,aq/yz}{aq^{2-2r}/xyz,a^2q^{2r+2}/xyz}q\\
&=\frac{(a^2q^2/xyz;q)_{\infty}}{(xyz/aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)^r\frac{(xyz/aq;q)_{2r}}{(a^2q^2/xyz;q)_{2r}}\sum_{0\leq k}\frac{(aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_k}{(q,aq^{2-2r}/xyz,a^2q^{2r+2}/xyz;q)_k}q^k\\
&=\frac{(a^2q^2/xyz;q)_{\infty}}{(xyz/aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r}\left(\frac{aq^{2r}}{b}\right)^r\sum_{0\leq k}\frac{(aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_k}{(q;q)_k(aq^2/xyz;q)_{k-2r}(a^2q^2/xyz;q)_{k+2r}}q^k\\
&=\frac{(a^2q^2/xyz;q)_{\infty}}{(xyz/aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_k}{(q,aq^2/xyz,a^2q^2/xyz;q)_k}q^k\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r(xyzq^{-k-1}/a;q)_{2r}}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r(a^2q^{k+2}/xyz;q)_{2r}}\left(\frac{a^3q^{2k+3}}{bx^2y^2z^2}\right)^r
\end{align}
ここで, Rogersの和公式より
\begin{align}
&\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r(xyzq^{-k-1}/a;q)_{2r}}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r(a^2q^{k+2}/xyz;q)_{2r}}\left(\frac{a^3q^{2k+3}}{bx^2y^2z^2}\right)^r\\
&=\Q65{a,\sqrt aq^2,-\sqrt aq^2,b,xyzq^{-k-1}/a,xyzq^{-k}/a}{\sqrt a,-\sqrt{a},aq^2/b,a^2q^{k+2}/xyz,a^2q^{k+3}/xyz}{q^2;\frac{a^3q^{2k+3}}{bx^2y^2z^2}}\\
&=\frac{(aq^2,a^2q^{k+2}/bxyz,a^2q^{k+3}/bxyz,a^3q^{2k+3}/x^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}{(aq^2/b,a^2q^{k+2}/xyz,a^2q^{k+3}/xyz,a^3q^{2k+3}/bx^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(a^2q^2/bxyz;q)_{\infty}(aq^2,a^3q^{3}/x^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}{(a^2q^2/xyz;q)_{\infty}(aq^2/b,a^3q^{3}/bx^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}\frac{(a^2q^2/xyz;q)_k(a^3q^3/bx^2y^2z^2;q^2)_k}{(a^2q^2/bxyz;q)_k(a^3q^3/x^2y^2z^2;q^2)_k}
\end{align}
であるからこれを代入して,
\begin{align}
&\frac{(a^2q^2/xyz;q)_{\infty}}{(xyz/aq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_k}{(q,aq^2/xyz,a^2q^2/xyz;q)_k}q^k\sum_{0\leq r}\frac{1-aq^{4r}}{1-a}\frac{(a,b;q^2)_r(xyzq^{-k-1}/a;q)_{2r}}{(q^2,aq^2/b;q^2)_r(a^2q^{k+2}/xyz;q)_{2r}}\left(\frac{a^3q^{2k+3}}{bx^2y^2z^2}\right)^r\\
&=\frac{(a^2q^2/bxyz;q)_{\infty}(aq^2,a^3q^{3}/x^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}{(xyz/aq;q)_{\infty}(aq^2/b,a^3q^{3}/bx^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}\Q54{aq/xy,aq/xz,aq/yz,\sqrt{a^3q^3/bx^2y^2z^2},-\sqrt{a^3q^3/bx^2y^2z^2}}{aq^2/xyz,a^2q^2/bxyz,\sqrt{a^3q^3/x^2y^2z^2},-\sqrt{a^3q^3/x^2y^2z^2}}{q}
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
&\frac{(aq/x,aq/y,aq/z;q)_{\infty}}{(x,y,z;q)_{\infty}}W\left(a;b,x,xq,y,yq,z,zq;q^2;\frac{a^3q^3}{bx^2y^2z^2}\right)\\
&=\frac{(aq,aq/xy,aq/xz,aq/yz;q)_{\infty}}{(x,y,z,aq/xyz;q)_{\infty}}\Q54{x,y,z,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{xyz/a,aq/b,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}\\
&\qquad+\frac{(a^2q^2/bxyz;q)_{\infty}(aq^2,a^3q^{3}/x^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}{(xyz/aq;q)_{\infty}(aq^2/b,a^3q^{3}/bx^2y^2z^2;q^2)_{\infty}}\Q54{aq/xy,aq/xz,aq/yz,\sqrt{a^3q^3/bx^2y^2z^2},-\sqrt{a^3q^3/bx^2y^2z^2}}{aq^2/xyz,a^2q^2/bxyz,\sqrt{a^3q^3/x^2y^2z^2},-\sqrt{a^3q^3/x^2y^2z^2}}{q}
\end{align}
を得る. 両辺を
\begin{align}
\frac{(aq/x,aq/y,aq/z;q)_{\infty}}{(x,y,z;q)_{\infty}}
\end{align}
で割って定理を得る.
特に$z=q^{-N}$とすると以下の系を得る.
$N$が非負整数のとき,
\begin{align}
&W\left(a;b,x,xq,y,yq,q^{-N},q^{1-N};q^2;\frac{a^3q^{2N+3}}{bx^2y^2}\right)\\
&=\frac{(aq,aq/xy;q)_N}{(aq/x,aq/y;q)_N}\Q54{x,y,q^{-N},\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{xyq^{-N}/a,aq/b,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{q}
\end{align}
が成り立つ.
さらに$N\to\infty$として以下を得る.
\begin{align}
&\Q89{a,\sqrt aq^2,-\sqrt aq^2,b,x,xq,y,yq}{\sqrt a,-\sqrt a,aq^2/b,aq^2/x,aq/x,aq^2/y,aq/y,0,0}{q^2;\frac{a^3q^{4}}{bx^2y^2}}\\
&=\frac{(aq,aq/xy;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y;q)_{\infty}}\Q43{x,y,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{aq/b,\sqrt{aq},-\sqrt{aq}}{\frac{aq}{xy}}
\end{align}
が成り立つ.
ここで, さらに$a=xy$とすると以下を得る.
\begin{align}
&\Q67{xy,\sqrt{xy}q^2,-\sqrt{xy}q^2,b,x,y}{\sqrt{xy},-\sqrt{xy},xyq^2/b,xq^2,yq^2,0,0}{q^2;\frac{xyq^{4}}{b}}\\
&=\frac{(q,xyq;q)_{\infty}}{(xq,yq;q)_{\infty}}\Q43{x,y,\sqrt{xyq/b},-\sqrt{xyq/b}}{xyq/b,\sqrt{xyq},-\sqrt{xyq}}{q}
\end{align}
が成り立つ.
定理1において$z=\sqrt{aq}$とすると,
non-terminating Watsonの変換公式
より,
\begin{align}
&W\left(a;b,x,xq,y,yq;q^2;\frac{a^2q^2}{bx^2y^2}\right)\\
&=\frac{(aq,aq/xy,\sqrt{aq}/x,\sqrt{aq}/y;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,\sqrt{aq},\sqrt{aq}/xy;q)_{\infty}}\Q43{x,y,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b}}{xy\sqrt{q/a},aq/b,-\sqrt{aq}}{q}\\
&\qquad+\frac{(a^2q^2/x^2y^2,aq^2;q^2)_{\infty}}{(aq^2/b,a^2q^2/bx^2y^2;q^2)_{\infty}}\frac{(x,y,(aq)^{\frac 32}/bxy;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,xy/\sqrt{aq};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{\sqrt{aq}/y,\sqrt{aq}/x,\sqrt{a^2q^2/bx^2y^2},-\sqrt{a^2q^2/bx^2y^2}}{a^{\frac 12}q^{\frac 32}/xy,(aq)^{\frac 32}/bxy,-aq/xy}{q}\\
&=\frac{(aq,aq/xy,\sqrt{aq}/x,\sqrt{aq}/y;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,\sqrt{aq},\sqrt{aq}/xy;q)_{\infty}}\frac{(aq/\sqrt bx,aq/\sqrt by,\sqrt{aq},\sqrt{aq}/xy;q)_{\infty}}{(aq/\sqrt b,aq/\sqrt bxy,\sqrt{aq}/x,\sqrt{aq}/y)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{a/\sqrt b,q\sqrt{a/\sqrt b},-q\sqrt{a/\sqrt b},x,y,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},\sqrt b}{\sqrt{a/\sqrt b},-\sqrt{a/\sqrt b},aq/\sqrt bx,aq/\sqrt by,\sqrt aq,-\sqrt aq,aq/b}{\frac{\sqrt{aq}}{xy}}\\
&=\frac{(aq,aq/xy,aq/\sqrt bx,aq/\sqrt by,;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,aq/\sqrt b,aq/\sqrt bxy;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q87{a/\sqrt b,q\sqrt{a/\sqrt b},-q\sqrt{a/\sqrt b},x,y,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},\sqrt b}{\sqrt{a/\sqrt b},-\sqrt{a/\sqrt b},aq/\sqrt bx,aq/\sqrt by,\sqrt aq,-\sqrt aq,aq/b}{\frac{\sqrt{aq}}{xy}}
\end{align}
つまり, 以下を得る.
\begin{align} &W\left(a;b,x,xq,y,yq;q^2;\frac{a^2q^2}{bx^2y^2}\right)\\ &=\frac{(aq,aq/xy,aq/\sqrt bx,aq/\sqrt by,;q)_{\infty}}{(aq/x,aq/y,aq/\sqrt b,aq/\sqrt bxy;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\Q87{a/\sqrt b,q\sqrt{a/\sqrt b},-q\sqrt{a/\sqrt b},x,y,\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},\sqrt b}{\sqrt{a/\sqrt b},-\sqrt{a/\sqrt b},aq/\sqrt bx,aq/\sqrt by,\sqrt {aq},-\sqrt {aq},aq/b}{\frac{\sqrt{aq}}{xy}} \end{align}
古典極限
定理1の古典極限を考えると以下を得る.
\begin{align} &\F98{\frac a2,1+\frac a4,\frac b2,\frac x2,\frac{1+x}2,\frac y2,\frac{1+y}2,\frac z2,\frac{1+z}2}{\frac a4,1+\frac{a-b}2,1+\frac{a-x}2,\frac{1+a-x}2,1+\frac{a-y}2,\frac{1+a-y}2,1+\frac{a-z}2,\frac{1+a-z}2}1\\ &=\frac{\Gamma(1+a-x)\Gamma(1+a-y)\Gamma(1+a-z)\Gamma(1+a-x-y-z)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-x-y)\Gamma(1+a-x-z)\Gamma(1+a-y-z)}\F43{x,y,z,\frac{1+a-b}2}{x+y+z-a,1+a-b,\frac{1+a}2}1\\ &\qquad+\frac{\Gamma\left(1+\frac{a-b}2\right)\Gamma\left(\frac{3+3a-b}2-x-y-z\right)\Gamma(1+a-x)\Gamma(1+a-y)\Gamma(1+a-z)\Gamma(x+y+z-a)}{\Gamma\left(1+\frac a2\right)\Gamma\left(\frac{3+3a}2-x-y-z\right)\Gamma(x)\Gamma(y)\Gamma(z)\Gamma(2+2a-b-x-y-z)}\\ &\qquad\cdot\F43{1+a-x-y,1+a-x-z,1+a-y-z,\frac{3+3a-b}2-x-y-z}{2+a-x-y-z,2+2a-b-x-y-z,\frac{3+3a}2-x-y-z}1 \end{align}
特に$N$を非負整数として$z=-N$とすると以下を得る.
$N$が非負整数のとき,
\begin{align}
&\F98{\frac a2,1+\frac a4,\frac b2,\frac x2,\frac{1+x}2,\frac y2,\frac{1+y}2,-\frac N2,\frac{1-N}2}{\frac a4,1+\frac{a-b}2,1+\frac{a-x}2,\frac{1+a-x}2,1+\frac{a-y}2,\frac{1+a-y}2,1+\frac{a+N}2,\frac{1+a+N}2}1\\
&=\frac{(1+a,1+a-x-y)_N}{(1+a-x,1+a-y)_N}\F43{x,y,-N,\frac{1+a-b}2}{x+y-N-a,1+a-b,\frac{1+a}2}1
\end{align}
が成り立つ.
この公式がVerma-Jainの結果よりも前に知られていたかどうかについては把握していない. さらに$N\to\infty$とすると以下の系を得る.
\begin{align} \F76{\frac a2,1+\frac a4,\frac b2,\frac x2,\frac{1+x}2,\frac y2,\frac{1+y}2}{\frac a4,1+\frac{a-b}2,1+\frac{a-x}2,\frac{1+a-x}2,1+\frac{a-y}2,\frac{1+a-y}2}1&=\frac{\Gamma(1+a-x)\Gamma(1+a-y)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+a-x-y)}\F32{x,y,\frac{1+a-b}2}{1+a-b,\frac{1+a}2}1 \end{align}
ここで, $a=x+y$とすると左辺の${}_7F_6$は${}_5F_4$になるからDougallの和公式で総和できて, Watsonの${}_3F_2$和公式 を得ることができる.
