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3φ2, 2φ1の三項変換公式

Baileyによる${}_8\phi_7$の三項変換公式の極限として, 以下のような${}_3\phi_2$の三項変換公式を得ることができる.

\begin{align} &\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}\\ &=\frac{(e/b,e/c,cq/a,q/d;q)_{\infty}}{(e,cq/d,q/a,e/bc;q)_{\infty}}\Q32{c,d/a,cq/e}{cq/a,bcq/e}{\frac{bq}d}\\ &\qquad-\frac{(q/d,eq/d,b,c,d/a,de/bcq,bcq^2/de;q)_{\infty}} {(d/q,e,bq/d,cq/d,q/a,e/bc,bcq/e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{\frac{de}{abc}} \end{align}

Baileyによる${}_8\phi_7$の三項変換公式
\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,b,c,d,e,f}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}}\\ &=\frac{(aq,aq/de,aq/df,aq/ef,eq/c,fq/c,b/a,bef/a;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,aq/f,aq/def,q/c,efq/c,be/a,bf/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \Q87{ef/c,q\sqrt{ef/c},-q\sqrt{ef/c},aq/bc,aq/cd,ef/a,e,f}{\sqrt{ef/c},-\sqrt{ef/c},bef/a,def/a,aq/c,fq/c,eq/c}{\frac{bd}a}\\ &\qquad +\frac{(aq,bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f,d,e,f,aq/bc,bdef/a^2q,a^2q^2/bdef;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bd/a,be/a,bf/a,def/aq,aq^2/def,q/c,b^2q/a;q)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot\,\Q87{b^2/a,q\sqrt{b^2/a},-q\sqrt{b^2/a},b,bc/a,bd/a,be/a,bf/a}{\sqrt{b^2/a},-\sqrt{b^2/a},bq/a,bq/c,bq/d,bq/e,bq/f}{\frac{a^2q^2}{bcdef}} \end{align}
において, $b\mapsto aq/b, f\mapsto aq/f$とすると,
\begin{align} &\Q87{a,\sqrt aq,aq/b,c,d,e,aq/f}{\sqrt a,-\sqrt a,b,aq/c,aq/d,aq/e,f}{\frac{bf}{cde}}\\ &=\frac{(aq,aq/de,f/d,f/e,eq/c,aq^2/cf,q/b,aeq^2/bf;q)_{\infty}}{(aq/d,aq/e,f,f/de,q/c,aeq^2/bc,eq/b,aq^2/bf;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot \Q87{aeq/bc,q\sqrt{aeq/bc},-q\sqrt{aeq/bc},b/c,aq/cd,eq/f,e,aq/f}{\sqrt{aeq/bc},-\sqrt{aeq/bc},aeq^2/bf,deq/f,aq/c,aq^2/cf,eq/c}{\frac{dq}b}\\ &\qquad +\frac{(aq,q^2/b,aq^2/bc,aq^2/bd,a^2q/be,fq/b,d,e,aq/f,b/c,deq/bf,bf/de;q)_{\infty}}{(b,aq/c,aq/d,aq/e,f,dq/b,eq/b,aq^2/bf,de/f,fq/de,q/c,aq^3/b^2;q)_{\infty}}\\ &\qquad\qquad\cdot\,\Q87{aq^2/b^2,q\sqrt{aq^2/b^2},-q\sqrt{aq^2/b^2},aq/b,cq/b,dq/b,eq/b,aq^2/bf}{\sqrt{aq^2/b^2},-\sqrt{aq^2/b^2},q^2/b,aq^2/bc,aq^2/bd,aq^2/be,fq/b}{\frac{bf}{cde}} \end{align}
となる. ここで$a=0$とすると
\begin{align} &\Q32{c,d,e}{b,f}{\frac{bf}{cde}}\\ &=\frac{(f/d,f/e,eq/c,q/b;q)_{\infty}}{(f,f/de,q/c,eq/b;q)_{\infty}}\Q32{b/c,eq/f,e}{deq/f,eq/c}{\frac{dq}b}\\ &\qquad +\frac{(q^2/b,fq/b,d,e,b/c,deq/bf,bf/de;q)_{\infty}}{(b,f,dq/b,eq/b,de/f,fq/de,q/c;q)_{\infty}}\Q32{cq/b,dq/b,eq/b}{q^2/b,fq/b}{\frac{bf}{cde}}\\ &=\frac{(f/d,f/e,eq/c,q/b;q)_{\infty}}{(f,f/de,q/c,eq/b;q)_{\infty}}\Q32{b/c,eq/f,e}{deq/f,eq/c}{\frac{dq}b}\\ &\qquad-\frac{(q/b,fq/b,d,e,b/c,deq^2/bf,bf/deq;q)_{\infty}}{(b/q,f,dq/b,eq/b,deq/f,f/de,q/c;q)_{\infty}}\Q32{cq/b,dq/b,eq/b}{q^2/b,fq/b}{\frac{bf}{cde}} \end{align}
となるから, 変数を置き換えて示すべき等式を得る.

Sears-Thomaeの変換公式より,
\begin{align} \Q32{c,d/a,cq/e}{cq/a,bcq/e}{\frac{bq}d}&=\frac{(bq/a,abcq/de;q)_{\infty}}{(bq/d,bcq/e;q)_{\infty}}\Q32{q/a,d/a,e/a}{bq/a,cq/a}{\frac{abcq}{de}} \end{align}
であるから, これを代入すると以下の形でも表される.

\begin{align} &\Q32{a,b,c}{d,e}{\frac{de}{abc}}\\ &=\frac{(e/b,e/c,bq/a,cq/a,q/d,abcq/de;q)_{\infty}}{(e,bq/d,cq/d,q/a,e/bc,bcq/e;q)_{\infty}}\Q32{q/a,d/a,e/a}{bq/a,cq/a}{\frac{abcq}{de}}\\ &\qquad-\frac{(q/d,eq/d,b,c,d/a,de/bcq,bcq^2/de;q)_{\infty}} {(d/q,e,bq/d,cq/d,q/a,e/bc,bcq/e;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,eq/d}{\frac{de}{abc}} \end{align}

これは$b,c$に関して対称的な公式になっている.

${}_2\phi_1$の三項変換公式

定理1において, $e=\lambda c$とすると,
\begin{align} &\Q32{a,b,c}{d,\lambda c}{\frac{d\lambda }{ab}}\\ &=\frac{(\lambda c/b,\lambda,\lambda cq/a,q/d;q)_{\infty}}{(\lambda c,cq/d,q/a,\lambda/b;q)_{\infty}}\Q32{c,d/a,q/\lambda}{cq/a,bq/\lambda}{\frac{bq}d}\\ &\qquad-\frac{(q/d,\lambda cq/d,b,c,d/a,d\lambda/bq,bq^2/d\lambda;q)_{\infty}} {(d/q,\lambda c,bq/d,cq/d,q/a,\lambda/b,bq/\lambda;q)_{\infty}}\Q32{aq/d,bq/d,cq/d}{q^2/d,\lambda cq/d}{\frac{d\lambda}{ab}} \end{align}
となる. ここで, $c\to 0$とすると,
\begin{align} \Q21{a,b}{d}{\frac{d\lambda }{ab}}&=\frac{(\lambda,q/d;q)_{\infty}}{(q/a,\lambda/b;q)_{\infty}}\Q21{d/a,q/\lambda}{bq/\lambda}{\frac{bq}d}\\ &\qquad-\frac{(q/d,b,d/a,d\lambda/bq,bq^2/d\lambda;q)_{\infty}} {(d/q,bq/d,q/a,\lambda/b,bq/\lambda;q)_{\infty}}\Q21{aq/d,bq/d}{q^2/d}{\frac{d\lambda}{ab}} \end{align}
を得る. $\lambda =abz/d$として$d\mapsto c$とすると以下を得る.

\begin{align} \Q21{a,b}{c}{z}&=\frac{(abz/c,q/c;q)_{\infty}}{(q/a,az/c;q)_{\infty}}\Q21{c/a,cq/abz}{cq/az}{\frac{bq}c}\\ &\qquad-\frac{(q/c,b,c/a,az/q,q^2/az;q)_{\infty}} {(c/q,bq/c,q/a,az/c,cq/az;q)_{\infty}}\Q21{aq/c,bq/c}{q^2/c}{z} \end{align}

Heineの変換公式から,
\begin{align} \Q21{c/a,cq/abz}{cq/az}{\frac{bq}c}&=\frac{(bq/a,cq/abz;q)_{\infty}}{(bq/c,cq/az;q)_{\infty}}\Q21{b,bq/c}{bq/a}{\frac{cq}{abz}} \end{align}
であるから, これは${}_2\phi_1$接続公式の形に書き換えることもできる.