Nearly-poised 4F3の変換公式の三次類似2
前の記事
でnearly-poised 4F3の変換公式の3次類似を示した. 今回は,
Saalschützの和公式
から得られる
\begin{align}
\F32{\frac{a+k}2,\frac{1+a+k}2,-k}{\frac 12+b,1+a-b}1&=\frac{\left(\frac 12+b-\frac{a+k}2,b-\frac{a+k}2\right)_k}{\left(\frac 12+b,b-a-k\right)_k}\\
&=\frac{(1+a-2b,2b-a)_k}{4^k\left(\frac 12+b,1+a-b\right)_k}
\end{align}
を用いてその類似を得たいと思う. この式の両辺に
\begin{align}
\frac{(a,-n)_k}{k!(w)_k}
\end{align}
を掛けて足し合わせると
\begin{align}
&\F43{a,1+a-2b,2b-a,-n}{\frac 12+b,1+a-b,w}{\frac 14}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,-n)_k}{k!(w)_k}\sum_{0\leq j}\frac{\left(\frac{a+k}2,\frac{1+a+k}2,-k\right)_j}{j!\left(\frac 12+b,1+a-b\right)_j}\\
&=\sum_{0\leq j}\frac{(-1)^j}{j!\left(\frac 12+b,1+a-b\right)_j4^j}\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{k+2j}(-n)_k}{(k-j)!(w)_k}
\end{align}
を得る. ここで, Vandermondeの恒等式より
\begin{align}
&\sum_{0\leq k}\frac{(a)_{k+2j}(-n)_k}{(k-j)!(w)_k}\\
&=\frac{(a)_{3j}(-n)_j}{(w)_j}\sum_{0\leq k}\frac{(a+3j,j-n)_k}{k!(w+j)_k}\\
&=\frac{(a)_{3j}(-n)_j}{(w)_j}\frac{(w-a-2j)_{n-j}}{(w+j)_{n-j}}\\
&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\frac{(a)_{3j}(-n)_j(w-a+n)_{-3j}}{(w-a)_{-2j}}\\
&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\frac{(-1)^j(1+a-w)_{2j}(a)_{3j}(-n)_j}{(1-n+a-w)_{3j}}\\
\end{align}
を得る. よって, これを代入して以下を得る.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&\F43{a,1+a-2b,2b-a,-n}{\frac 12+b,1+a-b,w}{\frac 14}\\
&=\frac{(w-a)_n}{(w)_n}\F65{\frac{1+a-w}2,\frac{2+a-w}2,\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,-n}{\frac 12+b,1+a-b,\frac{1-n+a-w}3,\frac{2-n+a-w}3,\frac{3-n+a-w}3}1
\end{align}
が成り立つ.
これは
前の記事
の定理1と似ているが, 若干異なる形をしている. 一致の定理より, 両辺がterminatingであるとき
\begin{align}
&\F43{a,1+a-2b,2b-a,d}{\frac 12+b,1+a-b,w}{\frac 14}\\
&=\frac{\Gamma(w)\Gamma(w-a-d)}{\Gamma(w-a)\Gamma(w-d)}\F65{\frac{1+a-w}2,\frac{2+a-w}2,\frac a3,\frac{a+1}3,\frac{a+2}3,d}{\frac 12+b,1+a-b,\frac{1+a+d-w}3,\frac{2+a+d-w}3,\frac{3+a+d-w}3}1
\end{align}
が成り立つ. 特に$a=-n$として以下が得られる.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&\F43{-n,1-n-2b,2b+n,d}{\frac 12+b,1-n-b,w}{\frac 14}\\
&=\frac{(w-d)_n}{(w)_n}\F65{\frac{1-n-w}2,\frac{2-n-w}2,-\frac n3,\frac{1-n}3,\frac{2-n}3,d}{\frac 12+b,1-n-b,\frac{1-n+d-w}3,\frac{2-n+d-w}3,\frac{3-n+d-w}3}1
\end{align}
これは 前の記事 の定理2において$d,w$を$1-n-w,1-n-d$として, 左辺の足し合わせる順番を逆にしたものになっている. つまり, 定理1は 前の記事 で得た結果に一致の定理を用いることによっても示されることが分かったことになる.
